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期中试题与解答.doc

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期中试题与解答.doc

1清华大学本科生考试试题专用纸考试课程微积分2期中考试2006年4月22日班级姓名学号一、判断题(每小题3分,共30分).在题目后的[]中画或者1.若Axnnlim不成立,则存在正数0与自然数N,使得当Nn时恒有0||Axn[]2.若0X,有0||limxfXxfx,则limxfx存在。[]3.若点列}{na的每一个子列}{jna都是柯西列,则nnxlim存在.[]4.若xf在,ba有无穷多个间断点,则定积分baxxfd不存在.[]5.xf在区间I非一致连续的充分必要条件是在I中可以找到两个点列}{nx和}{nt.使得0nntx,但是nntfxf不趋向于零.[]6.不论实数p取何值,广义积分0d1xxp都发散.[]7.xf在,0连续,不恒为零.若||xf单调增加,则xf在,0不变号.[]8.由黎曼积分baxxfd存在可以推出黎曼积分baxxfd2存在.[]9.设,2,1nbann,Aannlim,Bbnnlim.则BA.[]10.设xf在区间,ba严格单调增加,,bfMafm.则,1MmCf的充分必要条件是,baCf.[]2二、计算题(共30分)11.(7分)计算无穷积分12dlnxxx.解12dlnxxx1dln1120xxxx.12.(8分)设1p.若11lndxxxpp收敛,确定p的取值范围.解11lndxxxpp211lndxxxpp2121lndIIxxxpp.....〉.....2分由于1P,所以2I收敛..............4分对于1I,1ln11lim111pppxxxx.所以当2p时收敛,当2p时发散.结论当21p时收敛.........8分13.(7分)用定积分计算极限nknknnk122lim.解nknknnk122lim102122d111limxxxnknknnkn12.14.(8分)设xf在1,1连续,30f.计算nnxxnxfnn2121dπcoslim.解6022dcos1dπcosdπcos2221212121ffttfxxnnfxxnxfnnnnnnnn3三、证明题(每小题10分,共40分)15.设xf在,0内有定义.若limxfx存在,用函数极限定义和数列极限定义证明数列limnfn存在.解设limxfAx.对于任意正数,根据极限定义,存在正数X,使得当Xx时恒有||Axf.......4分取定一个大于X的自然数N,当Nn时有Xn,于是只要Nn,就有||Anf.因此根据数列极限定义知道limnfnA.....10分16.假设xf在区间I处处可导,且xf有界,求证xf在区间I一致连续.解xf在区间I有界,所以存在正数M,使得||IxMxf....2分Ivu,,||||||vuMvufvfuf5分对于任意正数,取M,只要||vu,就有MMvuMvfuf||||.所以xf在区间I一致连续..10分17.设00a,,2,1111naaannn.证明}{na没有收敛子列.解显然}{na单调增加且非负....2分下面用反证法证明}{na无界.若}{na有界,则存在正数M,使得,2,1nMan.4分此时Man111,2,1n.于是Maaaa110001,Maaaa210122,.,Mnaaaann0101.这推出}{na无界.8分}{na单调增加且无界,所以}{na单调增加趋向于正无穷,于是每个子列都单调增加趋向于正无穷,因此每个子列都没有收敛子列.418.假设xf在,存在二阶导数.00f,10f,0xf,0xf.任取00x,构造点列,2,11nxfxnn.求证1若00x,则}{nx单调减少趋向于零.2若00x,则}{nx单调减少趋向于负无穷.解1设00x.容易看出当0x时,10xf.所以0001fxfx,并且0000100xxffxfxfx.归纳得到10nnxx.于是}{nx单调减少且有下界0.因此nnxalim存在且0a.再证明0a.反证假设0a,则axfafnnlim.这不可能.因为在区间,0有xf1,因此若0a,则aaffafaf0.2设00x.容易看出当0x时,1xf.因此0001100xxfxfxx.归纳得到}{nx单调减少.还可以证明nx.否则}{nx有下界,从而存在nnxblim.进而推出bbf.但是由1xf与0b推出存bbffbfbf0.这个冲突说明}{nx无下界.因此}{nx单调减少趋向于负无穷.

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