Fourier变换的应用分析(毕业论文)终稿.doc

I摘要以Fourier变换为代表的积分变换在许多工程领域有着广泛应用，因此，总结和分析Fourier变换的主要应用案例，对于加深对积分变换理论和方法的理解有着重要的实际意义。本文首先从Fourier变换的基本理论出发，对其常用性质和Fourier变换的几种重要变种进行了总结。在此基础上，对Fourier变换在一些实际应用中的思想方法以及快速Fourier变换(FFT)的算法实现进行了分析，得出了Fourier变换的一些应用特点。关键词：Fourier变换，应用分析，仿真模拟IIAbstractTheintegraltransformations,e.g.,Fouriertransformation,havethewidespreadapplicationinmanyprojectdomains.Therefore,summarizingandanalyzingtheFouriertransformationhasthehighlypracticalsignificancetodeepentheunderstandingoftheintegraltransformationtheoryandmethod.BeginingwiththebasictheoryofFouriertransformation,wesummarizesitscharactersandseveralkindsofvariants.Onthebasisofthese,wefurtheranalyzethemethodsofFouriertransformationviasomeapplicationexamplesandtherealizationofFastFouriertransformationsalgorithm,andthenobtainsthefesturesofFouriertransformationinapplication.Keywords:Fouriertransform,Applicationanalysis,SimulationIII目录1绪论.11.1Fourier变换概述.11.2研究目的和意义.22Fourier变换基本理论.32.1Fourier级数的定义.32.2Fourier变换的定义.32.3Fourier变换的物理意义.42.4Fourier变换的基本性质.53Fourier变换几种重要变种.83.1有限长序列的Fourier分析.83.2离散Fourier级数(DFS).93.3离散Fourier变换(DFT).103.4分数阶Fourier变换(FRFT)的定义和性质.174Fourier变换的应用案例研究.204.1离散Fourier变换(DFT)的应用分析.204.2分数阶Fourier变换(FRFT)的应用分析.275快速Fourier变换的算法以及实现.355.1算法原理.355.2按时间抽取的FFT算法与直接计算DFT运算量的比较.395.3算法的C+实现.416总结和展望.44参考文献.45致谢.48Fourier变换的应用分析11绪论1.1Fourier变换概述Fourier变换的基本思想首先由法国学者Fourier系统提出，所以，以其名字来命名以示纪念。1807年，Fourier向巴黎科学院呈交热的传播论文，推导出著名的热传导方程，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数形式表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数。Fourier级数(即三角级数)、Fourier分析等理论均由此创始。最初Fourier分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的1。自此之后，Fourier变换经过了长时间的发展，衍生了很多不同的变种，在各个领域逐渐得到更为广泛的应用。在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域Fourier变换都有着广泛的应用(例如在信号处理中，Fourier变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量)。特别是在分数阶Fourier变换2被提出后，它的应用更是走上了一个新的台阶。在现代数学的理论体系中，Fourier变换正在各个领域起着举足轻重的作用。从哲学上看，“分析主义”和“还原主义”3，就是要通过对事物内部适当的分析达到增进对其本质理解的目的。比如近代原子论试图把世界上所有物质的本源分析为原子，而原子不过数百种而已，相对物质世界的无限丰富，这种分析和分类无疑为认识事物的各种性质提供了很好的手段。在数学领域也是这样，尽管最初Fourier分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。“任意”的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类，这一想法跟化学上的原子论4想法又是非常的相似。这就引起了人们对Fourier变换的广泛关注和研究，现代数学理论发现Fourier变换具有非常好的性质，例如：(1)Fourier变换是线性操作数，若赋予适当的范数，它还可以是酉操作数；(2)Fourier变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似；(3)正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解。在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取；(4)著名的卷积定理5指出：Fourier变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段；(5)离散形式的Fourier变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速Fourier变换算法(FFT)。由于上述的良好性质，并且Fourier变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角