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期末试题解答07.doc

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期末试题解答07.doc

清华大学本科生考试试题专用纸微积分Ⅲ期终考试A卷2006年1月8日姓名学号班级一、填空题(每空题3分,共39分)1.曲面122ZYX在点1,1,1的切平面方程是0322ZYX2.设F为连续可微函数,21F令,,2YZXFZYXG,则1,1,1G4,2,2。解41,1,1XG,21,1,1YG,21,1,1ZG2,2,41,1,1G3.设S为球面4222ZYX上的不与坐标轴相交的一片,则S上的点,,ZYX的外侧单位法向量是2,,ZYX;如果S的面积等于A,则SZYXYXZXZYDDDDDDS23解ZKYJXIV,,,21ZYXN23NV原积分SSS23D234.常微分方程052YYY的通解为2SIN2COS21XCXCEYX。5.设常微分方程XYXYXY2SINSINCOS有三个线性无关解1XY,2XY和3XY.则微分方程0SINCOSYXYXY的通解是312211XYXYCXYXYC6.假设函数TY满足方程TYYYCOS1.则TTYTLIM0。7.设空间光滑曲面S的方程为,YXFZ,222YX,上侧为正.其中函数,YXF有连续的偏导数.则SYXYXDD222。解SYXYXDD222DD20320RR8.设}1|,,{2222YXZYXZYX,则三重积分ZYXZYXFDDD,,可以化成球坐标系下的累次积分4021020DSINCOS,SINSIN,COSSINDDF9.D是由曲线XYLN、直线EX,以及X轴围成的平面区域,则DYXXDD.解DYXXDDE1LN0E1DLNDDXXXYXXX21144E.10.锥面22YXZ含在柱面42008200722YX内部的面积等于24。11.设L为曲线0222YXYX,则LXLD222。LXLD2222D1D212D221122020202022XXXXXXXXXXXXX二、解答题12.8分是锥面222ZYX与平面2Z围成的空间区域.计算DDD32ZYXZYX解解法1先一后二由对称性有ZYXZZYXZYXDDDDDD32.............2分ZYXZDDD242222DDDYXYXZZYX22DDDRRZZRR...5分22020DDDRZZRR202D4RRR44122042RR8分解法2先二后一ZYXZZYXZYXDDDDDD232.............2分20DDZDDDDZDYXZZYXZ其中ZD是区域222ZYX,5分20DDZDZDYXZ4DZ203Z8分13.(10分)设S是抛物10,2122ZYXZ.在S任意点一点,,ZYX的质量密度为221YX.求S的质心.解求质量SSSYXMMD1D22.................................1分DD111222222YXYXYXYX............3分.4D1D20220RRR........................................5分静力矩有对称性知道0YXJJ.........6分SSZSYXZMZJD1D22.......7分222222222DD1121YXYXYXYXYX................8分37D1D21202220RRRR........9分质心的Z坐标127MJZZ........10分有同学理解成三重积分。如果质量和静力矩写到下面的结果MJZYXZ,0,0DZRRDRDMR1220202211,DZRZRDRDJRZ1220202211则可以得8分。其后视具体情形而定14.10分如图,L是有向光滑曲线,起点为原点O,终点为2,2A.已知L与线段OA围成的区域D的面积等于A.TF有连续导数.计算曲线积分YXYXYYXLXD4E2D2E2解根据格林公式得到分52DD2DD2242D42D22AYXYXYEYEYXYEXYEYDDXXXXLOA于是YXYEXYEYXXLD42D22分72D42D22AYXXEXYEYXXOA对于后一个积分,取X为参数.XY,20X.1243D62D42D2220222022EXEXXXXEEXYXYEXYEYXXXXXOA10分15.8分设L为平面S1ZYX在第一卦限中的部分的边界,方向是0,0,11,0,00,1,00,0,1ACBA.空间有一个力场KXJZIYZYXF62,,.求单位质点P在L上某点出发,绕L运动一周时,F对于质点所做的功.解设S上侧为正.由斯托克斯公式,单位质点P在L上某点出发,绕L运动一周时,F对于质点所做的功等于SKJIXZYZYXKJILKXJZIYSLD362D623分分分825DD3356D351010XYXSYXS16.10分设XF在,上有二阶连续导数且100FF又设对于空间3R中的任意一张光滑的闭合曲面S,都有0DD2DDDDSXYXZEXZXYFZYXF,求XF.解由题意,在任意一个由光滑简单封闭曲面围成的区域上,由高斯公式有0DDD2DD2DDDDZYXEXFXFYXZEXZXYFZYXFXX.......4分所以由的任意性有02XEXFXF...........7分即XF满足常微分方程XEXFXF2.齐次方程通解XCXCFSINCOS21,非齐次方程特解XEY.一般表达式

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