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第五章 Lebesgue积分理论.pdf

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第五章 Lebesgue积分理论.pdf

第五章Lebesgue积分理论80第五章Lebesgue积分理论本章定义了可测函数的Lebesgue积分,并讨论了新积分的性质、计算方法及其与旧Riemman积分的关系,在条件相当弱相对Riemman相应定理条件中的一致收敛而言的条件下证明了积分的极限定理,并利用积分的极限定理获得了Riemman可积的本质特征最后研究了重积分与累次积分的关系。§5.1Lebesgue积分的定义及其基本性质有了第四章的准备之后,就可以根据对可测集上定义的可测函数f先定义大、小和SD,f=ni1yimEy1ifyi,sD,fni1y1imEy1ifyi然后分别规定DsupSD,f、DinfsD,f为上、下积分值,且进一步证明二者相等,从而定义新积分并讨论新积分的性质。这既是Lebesgue创立新积分的原始思路,也是传统教材介绍Lebesgue积分定义的普遍方法。然而在第四章研究可测函数的结构时,我们发现函数可测的实质是函数正、负部下方图形可测,再加之由数学分析我们已经知道对连续函数而言R积分值是函数曲线与x轴,x=a,x=b所围的x轴上、下方图形面积的代数和,现遵循此基本思路直接定义新积分概念。定义5.1.1若fx为可测集E上的非负可测函数,则称mG,Ef为f在E上的Lebesgue积分值,记为LEfdx,也简称mG,Ef为f在E上的积分值,并简记Efdx。若fx为可测集E上的一般可测函数,且Efdx=mG,Ef,Efdx=mG,Ef至少有一个有限,则称fx在E上存在积分值,并规定积分值为Efdx=Efdx-Efdx=mG,Ef-mG,Ef如果-∞<Efdx<+∞,则称f在E上可积。ZeonPDFDriverTrialwww.zeon.com.twDocuComPDFTrialwww.pdfwizard.com第五章Lebesgue积分理论81注5.1.1此处作Efdx,Efdx至少有一个有限的限制在于保证不出现∞-∞的无意义表达式。注5.1.2L积分定义有三大优点定义简洁、直观明了,不需大、小和概念,不必考虑函数是否有界,定义域测度是否有限。如何具体计算积分值呢1若f为可测集E上的非负简单函数,则fx=cix∈Eii1,2,3,...,n,Ei∩Ej≠φi≠j,从而f在E上的积分值为mG,Ef=ni1cimEi例5.1.1Dinichni函数Dx=}01|{E0}1,0|{E121中的无理数为中的有理数为xxxxxx可积,且EDdx=1mE1+0mE2=0。2若fx为可测集E上的非负可测函数,则存在E上的非负简单函数列{φnx}满足0≤φnx≤φ1nx,φnx→fxn→∞,则显然GnG1n,且G,Ef=nlimG,En,从而由测度的外极限定理知f在E上的积分值为mG,Ef=nlimmG,En=nlimEφndx当我们按定理4.2.1方法构造简单函数列{φnx}时,mG,En便是f在分划TnE=121nnkEk下的小和sf,Tn,即Efdx=nlimmG,En=nlimsf,Tn。这与定义R积分的分割、求和、取极限三大步骤基本相似。区别在于R积分直接将定义域分成区间,L积分可能是通过将值域分成区间后反过来将定义域分成有限个不一定是区间的集合。3若fx为可测集E上的一般可测函数,则按2)分别求出Efdx,Efdx从而获得Efdx,显然测度有限的可测集E上定义的ZeonPDFDriverTrialwww.zeon.com.twDocuComPDFTrialwww.pdfwizard.com第五章Lebesgue积分理论82有界可测函数均为可积函数。以上三大步骤,不仅说明了lebesgue积分的可操作性,也是在证明一系列积分性质时所通常采取的循序渐进的方法。定理5.1.1设fx在E上有积分值,则对任意实数α,αfx在E上也有积分值,且EαfdxαEfdx1证明10当α≥0时,分三种情形证明之。a若fx为E上的非负简单函数,1式显然成立。b若fx为E上的非负可测函数,则存在E上的非负简单函数列{φnx}满足φnx≤φ1nx,φnx→fxn→+∞,Eαfdx=nlimEαφndx=nlimαEφndx=αnlimEφndx=αEfdx,即1式成立。c若fx为一般可测函数,利用b及αf=αf,αf=αf即得Eαfdx=Eαfdx-Eαfdx=αEfdx-αEfdx=αEfdx20当α<0时,利用b及αf=-αf,αf=αf即得Eαfdx=Eαfdx-Eαfdx=αEfdx-αEfdx=αEfdx证毕定理5.1.2设fx,gx在E上可积,则fx±gx也在E上可积,且Efgdx=Efdx+Egdx2证明a若fx,gx为E上非负简单函数,则2式显然成立。b若fx,gx为E上的非负可测函数,则存在简单函数列ZeonPDFDriverTrialwww.zeon.com.twDocuComPDFTrialwww.pdfwizard.com第五章Lebesgue积分理论83{φnx}、{ψnx}满足0≤φnx≤φ1nx,φnx→fxn→+∞,0≤ψnx≤ψ1nx,ψnx→gxn→+∞,从而φnx+ψnx≤φ1nx+ψ1nx,且φnx+ψnx→fx+gxn→+∞,Efgdx=nlimEφn+ψnxdx=nlimEφndx+Eψndx=nlimEφndx+nlimEψndx=Efdx+Egdx,即2式成立。值得注意的是对非负函数而言,只须可测就足以保证2式成立。c若fx,gx为E上的一般可积函数,则fg≤f+f+g+g从而G,EgfG,Eggff,故mG,Egf≤mG,Eggff<+∞,即f+g在E上可积,同理f+g在E上可积。f+g=f+g-f+g=f-f+g-g,移项得f+g+f+g=f+g+f+g由b得Ef+gdx+Efdx+Egdx=Efdx+Egdx+Efgdx故Ef+gdx-Ef+gdxZeonPDFDriverTrialwww.zeon.com.twDocuComPDFTrialwww.pdfwizard.com第五章Lebesgue积分理论84=Efdx-Efdx+Egdx-Egdx即Ef+gdx=Efdx+Egdx证毕。推论5.1.1设fx,gx在E上可积,则对任意α、β∈R,αfx±βgx也在E上可积,且Eαf±βgdx=αEfdx±βEgdx3定理5.1.31设fx在E上可积,则f在E的任意一个可测子集E1上可积。2(有限可加性)若fx在E1,E1上均可积,其中E1、E2为E的互不相交的可测子集,且E=E1∪E2,则fx在E上可积,且Efdx=1Efdx+2Efdx4证明1因为G,Ef={x,y|x∈E,0≤y<fx={x,y|x∈E1,0≤y<fx∪{x,y|x∈EE1,0≤y<fx=G,1Ef∪G,1EEf于是1Efdx=mG,1Ef≤mG,Ef=Efdx<∞同理1Efdx=mG,1Ef≤mG,Ef=Efdx<∞故fx在E1上可积。2若fx在E1,E2上均可积,则令f1x=21E0Exxxff2x=21EE0xxfx显然,f1,f2均在在E上可积,由定理2知ZeonPDFDriverTrialwww.zeon.com.twDocuComPDFTrialwww.pdfwizard.com第五章Lebesgue积分理论85Ef1x+f2xdx=Ef1xdx+Ef2xdx即Efdx=1Efdx+2Efdx。证毕定理5.1.4①若mE=0,则在E上定义的函数皆可积,且Efdx=0②设fx=gxa.e于E,则fx与gx有相同的可积性,且Efdx=Egdx4③(单调性)若fx,gx在E上可积,且fx≤gxa.e于E,则Efdx≤Egdx5特别地,若m≤f≤M,mE∞,则mmE≤Efdx≤MmE④(绝对可积性)设fx在E上可积,则|fx|在E上可积,且|Efdx|≤E|f|dx6证明①设fx在E上非负,则由推论4.1.2知fx在E上可测,当0≤φnx≤φ1nx,φnx→fxn→∞时,对任意n有Eφnxdx0,故f在E上可积且Efxdx0。②不妨设fx在E上可积,则fx在E1=Ef=g,E2=Ef≠g上均可积。则g在Ef=g上可积,又mEf≠g=0,故gx在E2=Ef≠g上可积,从而g在E=E1∪E2上可积。且Efdx=1Efdx+2Efdx=1Egdx+2Egdx。正是由于此结论,有关积分的命题,遇到几乎处处成立的条件时,都不妨当成处处成立来证明③因为gx=fx+gx-fx,由定理5.1.2知Egdx=Efdx+Eg-fdx≥Efdx。④因为|fx|=f+f,所以|fx|可积。又因为ZeonPDFDriverTrialwww.zeon.com.twDocuComPDFTrialwww.pdfwizard.com第五章Lebesgue积分理论86|fx|≤fx≤|fx|,故-E|f|dx≤Efdx≤E|f|dx,即|Efdx|≤E|f|dx。证毕。注意绝对可积性对Rieman广义积分是不成立的。正因为如此,才有条件可积与绝对可积之分。定理5.1.5(积分唯一性)若在E上非负可测,且Efdx=0,则f=0a.e于E证明因为0=Efdx≥n1Effdx≥n1mEf≥n1≥0,故mEf≥n1=0,而Ef>0=1nEf≥n1,故mEf>0=0,于是f=0a.e于E证毕定理5.1.6若fx在E上可积,则f在E上几乎处处有限.证明因为E|f|dx≥nEffdx≥nmE|f|≥n,所以0≤m|f|n0fdEnnx,而Ef=∞=1nE|f|≥n,由内极限定理知mE|f|=∞=nlimmE|f|≥n0.证毕定理5.1.7积分绝对连续性若fx在E上可积,则对ε>0,ョδ>0,当可测集AE,且mA<δ时,有|Afdx|<ε。证明1.若fx为简单函数,则令M=max{|ci||i1,2,...,n},对ε>0,ョδ=M,当AE,且mA<δ时,|Afdx|≤A|f|dx|<MM<ε.2.若fx为E上的一般可积函数,则|fx|为E上的非负可积函数,ZeonPDFDriverTrialwww.zeon.com.twDocuComPDFTrialwww.pdfwizard.com

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