毕业设计（论文）-反例在数学分析学习中的应用.doc

I摘要本文通过数学分析中的很多定理命题，运用恰当的反例从另一个侧面抓住概念或规则的本质，进而更容易加深对知识的理解.反例思想是数学分析中的重要思想，在概念、性质的理解，问题的研究与论证中都具有不可替代的独特作用.恰当地运用反例，对于正确理解概念、巩固和掌握定理、公式、法则等，培养学生的逻辑思维能力，预防和纠正错误，将起着十分重要的作用.本文针对这个问题，深入细致研究了数学分析中的很多问题的反例.系统的对数学分析中的反例进行总结研究，共分为数列、函数、一元函数导数及其积分、级数、多元函数五个部分，各部分之间并非完全独立.针对多数定理及命题，用逆向思维方法从问题的反面出发，如果有问题，举出反例证实.本文所选的问题和反例比较典型，难度适中，解法精巧，富有启发性.本文对理解数学分析的基本概念，掌握数学分析的基本理论和技巧很有好处.关键词：数学分析；反例；函数AbstractTherearemanytheoremsandpropositionsofMathematicalanalysis,usingappropriatecounterexamplesfromanothersidecanrecognizetheessenceofconceptorrules,anditseasiertodeepentheunderstandingofknowledge.ThecounterexampleofthoughtisanimportantthoughtinMathematicalthought,anditplaysanirreplaceableroleintheunderstandingoftheconcept,natureandtheresearch,reasoningofproblems.Tounderstandconceptscorrectly,consolidateandmastertheorem,formulaandrule,etc,trainthelogicalthinkingabilityofstudentsandpreventandcorrecterrors,whichitsnecessarytousecounterexamplesfelicitously.Tothequestion,thistextresearchesalotofproblemswithcounterexamplesinMathematicalAnalysisdeeply.ThecounterexamplesaresummarizedinMathematicalAnalysissystematicallyandtherearefivesections:sequenceofnumber,function,acircularfunctionderivativeanditsintegral,series,andfunctionofseveralvariables.Andeverysectionisntindependent.Wecanlearnmosttheoremsandpropositionswiththereversethinkingmethod.Iftheressomeproblem,youcangivetheexamplestoverifyfromtheopposite.Theselectedproblemsandcounterexamplesinthisthesisaretypical,appropriatedifficult,andenlightening.BasedonunderstandingthebasicconceptofMathematicalAnalysis,graspingthebasictheoryandtechniqueofMathematicalAnalysistechnique,thethesisisverygood.Keywords:MathematicalAnalysis；Counterexample；FunctionIII目录第一章绪论.11.1引言.11.2课题的背景及目的.11.3国内外研究状况.21.4课题研究方法.21.5论文构成及研究内容.2第二章数列中的反例.2第三章函数中的反例.4第四章一元函数导数及其积分中的反例.5第五章级数中的反例.8第六章多元函数中的反例.10第七章总结和展望.12参考文献.13致谢.141第一章绪论1.1引言在社会实践和学习过程中，人们都有这样一个经验，当你对某一问题苦思冥想而不得解时，从反面去想一想，常能茅塞顿开，获得意外的成功.用逆向思维方法从问题的反面出发，可以解决用直接方法很难或无法解决的问题.它不仅是解决问题的有力手段，而且推动了数学的发展，开辟了数学领域的新天地.数学是在归纳、发现、推广中发展的.反例在数学的发展中功不可没.反例不但在数学的发展和证明中有同等重要的作用，而且，在学习、领会和深入钻研数学的时候，也离不开反例.因为条件的强弱，使用范围的宽窄，都需要用反例作对比，才能加深理解，如果命题有错误，证明有漏洞，也只有靠反例去证实，并从反例中得到修补的启示.举反例是一种重要的反证手段.重要的反例往往会成为数学殿堂的基石.学会构造反例是一种重要的数学技能，应该成为数学教学的基本训练内容而渗透于教学过程之中.反例的重要性要想充分的发挥出来，关键还在于具体的作出所需的反例.至于反例的作法，也如证明一样，因题而异，方式多变.1.2课题的背景及目的数学分析是一门很重要的课程，在自然课程中占有绝对基础地位.数学分析中存在大量的反例.当用命题形式给出一个数学问题，并判断它不成立时，我们就利用只满足命题的条件而结论不成立的例证，就足以否定这个命题.反例不仅可以帮助人们深入地理解有关数学对象的性质，而且对于推动数学科学发展，促进人的辩证思维方式的形成，具有的深刻意义.反例有助于培养科学概括、深入钻研、自觉纠错的良好的思维品质，而且是我们在数学学习中必须努力培养的十分重要的数学思维能力.构造反例带有一定的技巧性，有时是十分费力的，它不仅与基础知识掌握的程度有关，还涉及到知识面的完善等.反例的引入、构造、对命题的再分析等，不仅能增加知识、拓宽思路、活跃思维、提高自学能力，也能提高分析问题和解决问题的能力，增加数学素养，通过反例的构造可以培养发散性思维和创造性思维.举出大量实例来说明反例法确实是发现数学真理的一种有效手段.比如，数学家奥姆斯特德1指出:“数学由两大类证明和反例组成.而数学发现也是朝着两个主要目标提出证明和构造反例.从科学性来讲，反例就是推翻错误命题的有效手段.从教学上而言，反例能够加深对正确结论的全面理解.”在数学分析的学习中，我们不仅要运用正确的例子深刻理解知识点，而且要运用恰当的反例从另一个侧面抓住概念或规则的本质，进而加深对知识的理解.反例思想是数学分析中的重要思想，在概念、性质的理解，问题的研究与论证中都具有不可替代的独特作用.21.3国内外研究状况数学分析是一门久远的学科.纵观数学发展的历史，许多新思想的诞生都是由于人们发现现存的会导致与事实相悖的结果.因此，从数学中的反例可以窥探到数学思想的一步步进化.通过研究国内外关于数学反例的相关文献发现：大部分都是研究数学反例的作用和构造，而这些反例比较繁复零乱，很少有非常系统的总结.所以，想对数学分析中一些常见的问题进行总结，总结它们的反例，并尝试构造反例.对于以后的学习具有很大的帮助.1.4课题研究方法数学分析中有许多重要的典型反例,这些反例是数学分析理论不可缺少的重要组成部分.所以论文主要研究方法就是对数学分析中的一些重要问题寻找、总结反例，加深对概念等的理解，以及学习构造反例的方法.针对数学分析中的一些概念，运用恰当的反例从另一侧面抓住概念的本质，从而加深对知识的理解；同时，对定理、公式和法则的条件、实际意义和应用范围，举出反例来帮助同学们更好理解掌握.我们在数学分析中往往会遇到很多错误的命题，这些命题有时候可能会被忽略思考而误用，因此我们可以举出反例来强有力的说明、否定这些错误的命题，从而正确掌握题解方法.1.5论文构成及研究内容本文主要包括以下几个部分：绪论、数列中的反例、函数中的反例、一元函数导数及其积分中的反例、级数中的反例和多元函数中的反例.针对大学期间数学分析学习中的问题，每部分都深入浅出的举出各种反例来说明验证.并且在一些常见的问题上，会尝试构造反例来说明这些问题.第二章数列中的反例定义2.1设na为数列,a为定数，若对任何的正数，总存在正整数N，使得当Nn时有aan则称数列na收敛于a,定数a称为数列an的极限.若数列na没有极限，则称na不收敛，或称na为发散数列3.例2.1判断以下两个论断是否与极限aannlim的定义等价2.有无穷多个>0，对每一个，存在N()当n>N时，有aan.对任意正数,无限多个na，使aan.3事实上，和两个论断都与数列极限的定义不等价.论断忽视了的最本质属性“任意小正数”.例如数列na：nna)1(1尽管有无穷多个>0(如=3，4，5，)，可以使aaann)1(1(这里a可以是0或1)小于每一个(=3，4，5，)，但却不能使aaann)1(1比任意小的正数还要小.论断对任意>0，虽然有无限多个an，使aan成立，但它忽视了对每一个>0，都必须存在某个自然数N，即数列数列na的某一项Na，从Na以后的所有项都必须满足aan，例如数列an=1，21，1，31，1，41，1，n1，.对任意正数，有无限多个nan1(只要n>n1)，在0的邻域(0,0+)内；但在na中无论从哪一项开始，其后总有不含在(0,0+)内的项.例2.2收敛数列的四则运算是有限定条件的，否则可能并不成立.例如，数列nx与ny，通项分别为11nxn，)2sin(nnyn(n=1,2,)则数列nx收敛,ny发散，1)2sin(nnnyxnn(n=1,2,)故其积nnyx发散.然而并不是只有收敛数列的运算结果才是收敛的，某些发散数列经过四则运算，结果也是收敛的.数列有界性仅是数列收敛的必要条件，不是充分条件，即数列有界但不一定收敛.反例：数列(1)n有界，但它发散3.例2.3数列nx与ny均为发散数列，通项分别为2)1(1nnx，2)1(1nny(n=1,2,)但0nnyx(n=1，2，)，因而数列nnyx收敛于零.例2.4两个非负的发散数列，其和却是一个收敛数列.取数列1，0，1，0，1，0，及数列0，21，0，32，0，34，显然，这两个数列都发散，但其对应项相加所组成的数列是1，21，1，32，1，34，它是一个收敛数列3.4第三章函数中的反例定义3.1设)(xf为定义在D上的函数，若对任何正数M，都存在Dx0，使00)(Mxf，则称)(xf为D上的无界函数3.无界函数的定义与函数趋于无穷大的定义有些相似.然而，这两个概念有本质上的差别.若0xx时，)(xf，则)(xf在0x的每个邻域内必定无界.反之，函数)(xf在0x的任何邻域内都是无界的，但当0xx时,)(xf并不趋于无穷大.设xxxf1cos)(，则对无论多大的正数M，总有充分接近于x=0的点，使Mxx1cos例如，取nx1，则nxx1cos，故当Mn时，就有Mxx1cos.因此，函数)(xf在x=0的任何邻域内都是无界的.然而，若取)21(1nxn，则当n时,0nx，此时01cosnnxx，即)(xf并不趋于无穷大.在研究函数性质时，函数的定义域及值域有时用区间表示，有时又用集合表示，此时我们易产生这样一种误解，即数集的区间与集合表示是等同的，其实不然，此时可用如下反例加以澄清.例3.1设ZkkxkA，222)22,2(kkBk，Zk我们知道：xysin，当kBx时是严格单调函数，但若Ax，则xysin就不是严格单调函数了.事实上：当Ax4，则Ax613，而613sin4sin，究其原因是由于集合A表示k取遍所有整数的符合条件的x的全体，而区间kB则表示k每取一个确定的值时的一个确定的区间.因而数集的区间表示与集合表示并不