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积分习题课.doc

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积分习题课.doc

积分习题课题目及解答积分概念一、有关可积性的练习我们知道,在区间,ba连续的函数有原函数,并且有牛顿-莱布尼茨公式.下述定理说明函数的连续性并不是牛顿-莱布尼茨公式成立的必要条件.定理假设xf区间,ba可积且有原函数xF(注释在区间,ba可积的函数未必有原函数)则有daFbFxxfba.提示对于区间,ba任意分割bxxxaTn10.注意到niiiniiixFxFxF111.2.求证假设xf在,ba可积,则0,存在区间,ba上的阶梯函数xg,使得baxxgxfd||.二、求和1.nnnnnn12211lim.(e4)2.1022dsinlimxxnxn.(31).3.设其它,010,nxnxxn.10nknnkxxg.求极限10dlimxxgenxn.(10d21xex).4.用极限定义计算10d2xx.三、定积分10dxxf是和式niiixf1的极限,这个定义为定积分的近似计算提供了依据.假定积分10dxxf存在,则当n时,两个和式ninnifnS111和ninnifn12121都趋向于10dxxf.不过收敛速度有所不同.研究下面的问题假设xf在1,0连续,试证①11021|d|MnSxxfn,②21041|d|Mnxxfn.其中1M和2M是与xf有关的正数.反常积分一、收敛判别1.1dln1收敛pxxxp,2.0dln0pxxxp(发散),3.0d1ln0pxxxp.(1p收敛)4.0d11ln1ppxxx(1p收敛).5.20dsinlnxx(收敛),20dsinln1xx(发散),6.032d421xxxx(收敛).7.1d1coslnxxx.(发散.换元xtln)8.1d21sin1cos1xxx(收敛,泰勒公式,比阶判别法)二、反常积分计算1.03d2xexx,(21,换元法)2.12darctanxxx(4ln41,分部积分法),3.022d1lnxxxx(0,分部积分计算,或者换元法)三、证明题1.(1)举例说明axxfd收敛未必有0limxfx.即使非负函数也是如此.(2)求证如果xf在,a非负且一致连续,axxfd收敛,则0limxfx.2.求证1dsinxxx收敛,但是12dsinxxx发散.

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