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最新电大经济数学基础期末小抄版.doc

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最新电大经济数学基础期末小抄版.doc

1经济数学基础第一部分微分学一、单项选择题1.函数1lgxxy的定义域是(1x且0x)2.若函数xf的定义域是0,1,则函数2xf的定义域是0,.3.下列各函数对中,(xxxf22cossin,1xg)中的两个函数相等.4.设11xxf,则xff(x11).5.下列函数中为奇函数的是(11lnxxy).6.下列函数中,(1lnxy不是基本初等函数.7.下列结论中,(奇函数的图形关于坐标原点对称)是正确的.8.当x0时,下列变量中(xx21)是无穷大量.9.已知1tanxxxf,当(x0)时,xf为无穷小量.10.函数sin,0,0xxfxxkx在x0处连续,则k1.11.函数0,10,1xxxf在x0处(右连续).12.曲线11xy在点(0,1)处的切线斜率为(21).13.曲线xysin在点0,0处的切线方程为(yx).14.若函数xxf1,则xf(21x).15.若xxxfcos,则xf(xxxcossin2).16.下列函数在指定区间,上单调增加的是(ex).17.下列结论正确的有(x0是fx的极值点).18.设需求量q对价格p的函数为ppq23,则需求弹性为Ep(pp32).二、填空题1.函数20,105,22xxxxxf的定义域是5,22.函数xxxf215ln的定义域是5,23.若函数5212xxxf,则xf62x4.设函数12uuf,xxu1,则2uf435.设21010xxxf,则函数的图形关于y轴对称.6.已知生产某种产品的成本函数为Cq802q,则当产量q50时,该产品的平均成本为3.67.已知某商品的需求函数为q180–4p,其中p为该商品的价格,则该商品的收入函数Rq45q–0.25q228.xxxxsinlim1.9.已知xxxfsin1,当0x时,xf为无穷小量.10.已知11112xaxxxxf,若fx在,内连续,则a2.11.函数11exfx的间断点是0x12.函数211xxxf的连续区间是1,,2,1,,213.曲线yx在点1,1处的切线斜率是10.5y14.函数yx21的单调增加区间为0,15.已知xxf2ln,则2f016.函数yx312的驻点是x117.需求量q对价格p的函数为2e100ppq,则需求弹性为Ep2p18.已知需求函数为pq32320,其中p为价格,则需求弹性Ep10pp三、极限与微分计算题1.解423lim222xxxx2212lim2xxxxx21lim2xxx412.解231lim21xxxx1211lim1xxxxx21121lim1xxx3.解0sin2lim11xxx011sin2lim1111xxxxxxxxxx2sinlim11lim002244.解2343limsin3xxxx331limsin3xxxx333limlim1sin3xxxxx25.解121tanlim21tanlim121xxxxxxxx11tanlim21lim11xxxxx311316.解3212321lim625xxxxxx321121321lim625xxxxxx232326537.解yxcos2xxx2cossin2ln2xxxxx2cossin2ln2xxxxx8.解xxxxfxx1cos2sin2ln29.解因为5ln5sin2cos25ln55cos2cos2cos2xxxxxy所以5ln25ln52πsin22π2πcos2y10.解因为lnln3231xxy331ln32ln32xxxx所以xxxydln32d311.解因为coscos5sine4sinxxxyxxxxxsincos5cose4sin所以xxxxyxdsincos5cosed4sin12.解因为2ln2cos1332xxxyx2ln2cos3322xxx所以xxxyxd2ln2cos3d32213.解cos22sin22xxxyxx2cos22ln2sin2xxxx14.解5elnln352xxxxyxxxx525eln315.解在方程等号两边对x求导,得ee1ln2xyxy0e11lnyxyxyxyxyxyxyyxyyxxe1e1ln故e1ln1e1xyxyxxxyxyy16.解对方程两边同时求导,得0eecosyxyyyyyyyxyeecosxyyyxyecose.417.解方程两边对x求导,得yxyyyeeyyxye1e当0x时,1y所以,0ddxxyee01e1118.解在方程等号两边对x求导,得ecosxyxy1e1sinyyyxysin1sineyxyyxysinesin1yxyxyy故xyxyxyydsinesin1d四、应用题1.设生产某种产品x个单位时的成本函数为xxxC625.01002(万元),求(1)当10x时的总成本、平均成本和边际成本(2)当产量x为多少时,平均成本最小1.解(1)因为总成本、平均成本和边际成本分别为xxxC625.01002625.0100xxxC,65.0xxC所以,1851061025.0100102C5.1861025.01010010C,116105.010C(2)令025.01002xxC,得20x(20x舍去)因为20x是其在定义域内唯一驻点,且该问题确实存在最小值,所以当x20时,平均成本最小.2.某厂生产一批产品,其固定成本为2000元,每生产一吨产品的成本为60元,对这种产品的市场需求规律为qp100010(q为需求量,p为价格)2.解(1)成本函数Cq60q2000.因为qp100010,即pq100110,所以收入函数Rqpq100110qq1001102qq.(2)因为利润函数LqRqCq1001102qq60q200040q1102q2000且Lq40q1102q2000400.2q5令Lq0,即400.2q0,得q200,它是Lq在其定义域内的唯一驻点.所以,q200是利润函数Lq的最大值点,即当产量为200吨时利润最大.3.设某工厂生产某产品的固定成本为50000元,每生产一个单位产品,成本增加100元.又已知需求函数pq42000,其中p为价格,q为产量,这种产品在市场上是畅销的,试求(1)价格为多少时利润最大(2)最大利润是多少3.解(1)Cp50000100q5000010020004p250000400pRppqp20004p2000p4p2利润函数LpRpCp2400p4p2250000,且令pL2400–8p0得p300,该问题确实存在最大值.所以,当价格为p300元时,利润最大.(2)最大利润11000250000300430024003002L(元).4.某厂生产某种产品q件时的总成本函数为Cq204q0.01q2(元),单位销售价格为p140.01q(元/件),试求(1)产量为多少时可使利润达到最大(2)最大利润是多少4.解(1)由已知201.01401.014qqqqqpR利润函数22202.0201001.042001.014qqqqqqCRL则qL04.010,令004.010qL,解出唯一驻点250q.因为利润函数存在着最大值,所以当产量为250件时可使利润达到最大,(2)最大利润为1230125020250025002.020250102502L(元)5.某厂每天生产某种产品q件的成本函数为9800365.02qqqC(元).为使平均成本最低,每天产量应为多少此时,每件产品平均成本为多少5.解因为CqCqq05369800.qq(q0)Cq.05369800qq0598002.q令Cq0,即0598002.q0,得q1140,q2140(舍去).q1140是Cq在其定义域内的唯一驻点,且该问题确实存在最小值.所以q1140是平均成本函数Cq的最小值点,即为使平均成本最低,每天产量应为140件.此时的平均成本为C14005140369800140.176(元/件)6.已知某厂生产q件产品的成本为Cqqq25020102(万元).问要使平均成本最少,应生产多少件产品6.解(1)因为CqCqq2502010qqCq2502010qq2501102q令Cq0,即25011002q,得q150,q250(舍去),q150是Cq在其定义域内的唯一驻点.所以,q150是Cq的最小值点,即要使平均成本最少,应生产50件产品.第二部分积分学一、单项选择题61.在切线斜率为2x的积分曲线族中,通过点(1,4)的曲线为(yx23).2.若10d2xkx2,则k(1).3.下列等式不成立的是(1ddlnxxx).4.若cxxfx2ed,则xf(2e41x).5.dexx(cxxxee).6.若cxxfxx11ede,则fx(21x).7.若xF是xf的一个原函数,则下列等式成立的是daFxFxxfxa.8.下列定积分中积分值为0的是(xxxd2ee11)9.下列无穷积分中收敛的是(12d1xx).10.设Rq1004q,若销售量由10单位减少到5单位,则收入R的改变量是(350).11.下列微分方程中,(xxyyye2)是线性微分方程.12.微分方程0432xyyyy的阶是(1).二、填空题1.xxded2xxde22.函数xxf2sin的原函数是21cos2xcc是任意常数3.若cxxxf21d,则xf12x4.若cxFxxfd,则xfxxdeecFxe5.e12dx1lnddxx06.1122d1xxx07.无穷积分02d11xx是收敛的(判别其敛散性)8.设边际收入函数为Rq23q,且R00,则平均收入函数为2q23.9.0e23yyx是2阶微分方程.10.微分方程2xy的通解是cxy33三、计算题⒈解cxxxxxx1cos1d1sind1sin22.解cxxxxxx22ln2d22d23.解cxxxxxxxxxxsincosdcoscosdsin4.解xxxd1lnxxxxxd121ln121227cxxxxx4ln221225.解xxxde1e3ln023ln02ed1e1xx3ln03e131x3566.解lnd2ln22dlndlne1e1e1e1xxxxxxxxxe1e14e2d2e2xxxe24d2e2e1xx7.解xxxdln112e1lnd1ln112e1xx2e1ln12x1328.解xxxd2cos20202sin21xxxxd2sin2120202cos41x219.解法一xxxxxxxd11lnd1ln1e01e01e0xxd1111e1e01e01ln1exx=eln1解法二令1xu,则uuuuuuuxxd1lndlnd1lne1e1e11e011eeee1u10.解因为xxP1,12xxQ用公式d1eed12d1cxxyxxxxd1eeln2lncxxxxxcxxcxxx24241324由471214113cy,得1c所以,特解为xxxy124311.解将方程分离变量xyyxydede32等式两端积分得cxy3e31e212将初始条件31y代入,得c33e31e21,c3e61所以,特解为33ee2e32xy12.解方程两端乘以x1,得xxxyxyln2即

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