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期末试题解答07.doc

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期末试题解答07.doc

清华大学本科生考试试题专用纸微积分Ⅲ期终考试A卷2006年1月8日姓名学号班级一、填空题(每空题3分,共39分)1.曲面122zyx在点)1,1,1(的切平面方程是0322zyx.2.设f为连续可微函数,2)1(f.令)(),,(2yzxfzyxg,则)1,1,1(g(4,2,2)。解:4)1,1,1(xg,2)1,1,1(yg,2)1,1,1(zg.)2,2,4()1,1,1(g3.设S为球面4222zyx上的不与坐标轴相交的一片,则S上的点),,(zyx的外侧单位法向量是2),,(zyx;如果S的面积等于A,则SzyxyxzxzyddddddS23.解:zkyjxiv,),,(21zyxn.23nv.原积分SSS23d23.4.常微分方程052yyy的通解为)2sin2cos(21xcxceyx。5.设常微分方程xyxyxy2sinsincos有三个线性无关解)(1xy,)(2xy和)(3xy.则微分方程0sincosyxyxy的通解是))()(())()((312211xyxyCxyxyC.6.假设函数)(ty满足方程tyyycos1.则ttyt)(lim0。7.设空间光滑曲面S的方程为),(yxfz,222yx,上侧为正.其中函数),(yxf有连续的偏导数.则Syxyxdd)(222。解:Syxyxdd)(222dd20320rr.8.设}1|),,{(2222yxzyxzyx,则三重积分zyxzyxfddd),,(可以化成球坐标系下的累次积分4021020dsin)cos,sinsin,cossin(ddf.9.D是由曲线xyln、直线ex,以及x轴围成的平面区域,则Dyxxdd.解:Dyxxdde1ln0e1dlnddxxxyxxx21144e.10.锥面22yxz含在柱面4)2008()2007(22yx内部的面积等于24。11.设L为曲线)0(222yxyx,则lxLd222。lxLd2222d1d)2(12d2211220

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