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期末试题解答.doc

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期末试题解答.doc

清华大学本科生考试试题专用纸考试课程微积分2A2005年6月20日姓名学号班级一、选择题(每小题4分,共20分)1.设正项级数1nna收敛,则111nannn[B].A绝对收敛.B条件收敛.C发散.D不能确定2.设幂级数02nnnxa在点30x收敛,则级数0nna[A].A绝对收敛.B条件收敛.C发散.D不能确定3.设}{nx是一个数列,pn,是任意自然数.下列哪一个条件可以推出}{nx是柯西列[C].A2||npnxxnpn.B2ln||npxxnpn.Cpnxxnpn1||.D22||pnnpxxnpn.4.若瑕积分10dln1xxxx收敛,则和的取值范围是[D].A0,1.B0,0.C1,2.D2,15.设xf在,0存在二阶导数,且10f,00f,0cxf(其中c是一个正数).则xf在,0的零点个数为[B].A2.B1.C0.D3二、填空题(每小题4分,共20分)6.若幂级数0nnnxa的收敛域为2,2,则幂级数021nnnxa的收敛域为[21,21]7.设ππ2xxxf,10sincos2nnnnxbnxaa是xf的傅立叶级数.则2006a[0]8.设xf是周期等于2的函数,在区间1,1的表达式为22xxfx.其傅里叶级数为00πsinπcos2nnnxnbxnaa的和函数为xS,则1S等于499.已知11de2xpx,收敛,则正数p的取值范围是21p]10.设xf为可导函数,1af,1bf.若函数列1xfnxfnxn在区间,ba一致收敛,则bannxxdlim[2]三、解答题(共60分)11.12分用比阶判别法证明反常积分0d1lnxxxx收敛,然后计算.解0d1lnxxxx10d1lnxxxx211d1lnIIxxxx对于1I,1lim0xfxx,所以收敛对于2I,0lim34xfxx,所以收敛结论原积分收敛。0d1lnxxxx00d1121ln2xxxxx2d114d1121ln20200ttxxxxx12.10分写出21ln2x的马克劳林级数(即21ln2x在点00x的泰勒级数),求这个幂级数的收敛域.解1lnx111nnnnx21ln2x12nnnx幂级数的收敛半径等于1.当1x时,幂级数均发散,所以幂级数为.13.10分求幂级数21nnxnn的收敛域,并求该幂级数的和函数.解幂级数21nnxnn的收敛半径为1,收敛区间和收敛域均为1,1.求和方法1110nnxx,223112nnxnnx.于是21nnxnn32222121xxxnnxnn.求和方法2令222211nnnnxnnxxnn2xSx,则1d1d11212020xSxnnxttnnttSnnnnnxnxxxxxttnttSnnnnnxnx1d1d202111001xx111.于是312111xxxxS,122xSxxnnnn3212xxxS.14.12分设a为任意正数.(1)求函数级数1221nnnxx的收敛域(2)对任意正数a,证明1221nnnxx在区间,aa一致收敛,指出该函数级数和函数的连续区间.解1,x,1221nnnxx是正项级数,根据比值判别法得到11lim221xxuunnn,所以级数收敛域为,2011212121222nnnnnxxnxxx.所以xun在,0a单调增加,在0,a单调减少于是}|max{axaxun1122nnnaaau.正项级数1221nnnaa收敛,于是根据比较判别法推出1221nnnxx在区间,aa一致收敛.和函数在,aa连续,由于正数a的任意性,推出函数在,连续。15.8分假设xF在区间,ba存在黎曼可积的导数xf.求证daFbFxxfba.解由微分中值定理,,,2,111nixxfxFxFiiiii.(其中,1iiixx).于是niiixFxFaFbF11niiiixxf11当n时,baniiiixxfxxfd11,所以由上式得到baxxfaFbFd.16.8分假设正值函数xf以为周期,xf在区间,0黎曼可积.令nnnxxxxfa1d1sin(,2,1n),求证级数1nna是收敛的交错级数.解注意到xxfsin在1,nn可积不变号,11x在1,nn连续.由推广的积分中值定理得到nnnnnnnnnxxxfxxxfxxxxfa111d|sin|11|dsin|11|d1sin|||.由函数周期性推出0dsin11||xxxfann

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