期中试题与解答.doc

1清华大学本科生考试试题专用纸考试课程微积分2(期中考试)2006年4月22日班级姓名学号一、判断题（每小题3分，共30分）在题目后的中画“”或者“”1若Axnnlim不成立，则存在正数0与自然数N，使得当Nn时恒有0|Axn2若0X，有0|)()(|limxfXxfx，则(limxfx存在。3若点列na的每一个子列jna都是柯西列，则nnxlim存在4若)(xf在,ba有无穷多个间断点，则定积分baxxfd)(不存在5)(xf在区间I非一致连续的充分必要条件是：在I中可以找到两个点列nx和nt使得0)(nntx，但是)()(nntfxf不趋向于零6不论实数p取何值，广义积分0d1xxp都发散7)(xf在),0连续，不恒为零若|)(|xf单调增加，则)(xf在),0不变号8由黎曼积分baxxfd)(存在可以推出黎曼积分baxxfd)(2存在9设),2,1(nbann，Aannlim，Bbnnlim则BA10设)(xf在区间,ba严格单调增加，)(,)(bfMafm则,1MmCf的充分必要条件是,baCf.2二、计算题（共30分）11（7分）计算无穷积分12dlnxxx解：12dlnxxx1dln1120xxxx12（8分）设1p若11lndxxxpp收敛，确定p的取值范围解：11lndxxxpp211lndxxxpp2121lndIIxxxpp分由于1P，所以2I收敛分对于1I，1)(ln1)1(lim111pppxxxx所以当2p时收敛，当2p时发散结论：当21p时收敛分13（分）用定积分计算极限nknknnk122lim解：nknknnk122lim102122d111limxxxnknknnkn1214（分）设)(xf在1,1连续，3)0(f计算nnxxnxfnn2121dcos)(lim解：6)0(2)(2dcos)(1dcos)(dcos)(2221212121ffttfxxnnfxxnxfnnnnnnnn3三、证明题（每小题10分，共40分）15设)(xf在),0(内有定义若)(limxfx存在，用函数极限定义和数列极限定义证明数列)(limnfn存在解：设)(limxfAx对于任意正数，根据极限定义，存在正数X，使得当Xx时恒有|)(|Axf分取定一个大于X的自然数N，当Nn时有Xn，于是只要Nn，就有|)(|Anf因此根据数列极限定义知道)(limnfnA10分16假设)(xf在区间I处处可导，且)(xf有界，求证)(xf在区间I一致连续解：)(xf在区间I有界，所以存在正数M，使得)(|)(|IxMxf.2分Ivu,，|)(|)()(|vuMvufvfuf5分对于任意正数，取M，只要|vu，就有MMvuMvfuf|)()(|所以)(xf在区间I一致连续.10分17设00a，),2,1(111naaannn证明na没有收敛子列解：显然na单调增加且非负.2分下面用反证法证明na无界若na有界，则存在正数M，使得),2,1(nMan4分此时Man111),2,1(n于是Maaaa110001，Maaaa210122，.，Mnaaaann0101这推出na无界8分na单调增加且无界，所以na单调增加趋向于正无穷，于是每个子列都单调增加趋向于正无穷，因此每个子列都没有收敛子列418假设)(xf在),(存在二阶导数0)0(f，1)0(f，0)(xf，0)(xf任取00x，构造点列),2,1()(1nxfxnn求证：(1)若00x，则nx单调减少趋向于零(2)若00x，则nx单调减少趋向于负无穷解：(1)设00x容易看出当0x时，1)(0xf所以0)0()(01fxfx，并且00001)()0()(0)(xxffxfxfx归纳得到10nnxx于是nx单调减少且有下界0因此nnxalim存在且0a再证明0a反证：假设0a，则axfafnn)(lim)(这不可能因为在区间),0(有)(xf1，因此若0a，则aaffafaf)()0()()(2)设00x容易看出当0x时，1)(xf因此00011)(0)(0xxfxfxx归纳得到nx单调减少还可以证明nx否则nx有下界，从而存在nnxblim进而推出bbf)(但是由1)(xf与0b推出存bbffbfbf)()0()()(这个冲突说明nx无下界因此nx单调减少趋向于负无穷