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期末试题解答07.doc

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期末试题解答07.doc

清华大学本科生考试试题专用纸微积分Ⅲ期终考试A卷2006年1月8日姓名学号班级一、填空题(每空题3分,共39分)1.曲面122zyx在点1,1,1的切平面方程是0322zyx.2.设f为连续可微函数,21f.令,,2yzxfzyxg,则1,1,1g4,2,2。解41,1,1xg,21,1,1yg,21,1,1zg.2,2,41,1,1g3.设S为球面4222zyx上的不与坐标轴相交的一片,则S上的点,,zyx的外侧单位法向量是2,,zyx如果S的面积等于A,则SzyxyxzxzyddddddS23.解zkyjxiv,,,21zyxn.23nv.原积分SSS23d23.4.常微分方程052yyy的通解为2sin2cos21xcxceyx。5.设常微分方程xyxyxy2sinsincos有三个线性无关解1xy,2xy和3xy.则微分方程0sincosyxyxy的通解是312211xyxyCxyxyC.6.假设函数ty满足方程tyyycos1.则ttytlim0。7.设空间光滑曲面S的方程为,yxfz,222yx,上侧为正.其中函数,yxf有连续的偏导数.则Syxyxdd222。解Syxyxdd222dd20320rr.8.设}1|,,{2222yxzyxzyx,则三重积分zyxzyxfddd,,可以化成球坐标系下的累次积分4021020dsincos,sinsin,cossinddf.9.D是由曲线xyln、直线ex,以及x轴围成的平面区域,则Dyxxdd.解Dyxxdde1ln0e1dlnddxxxyxxx21144e.10.锥面22yxz含在柱面42008200722yx内部的面积等于24。11.设L为曲线0222yxyx,则lxLd222。lxLd2222d1d212d221122020202022xxxxxxxxxxxxx二、解答题12.8分是锥面222zyx与平面2z围成的空间区域.计算.ddd32zyxzyx解.解法1先一后二由对称性有zyxzzyxzyxdddddd32.............2分zyxzddd242222dddyxyxzzyx22dddrrzzrr...5分22020dddrzzrr202d4rrr44122042rr.8分解法2先二后一zyxzzyxzyxdddddd232.............2分20ddzddddzDyxzzyxz其中zD是区域222zyx,5分20ddzdzDyxz4dz203z8分13.(10分)设S是抛物10,2122zyxz.在S任意点一点,,zyx的质量密度为221yx.求S的质心.解.求质量SSSyxmMd1d22.................................1分.dd111222222yxyxyxyx............3分.4d1d20220rrr........................................5分静力矩有对称性知道0yxJJ.........6分SSzSyxzmzJd1d22.......7分222222222dd1121yxyxyxyxyx................8分37d1d21202220rrrr........9分质心的z坐标127MJzz........10分有同学理解成三重积分。如果质量和静力矩写到下面的结果MJzyxz,0,0.dzrrdrdMr1220202211,dzrzrdrdJrz1220202211则可以得8分。其后视具体情形而定.14.10分如图,L是有向光滑曲线,起点为原点O,终点为2,2A.已知L与线段OA围成的区域D的面积等于A.tf有连续导数.计算曲线积分yxyxyyxLxd4e2d2e2解根据格林公式得到分5.......................2dd2dd2242d42d22AyxyxyeyeyxyexyeyDDxxxxLOA于是yxyexyeyxxLd42d22分7.........2d42d22AyxxexyeyxxOA对于后一个积分,取x为参数.xy,20x.1243d62d42d2220222022exexxxxeexyxyexyeyxxxxxOA..10分15.8分设L为平面S1zyx在第一卦限中的部分的边界,方向是0,0,11,0,00,1,00,0,1ACBA.空间有一个力场kxjziyzyxF62,,.求单位质点P在L上某点出发,绕L运动一周时,F对于质点所做的功.解设S上侧为正.由斯托克斯公式,单位质点P在L上某点出发,绕L运动一周时,F对于质点所做的功等于SkjixzyzyxkjilkxjziySLd362d62.3分分分8...........................................................25dd335.6.............................................................................d351010xyxSyxS16.10分设xf在,上有二阶连续导数且.100ff又设对于空间3R中的任意一张光滑的闭合曲面S,都有0dd2ddddSxyxzexzxyfzyxf,求xf.解由题意,在任意一个由光滑简单封闭曲面围成的区域上,由高斯公式有0ddd2dd2ddddzyxexfxfyxzexzxyfzyxfxx.......4分所以由的任意性有02xexfxf...........7分即xf满足常微分方程xexfxf2.齐次方程通解xcxcfsincos21,非齐次方程特解xey.一般表达式

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