期末试题解答.doc
清华大学本科生考试试题专用纸考试课程微积分2(A)2005年6月20日姓名学号班级一、选择题(每小题分,共分)1设正项级数1nna收敛,则)1()1(1nannnB.A绝对收敛;.B条件收敛;.C发散;.D不能确定2设幂级数0)2(nnnxa在点30x收敛,则级数0nnaA.A绝对收敛;.B条件收敛;.C发散;.D不能确定3设nx是一个数列,pn,是任意自然数下列哪一个条件可以推出nx是柯西列?C.A2|npnxxnpn;.B2ln|npxxnpn;.Cpnxxnpn1|;.D22|pnnpxxnpn4若瑕积分10dln)1(xxxx收敛,则和的取值范围是D.A0,1;.B0,0;.C1,2;.D2,15设)(xf在),0存在二阶导数,且1)0(f,0)0(f,0)(cxf(其中c是一个正数)则)(xf在),0(的零点个数为B.A2;.B1;.C0;.D3二、填空题(每小题分,共分)6若幂级数0nnnxa的收敛域为)2,2,则幂级数02)1(nnnxa的收敛域为)21,21(7设)(2)(xxxf,10)sincos(2nnnnxbnxaa是)(xf的傅立叶级数则2006a08设)(xf是周期等于2的函数,在区间1,1(的表达式为22)(xxfx其傅里叶级数为00)sincos(2nnnxnbxnaa的和函数为)(xS,则)1(S等于499已知11)d(e2xpx,收敛,则正数p的取值范围是21p10设)(xf为可导函数,1)(af,1)(bf若函数列)()1()(xfnxfnxn在区间,ba一致收敛,则bannxxd)(lim2三、解答题(共60分)11(12分)用比阶判别法证明反常积分0d)1ln(xxxx收敛,然后计算解:0d)1ln(xxxx10d)1ln(xxxx211d)1ln(IIxxxx对于1I,1)(lim0xfxx,所以收敛;对于2I,0)(lim34xfxx,所以收敛;结论:原积分收敛。0d)1ln(xxxx00d)1(12)1ln(2xxxxx2d114d)1(12)1ln(20200ttxxxxx12(10分)写出)21ln(2x的马克劳林级数(即)21ln(2x在点00x的泰勒级数),求这个幂级数的收敛域解:)1ln(x11)1(nnnnx)21ln(2x12nnnx幂级数的收敛半径等于当1x时,幂级数均发散,所以幂级数为13(10分)求幂级数2)1(nnxnn的收敛域,并求该幂级数的和函数解:幂级数2)1(nnxnn的收敛半径为,收敛区间和收敛域均为)1,1(求和方法:)()11(0nnxx,223)1()1(2nnxnnx于是2)1(nnxnn32222)1(2)1(xxxnnxnn求和方法2:令2222)1()1(nnnnxnnxxnn)(2xSx,则)()1(d)1(d)(11212020xSxnnxttnnttSnnnnnxnxxxxxttnttSnnnnnxnx1d)1(d)(202111001xx11)1(于是3)1(211)1()(xxxxS,)()1(22xSxxnnnn32)1(2)(xxxS14(12分)设a为任意正数(1)求函数级数122)1(nnnxx的收敛域;(2)对任意正数a,证明122)1(nnnxx在区间,aa一致收敛,指出该函数级数和函数的连续区间解:(1),(x,122)1(nnnxx是正项级数,根据比值判别法得到11lim221xxuunnn,所以级数收敛域为),(2)0)1()1(2)1(2121222nnnnnxxnxxx所以)(xun在,0a单调增加,在0,a单调减少于是|)(maxaxaxun1)1()(22nnnaaau正项级数122)1(nnnaa收敛,于是根据比较判别法推出122)1(nnnxx在区间,aa一致收敛和函数在,aa连续,由于正数a的任意性,推出函数在,连续。15(8分)假设)(xF在区间,ba存在黎曼可积的导数)(xf求证)()(d)(aFbFxxfba解:由微分中值定理,),2,1()()()(11nixxfxFxFiiiii(其中),(1iiixx)于是niiixFxFaFbF11)()()()(niiiixxf11)(当n时,baniiiixxfxxfd)()(11,所以由上式得到baxxfaFbFd)()()(16(8分)假设正值函数)(xf以为周期,)(xf在区间,0黎曼可积令nnnxxxxfa)1(d1sin)((,2,1n),求证级数1nna是收敛的交错级数解:注意到xxfsin)(在)1(,nn可积不变号,11x在)1(,nn连续由推广的积分中值定理得到nnnnnnnnnxxxfxxxfxxxxfa)1()1()1(d|sin|)(11|dsin)(|11|d1sin)(|由函数周期性推出0dsin)(11|xxxfann