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期中试题与解答.doc

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期中试题与解答.doc

1清华大学本科生考试试题专用纸考试课程微积分2期中考试2006年4月22日班级姓名学号一、判断题(每小题3分,共30分).在题目后的[]中画“”或者“”1.若AXNNLIM不成立,则存在正数0与自然数N,使得当NN时恒有0||AXN[]2.若0X,有0||LIMXFXXFX,则LIMXFX存在。[]3.若点列}{NA的每一个子列}{JNA都是柯西列,则NNXLIM存在.[]4.若XF在,BA有无穷多个间断点,则定积分BAXXFD不存在.[]5.XF在区间I非一致连续的充分必要条件是在I中可以找到两个点列}{NX和}{NT.使得0NNTX,但是NNTFXF不趋向于零.[]6.不论实数P取何值,广义积分0D1XXP都发散.[]7.XF在,0连续,不恒为零.若||XF单调增加,则XF在,0不变号.[]8.由黎曼积分BAXXFD存在可以推出黎曼积分BAXXFD2存在.[]9.设,2,1NBANN,AANNLIM,BBNNLIM.则BA.[]10.设XF在区间,BA严格单调增加,,BFMAFM.则,1MMCF的充分必要条件是,BACF[]2二、计算题(共30分)11.(7分)计算无穷积分12DLNXXX.解12DLNXXX1DLN1120XXXX.12.(8分)设1P.若11LNDXXXPP收敛,确定P的取值范围.解11LNDXXXPP211LNDXXXPP2121LNDIIXXXPP.....〉.....2分由于1P,所以2I收敛..............4分对于1I,1LN11LIM111PPPXXXX.所以当2P时收敛,当2P时发散.结论当21P时收敛.........8分13.(7分)用定积分计算极限NKNKNNK122LIM.解NKNKNNK122LIM102122D111LIMXXXNKNKNNKN12.14.(8分)设XF在1,1连续,30F.计算NNXXNXFNN2121DΠCOSLIM.解6022DCOS1DΠCOSDΠCOS2221212121FFTTFXXNNFXXNXFNNNNNNNN3三、证明题(每小题10分,共40分)15.设XF在,0内有定义.若LIMXFX存在,用函数极限定义和数列极限定义证明数列LIMNFN存在.解设LIMXFAX.对于任意正数,根据极限定义,存在正数X,使得当XX时恒有||AXF.......4分取定一个大于X的自然数N,当NN时有XN,于是只要NN,就有||ANF.因此根据数列极限定义知道LIMNFNA.....10分16.假设XF在区间I处处可导,且XF有界,求证XF在区间I一致连续.解XF在区间I有界,所以存在正数M,使得||IXMXF.2分IVU,,||||||VUMVUFVFUF5分对于任意正数,取M,只要||VU,就有MMVUMVFUF||||.所以XF在区间I一致连续.10分17.设00A,,2,1111NAAANNN.证明}{NA没有收敛子列.解显然}{NA单调增加且非负.2分下面用反证法证明}{NA无界.若}{NA有界,则存在正数M,使得,2,1NMAN.4分此时MAN111,2,1N.于是MAAAA110001,MAAAA210122,,MNAAAANN0101.这推出}{NA无界.8分}{NA单调增加且无界,所以}{NA单调增加趋向于正无穷,于是每个子列都单调增加趋向于正无穷,因此每个子列都没有收敛子列.418.假设XF在,存在二阶导数.00F,10F,0XF,0XF.任取00X,构造点列,2,11NXFXNN.求证1若00X,则}{NX单调减少趋向于零.2若00X,则}{NX单调减少趋向于负无穷.解1设00X.容易看出当0X时,10XF.所以0001FXFX,并且0000100XXFFXFXFX.归纳得到10NNXX.于是}{NX单调减少且有下界0.因此NNXALIM存在且0A.再证明0A.反证假设0A,则AXFAFNNLIM.这不可能.因为在区间,0有XF1,因此若0A,则AAFFAFAF0.2设00X.容易看出当0X时,1XF.因此0001100XXFXFXX.归纳得到}{NX单调减少.还可以证明NX.否则}{NX有下界,从而存在NNXBLIM.进而推出BBF.但是由1XF与0B推出存BBFFBFBF0.这个冲突说明}{NX无下界.因此}{NX单调减少趋向于负无穷.

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