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积分习题课.doc

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积分习题课.doc

积分习题课题目及解答积分概念一、有关可积性的练习:我们知道,在区间],[ba连续的函数有原函数,并且有牛顿-莱布尼茨公式.下述定理说明:函数的连续性并不是牛顿-莱布尼茨公式成立的必要条件.定理:假设)(xf区间],[ba可积且有原函数)(xF(注释:在区间],[ba可积的函数未必有原函数)则有)()(d)(aFbFxxfba.提示:对于区间],[ba任意分割bxxxaTn10:.注意到niiiniiixFxFxF111)(])()([.2.求证:假设)(xf在],[ba可积,则0,存在区间],[ba上的阶梯函数)(xg,使得baxxgxfd|)()(|.二、求和1.nnnnnn1]2)2)(1[(1lim.(e4)2.1022dsinlimxxnxn.(31).3.设其它,010,)(nxnxxn.10)()(nknnkxxg.求极限10d)(limxxgenxn.(10d21xex).4.用极限定义计算10d2xx.三、定积分10d)(xxf是和式niiixf1)(的极限,这个定义为定积分的近似计算提供了依据.假定积分10d)(xxf存在,则当n时,两个和式:ninnifnS1)1(1和ninnifn1)212(1都趋向于10d)(xxf.不过收敛速度有所不同.研究下面的问题:假设)(xf在]1,0[连续,试证①11021|d)(|MnSxxfn,②21041|d)(|Mnxxfn.其中1M和2M是与)(xf有关的正数.反常积分一、收敛判别1.)1(dln1收敛pxxxp,2.)0(dln0pxxxp(发散),3.)0(d)1ln(0pxxxp.(1p收敛)4.)0(d)11ln(1ppxxx(1p收敛).5.20dsinlnxx(收敛),20dsinln1xx(发散),6.032d)4()2(1xxxx(收敛).7.1d1)cos(lnxxx.(发散.换元xtln)8.1d)21sin1cos1(xxx(收敛,泰勒公式,比阶判别法)二、反常积分计算1.03d2xexx,(21,换元法)2.12dar

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