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极限例题1--极限概念证明中的问题.doc

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极限例题1--极限概念证明中的问题.doc

数列极限概念典型例题分析1.用极限定义证明021lim2nnn.我们分析以下各种证明过程:证明1:0,为了使2102122nnnn,即122nn,只需使2212nn.解此不等式得到n))12(11(2122或者))12(11(2122n.因此,如果令N)])12(11(21[22(整数部分),那么,只要Nn,就有2102122nnnn.于是02lim2nnn.证毕.这个证明是正确的,但是太繁琐.造成繁琐的原因是没有进行适当放大.试与下述证明相比较:证明2:注意到nnnnn12102122.0,取自然数N,使其满足不等式1N.只要Nn,就有nnnnn12102122N1.因此021lim2nnn.证毕.为什么可以使证明过程如此简明?是因为做了适当放大nnn1212.对于初学者,在这类题目中,不善于、或者不敢于进行充分但适当的放大,是常见问题之一.例2:设0limAann求证Aannlim.分析以下各种证明过程:证明1:注意到AaAaAannn||||.由于Aannlim,所以对于任意正数,能够找到自然数N,只要Nn,就有)(||AaAann.于是只要Nn,就有AaAaAaAaAannnnn||||.证毕.这个证明过程中包含了一个错误:“只要Nn,就有)(||AaAann.”其实这是不正确的,因为)(Aan是随n变化的一个量.根据条件Aannlim,我们只能做到这样的事情:“对于任意事先给定的正数,都能找到自然数N,只要Nn,就有||Aan.”这里的一旦给定,就是一个常数,与n无关.但是对于与n有关的变量||Aan,则不能指望找到自然数N,使得只要Nn,就有)(||AaAann.因为)(Aan不是常数.在这个题目的证明过程中,还经常有读者这样做:令1)(Aan,这显然是错误的,因为前者是一个常数,后者是一个变量.下面的证明是正确的:证明2:由于Aannlim,0A,所以根据极限的保号性,对于充分大的n,有0na.由于数列收敛性与前有限项无关,所以不妨设对于所有的n都有0na

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