新课程理念下的统计与概率教学.pdf

新课程理念下的统计与概率教学张丹(北京教育学院100044)将统计与概率的基本思想、方法、知识纳入到高中数学课程,在国际上早已达成了共识.我国现行高中数学大纲和教材中已经设置了统计与概率的内容,在新近颁布的普通高中数学课程标准(实验)(以下简称标准)中,统计与概率的内容及其课时有了较大的增加,并在课程目标中明确指出了数据处理的能力.加强统计与概率内容的一个主要原因在于,统计与概率在日常生活、社会生活及各学科领域中的应用日益广泛.使学生具备基本的统计与概率的思想、方法和知识,在遇到有关问题时能自觉地运用所学知识和方法,无疑是高中阶段统计与概率学习的主要目标.如何更好地实施教学实现上述目标呢?本文提出以下几条建议.1突出统计思维的特点和作用统计的特征之一是通过部分的数据来推测全体数据的性质,因此,统计结果具有随机性,统计推断是有可能犯错误的,这一点与确定性思维不同.但同时,统计思维又是一种重要的思维方式,它和确定性思维一样成为人们不可缺少的思想武器,由不确定的数据进行推理也是同样有力而普遍的方法.因为,在自然界和人类事物中,随机现象是大量存在的,概率统计正是对随机变化的数学描述,它能够帮助我们作出合理的决策,并能告诉我们犯错误的概率.来看一个例子1,某商店经理要合理地安排售货员的人数,售货员过多显然浪费,售货员太少将造成一些顾客离去而减少商店收入.安排多少售货员无疑依赖于顾客的人数,而顾客人数是随机的,任一时刻顾客人数的总体分布是事先无法确定的.但是商店经理可以统计一段时间内顾客的人数,这无疑是一个样本.假定商店经理通过统计估计任一时刻来到k个顾客的概率pk如下:k01234567>7pk010301100114011901210119010901040101如果经理的统计方法合理的话,尽管他无法预料任一时刻顾客的确切人数,也不排除某一天一个顾客也没有,而另一天有上百名顾客涌入商店的极端情形.但是知道了上面的表,经理就可以知道,安排7个售货员能以99%的概率使顾客不用等待；安排6个售货员能以95%的概率使顾客不用等待；安排3个售货员顾客要等待的概率大于12,等等.这些信息无疑对经理安排售货员的决策起着根本的作用.统计教学的核心目标正是使学生体会统计思维的特点和作用.教学中应注重通过对数据的分析为合理的决策提供一些依据,以使学生认识统计的作用,体会统计思维与确定性思维的差异.例如,在运用样本估计总体的教学中,应通过对具体数据的分析,使学生体会到由于样本抽取具有随机性,样本所提供的信息在一定程度上反映了总体的有关特征,但与总体有一定偏差.但另一方面,如果抽样的方法比较合理,样本的信息可以比较好地反映总体的信息,从而为人们合理地决策提供依据.2统计教学应通过案例来进行高中阶段统计教学应通过案例进行,在对实际问题的分析中,使学生经历较为系统的数据处理全1此例摘自概率论与数理统计,首都师范大学数学系组编,张饴慈等编著,科学出版社,2000.21数学通报2005年第44卷第1期过程,在此过程中学习一些常用的数据处理的方法,运用所学知识、方法去解决简单的实际问题,体会运用统计方法解决实际问题的基本思想,认识统计方法在决策中的作用及应用的广泛性.同时,具体的案例也容易帮助学生理解问题和方法的实质.例如,对于“最小二乘法”的学习,如果直接地介绍一般的最小二乘的方法,学生往往体会不到这种方法的实质,也失去了一个分析问题、处理数据的机会.教学中,可以通过一个学生感兴趣的实例,比如学生身高与体重的关系,让学生根据收集到的数据作出散点图,利用散点图直观认识到变量间存在着线性相关关系.然后鼓励学生自己想办法确定一条“比较合适”的直线描述这两个变量之间线性相关关系,在此基础中再引入最小二乘法,并给出线性回归方程.标准中还特别安排了统计案例的内容.统计案例的教学中,应鼓励学生经历数据处理的过程,培养他们对数据的直观感觉,认识统计方法的特点(如统计推断可能犯错误,估计结果的随机性),体会统计方法应用的广泛性.应尽量给学生提供一定的实践活动机会.对于统计案例内容,只要求学生了解几种统计方法的基本思想及其初步应用,对于其理论基础不做要求,避免学生单纯记忆和机械套用公式进行计算.总之,统计的内容具有非常丰富的实际背景,在现实世界中有着广泛的应用.教师应细心收集生活中的素材、广泛涉猎各学科知识,更多的发动学生自己发现问题,以此积累案例开展统计教学,展示统计的广泛应用,培养学生的学习兴趣,帮助学生更好地理解所学知识和方法的实质.3注重从数据中提取信息统计的一个重要目的是为了从数据中提取信息,统计教学应引导学生根据实际问题的需求,从数据中尽可能多地获取信息,培养学生对数据的直观感觉.例如,在标准中安排了茎叶图的内容,茎叶图是利用每个数据构成图示的.因此它的最大好处是直观而不丢失任何数据信息,制作起来也比较简单.同时,有研究认为它的尽早引入对学生理解位值制有帮助.当然,数据很多时,茎叶图的效果就不好了.对于茎叶图等描述数据的方法,教学中更应注重鼓励学生从图中获取信息,体会统计图所反映的数据的分布特点,而不应把统计处理成数字运算和画图表.4注重对随机现象与概率意义的理解概率是研究随机现象的科学.随机现象是指这样一种现象:在相同的条件下重复同样的试验,其试验结果不确定,以至于在试验之前无法预料哪一个结果会出现.随机现象表面看无规律可循,出现哪一个结果事先无法预料,但当我们大量重复实验时,实验的每一个结果都会呈现出其频率的稳定性.概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义.缺乏对随机现象的丰富体验,学生往往较难建立随机观念.如果在概率课程中,只是要求学生处理已经采集好的随机问题的有关数据,学生往往习惯地把这些数据当作是确定的数进行处理,事实上他们的随机观念并没有得到发展.要使学生建立随机观念,必须通过设计学生熟悉而感兴趣的实际问题或游戏,让他们亲临原始的随机环境,亲自试验和收集随机数据,使他们在活动中逐步丰富对概率的认识,积累大量的活动经验,体会随机现象的特点.教师应通过日常生活中的大量实例,鼓励学生动手试验,体会随机事件发生的不确定性及其频率的稳定性.例如,可以让学生收集同一年级学生的身高、体重,收集同班同学每分钟脉搏的跳动次数,收集在某一时间段内某商店顾客的付款数据,收集体育彩票各次开奖的号码,收集电视台每日的天气预报数据等.这些学生熟悉的、有趣的随机环境,比较容易使学生把要学的新知识与自己原有的经验和直觉联系起来.注重对随机现象与概率意义的理解的原则应贯穿于概率教学的始终.例如对于模拟方法的学习,它既是一种非常有效而且应用广泛的方法,当现实中的试验难以实施或者不可能实施时,模拟可以给我们提供一个解决方案.更重要的是,对于模拟方法的学习将十分有助于学生体会随机现象的特点.又如对于随机变量分布的学习,首要的是使学生理解分布对刻画随机现象的意义.实际上,了解一个随机现象的规律是指,了解这个随机现象中所有可能出现的结果及每个结果的概率.为此,我们首先引进一个变量,这个变量的每一个取值对应着该随机现象的一个可能的结果,这个变量就是随机变量.引进了随机变量后,了解随机现象的规律就转化为了解随机变量的所有可能取值,以及随机变量取各个值的概率,一旦了解了这两点,我们就说这个随机现象的规律清楚了.312005年第44卷第1期数学通报5重视对概率模型的理解和应用,淡化繁杂的计算计算随机事件发生的概率是概率学习的一个重要内容.对于这方面的学习,首要的是对各种概率模型的理解和应用,而不是把精力主要放在套用公式上.教学中,应注重使学生经历从多个实例中概括出具体的概率模型的过程,体会这些例子中的共同特点；注重理解各种概率模型的特点,并且在实际问题中培养学生识别模型的能力.例如,对于古典概型的教学应让学生通过实例理解古典概型的特征:实验结果的有限性和每一个实验结果出现的等可能性,让学生初步学会把一些实际问题化为古典概型,教学中不要把重点放在“如何计数”上.实际上,标准在古典概型的学习之前,没有安排排列组合的内容,这也就表明了排列组合并不是学习古典概型的基础,也并不促进学生对随机现象的理解.对此,美国普渡大学统计学教授大卫·S·莫尔曾经这样论述道2:“学习组合学并不使我们增进对机遇概念的理解,也不比其他学科更能发展使用概率建模的能力.在大多数情况下,应该避免组合问题,除非是最简单的计数问题”.6注重建立正确的概率直觉学生存在着一些生活经验,这些经验是学生学习概率的基础,但其中往往有一些是错误的.例如,将一枚均匀硬币任意掷出,很多学生认为“100次出现50次正面”是必然的,或者说,它的概率应该很大,但计算表明这个概率只有8%左右.又如,中奖率为1/1000的彩票,一些学生以为买1000张一定会中奖,而实际上买1000张会中奖的概率约为63%；掷一枚均匀的硬币5次,朝上的面都是正面,第6次该得到正面还是反面,有的学生认为应是正面而有的认为应是反面,而事实上不管前5次试验的结果是什么,由试验的独立性,第6次出现正,反面的概率都是12,和前面的试验结果无关.逐步消除错误的经验,建立正确的概率直觉是概率教学的一个重要目标.要实现这一目标,必须让学生亲自经历对随机现象的探索过程,引导学生首先猜测结果发生的概率；然后亲自动手进行实验,收集实验数据,分析实验结果,并将所得结果与自己的猜测进行比较；最后可以建立理论的概率模型,并与实际结果联系起来.学生在此过程中不断将自己的最初猜测、实验结果和理论概率进行比较,这将促进他们修正自己的错误经验,建立正确的概率直觉.例如,对于“掷100次硬币出现50次正面”的概率,有人给出了一个掷均匀硬币的模拟试验(见费勒著概率论及其应用),这试验相当于100个人,每人都掷100次均匀硬币,记录下各自掷出正面的次数如下:54,46,53,55,46,54,41,48,51,53,48,46,40,53,49,49,48,54,53,45,43,52,58,51,51,50,52,50,53,49,58,60,54,55,50,48,47,57,52,55,48,51,51,49,44,52,50,46,53,41,49,50,45,52,52,48,47,47,47,51,45,47,41,51,49,59,50,55,53,50,53,52,46,52,44,51,48,51,46,54,45,47,46,52,47,48,59,57,45,48,47,41,51,48,59,51,52,55,39,41.这里共掷了10000次,正面出现的次数,即上述100个数字之和,为4979,这表明正面出现的频率为014979,可以认为硬币是均匀的.另一方面,在上述100个数字中,50出现了7次.即“掷100次硬币,出现50次正面”的频率是7/100,和0108相差不算大.以上的实验数据无疑将有利于学生消除错误的经验.7注重信息技术的使用计算器、计算机的普遍应用不仅使信息越来越以数据的形式表现,同时可以使学生将主要精力放在对统计与概率意义的理解上.计算器可以处理复杂的数据,计算机可以大大提高数据整理和显示的效果,在建立、记录和研究信息方面,为学生提供了一个良好的工具,可以使学生有充足的时间来研究现实世界中的问题,理解统计的思想方法.当学生对一个随机现象进行实验时,计算器和计算机可以产生足够的模拟结果,使学生理解随机现象的特点.因此,教学中,应强调运用计算器来处理复杂的数据,以使学生有更多的精力来处理更为现实的问题.对于有条件的地方,要充分开发和利用计算机2摘自站在巨人的肩膀上,林恩·阿瑟·斯蒂恩编,胡作玄等译,上海教育出版社,2002.41数学通报2005年第44卷第1期新课程高中数学教师适应性研究邵婷婷邵光华(曲阜师范大学数学科学学院273165)1研究问题的提出普通高中新课程已于2004年秋季在山东、广东、海南和宁夏开始实验.这次课程改革在教学内容、教学理念、教学形式等方面都有很大的变化.课程内容力求体现时代性,反映数学学科及其应用的进展,渗透了现代数学思想,加强了与其他科学以及日常生活的联系,注重了信息技术与数学课程的整合.教学中,要求体现数学的人文价值和科学价值,注重数学应用意识的培养,提倡多样化的学习方式,使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程.在对学生的评价方面,不仅关注知识技能,而且重视学生的情感、态度、人格、价值观等.这些对于全面提高学生的数学素养,改变学生以往对数学学习枯燥无味的感受,激发学生学习数学的兴趣等方面,将大有作用.但是,面对这么多的“新”东西,教师是否适应得了?如何去适应?而“要实现数学课程改革的目标,教师是关键.”因为“教师不仅是课程的实施者,而且也是课程的研究、建设和资源开发的重要力量.”他们能否适应这些新的改变,是实际教学活动中能否将新课程按照课程设计者的理念、思路实施的关键.即是说,高中数学教师对新课程的适应程度是关系到这次课程改革能否成功的重要因素.能否适应,如何更好地适应,涉及到教师专业素质水平及思想和行为方面的准备状况.硬件专业素质水平若相差太多,将难以实施,同样,若软件思想和行为方面的准备不足,也无法将课程理念贯彻好.本文试对现有高中数学教师适应性问题做一研究.2研究设计211研究目的就高中数学教师对新课程适应性问题做一调查分析,通过比较新课程主张的观点与教师过去或现时的做法之间的差距,判断适应性情况,并进一步提出有针对性的培训措施和发展方向建议,以使教师尽快地适应新课程的要求,使新课程能顺利实施,同时为课程编制者提供参考意见.的作用,发挥其在处理数据和进行概率模拟实验中的作用.总之,统计与概率的教学主要目的是使学生体会统计与概率的基本思想,统计与概率教学应提供现实的问题情境,重视问题的背景及统计与概率在日常生活和科学领域中的应用；使学生真实地参与,使他们面对着要解决的问题,主动地设计方案、收集数据、处理数据、制定决策,为维护自己的观点而寻求论据,与他人进行讨论与交流,这些都将使他们终身收益.参考文献1中华人民共和国教育部制订.普通高中数学课程标准(实验).北京:人民教育出版社,20032数学课程标准研制组编写.普通高中数学课程标准(实验)解读.南京:江苏教育出版社,20043林恩·阿瑟·斯蒂恩编,胡作玄等译.站在巨人的肩膀上.上海:上海教育出版社,20024刘兼,黄翔,张丹编著.数学课程设计.北京:高等教育出版社,20035张丹等.统计观念的发展和培养.数学教育学报,2002,2512005年第44卷第1期数学通报作者简介:邵婷婷(1981-),女,曲阜师范大学数学科学学院硕士研究生,主要从事数学课程与教学论研究.邵光华(1964-),男,曲阜师范大学数学科学学院教授,博士,主要从事数学课程与教学论研究.此文为山东省教育科学“十五”规划重点课题.(编号:2004ZZ8)