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GH 哈代的数学观及其当代数学教育意义——兼论我国中小学《 国家数学课程标准》 的修改与完善.doc

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GH 哈代的数学观及其当代数学教育意义——兼论我国中小学《 国家数学课程标准》 的修改与完善.doc

1G.H.哈代的数学观及其当代数学教育意义1兼论我国中小学国家数学课程标准的修改与完善徐文彬1,杨玉东2(1.南京师范大学教育科学学院,江苏南京2100972.华东师范大学数学系,上海200062)摘要辨证地理解G.H.哈代的数学观,对当代数学教育和修订我国的国家数学课程标准极具启发意义。关于数学对象,哈代持极端的实在论观点,它有利于理解数学主观的客观实在性关于数学本质,哈代持极端的完美主义,它有利于理解为数学而数学的理性追求和理性批判精神关于数学证明,哈代持内部的和外部的两种证明的观点,它有利于理解数学的整体观和文化功能。关键词数学的对象,数学的本质,数学证明,国家数学课程标准中图分类号G423文献标志码AG.H.哈代1877年2月7日生于英国萨里郡克兰利地区的一个教师家庭,1947年12月1日病逝于剑桥大学.他是数学史上剑桥分析学派后期以分析为目的的纯数学学派的领袖人物之一[1].他在解析数论、调和分析和函数论等诸多领域都做出了巨大贡献而且,经由他创立的一些重要数学方法[2]现已渗透到其他数学分支或领域.不仅如此,哈代还对数学的对象、本质、意义和价值等进行了深入、细致的研究,对从19世纪后期开始的数学纯粹化趋势起到了推波助澜的作用.这种数学纯粹化趋势及其结果不仅影响了20世纪中后期的世界数学教育,而且还对当今世界的数学教育改革发挥着巨大的潜在作用.因此,要理解20世纪上半叶作为一种文化现象的纯数学的发展对数学教育的影响[3],研究哈代的数学观及其当代数学教育意义是不无裨益的.1关于数学的对象关于数学的对象,哈代所持有的观点是极端的实在论或柏拉图主义者的观念[4].他认为,数学实在(即数学的对象)存在于我们之外,我们的作用是去发现或观察它,那些被夸张地描述成我们的创造物的定理,仅仅是我们观察的记录[5].他甚至还认为,当我们知道了一个定理,我们就是知道了某种东西,某种客观的东西当我们相信了一个定理,我们就是相信了某种东西至于我们相信的东西究竟正确与否,那是无所谓的[6].而恩格斯则认为,纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系,所以是非常现实的材基金项目全国教育科学十五规划重点课题(BHA010079)作者简介徐文彬(1966),男,安徽宣城人,南京师范大学教育科学学院副教授,主要从事数学课程与教学论研究。2料[7].由此可见,哈代的观点与恩格斯的看法不无一致之处(纯)数学的对象是外在于我们的(现实世界的)存在,即事物的量.任何事物都是质与量的统一体,既没有离开量的质,也没有脱离质的量如同事物的质一样,事物的量也是丰富和多样的.而这种丰富多样的事物的量正是数学的对象.从数学发展史的角度来看,随着人类数学思维水平的不断提升,数学对事物的量的揭示经历了以下几个阶段名数、常数、变数和关系结构(至于空间形式和数量关系,本质上它们都属于事物的量,是量的两种不同表现形式)[8].名数(约公元前3000年以前),与具体事物的质紧密相连,具有多少的意思,即具体的不同质的表达多寡的(数)概念[9].常数(约公元前3000年16世纪),与具体事物的质相脱离,表示单个的数,具有多少的含义.怀特海曾高度评价常数概念在人类思想史上的重大意义首先注意到7条鱼和7天的共同点的人必然使(人类)思想史前进了一大步.他是第一个具有纯数学观念的人[10].变数(1718世纪),表示一类的数或一定取值范围内的数及其关系.对此,恩格斯给予了极其肯定和积极的评价数学中的转折点是笛卡儿的变数.有了变数,运动进入了数学有了变数,辩证法进入了数学有了变数,微分和积分也就立刻成为必要的了[11].关系结构(19世纪),是对变数及其关系的扬弃,否定了其中的数,而保留了具有一定性质的特定关系,即结构[12].布尔巴基学派对数学结构的揭示,充分体现了该阶段数学的自由的创造性,而希尔伯特计划[13]则充满着对这种自由创造的自信,可是歌德尔等人的数学结论[14]却很可能反映了对这种自由创造的某种限制或约束或界限.那么,纯数学的对象是否就是非常现实的材料呢关于这个问题,哈代认为,数学的对象是一种独立的客观实在,因此我们只能观察与记录,而不能创造与发明.其实,任何理论学科(比如,物理学、宇宙学、社会学、历史学、教育学,甚至课程理论与教学理论等),都不是以非常现实的材料为其直接的研究对象,而是以思想事物(虽然它们是现实的摹写)[15]为其直接的研究对象.数学也丝毫不例外.因此,数学的对象就有两个一个是直接对象,即像数、序、空间、关系、结构等思想事物,另一个则是这些思想事物所反映的现实事物的量,即间接对象.因为如同所有的其他学科一样,数学的最终目的也不是研究这些思想事物,而是要反映现实事物的某个侧面或某类特性(就数学而言,这个侧面或这类特性就是客观现实事物的质的量).由此可见,哈代混淆了数学的直接对象与间接对象,把间接对象视为直接对象,因而就必然得出我们只能观察与记录数学对象、而不能创造与发明它们.事实上,思想事物都是我们人类的创造与发明,只是有些思想事物一经创造与发明,就获得了某种外在于我们的特性,即(主观的)客观实在性,而源自这些思想事物的其他思想事物仿佛就成了仅仅是我们观察的记录也许可以说,一个数系是人的创造或发明.但是奇数和偶数、可除数和素数之间的区别是一个发现一旦数系存在,作为构成这个系统的(意想不到的)结果,客观上就有这些独特数字集合而它们的性质就会被人发现[16].3数学,作为学校教育课程的数学,在某种程度上肯定是外在于我们的学生甚至教师的.因而这种数学也就必然具有上述所谓的主观的客观实在性.所以,正是在这个意义上,我们完全赞同并欣赏荷兰学者弗赖登塔尔所倡导的关于数学学习的再创造或数学化理论.但是,这是研究的学术结论,而非教学的实践结果.因此,这里的关键问题不是要不要再创造或数学化,而是如何进行再创造或数学化.而这正是数学教学论所要着力思考与解决的问题.弗赖登塔尔对此所给出的答案是,数学的根源是常识,人们通过自己的实践把这些常识通过反思,组成起来,不断地进行系统化(横向的或纵向的)[17],以及有指导的和结合现实的再创造[18].我国中、小学新的国家数学课程标准都在不同程度上吸收了弗赖登塔尔的思想,十分强调数学化过程经历(感受)、体验(体会)和探索[19],经历/模仿、发现/探索、反应/认同和领悟/内化[20],但是却都没有设计相对应的范例,只给出了内容(参考)案例.这显然需要改进.此外,作为数学化理论的前提之一,即生物学上的个体发展过程是群体发展过程的重现在数学学习上的体现数学发展的历程也应在个人身上重现是否真的成立还仅仅是一个假说或猜测即使成立,它也只具有发生学和统计学的意义.倒是哈代的仅仅是我们观察的记录对数学化之后具有一定的启发意义数学对象的主观的客观实在性应在数学学习和教学中有所反映.也就是说,我们新的国家数学课程标准过于强调了数学的间接对象,而忽视了它的直接对象.我们认为,在这个问题上,每一次数学课程改革都应该寻求或重新寻找数学的直接对象和间接对象两者间的和谐关系,在它们之间保持必要的张力.2关于数学的本质哈代认为,纯数学是无用和无害的,是真正的和好的数学,而应用数学则是有用和有害的,因而是不足称道的或坏的数学.其实,纯数学和应用数学之间的必要张力是数学科学发展的不竭动力和源泉.哈代之所以有如此看法,是与他关于数学的本质、目的、意义和价值的观点分不开的.首先,他认为,数学家跟画家或诗人一样,也是造型家,如果说数学家的造型比画家和诗人的造型更能经受时间的考验,这是因为前者是由概念塑造的.画家造型用形与色,诗人则用语言.一幅画可以表示一种意境,但画意通常是老生常谈,无足轻重,相比之下诗意则重要得多.然而,诗意的重要性往往言过其实,这是豪斯曼(18561936,英国古典文学家和诗人)坚定不移的看法,他说我无法确信竟然存在诗意这样的东西诗歌不在于表达了什么,而在于怎样表达另一方面,数学家除了概念之外不与任何东西打交道,因此数学家的造型可能更持久.因为概念不会像语言那样快地变成陈词滥调数学家的造型与画家或诗人的造型一样,必须美概念也像色彩或语言一样,必须和谐一致.美是首要的标准不美的数学在世界上是找不到容身之地的.[21].其次,他还认为,最好的数学既是美的,同时又是严肃的[22],即数学定理要具有4一定的普遍性和深刻性,也即,数学定理的严肃性在于它所涉及的那些数学概念的意义,()而一个数学概念有意义,如果它同形形色色的其他数学概念有一种自然而鲜明的联系.因此,严肃的数学定理,即是把有意义的概念联系起来的定理,很可能在数学本身以及其他科学领域内产生重大进展[23].应该说,这一点对我们选择什么样的数学材料以构成课程内容、以及怎样编排这些材料以形成教材等,都具有一定的借鉴或指导意义.关于数学美,哈代认为,并不像人们普遍认同的那样,很少有人能够欣赏它.其实,现在也许很难找到一个受过教育的人对数学美的魅力全然无动于衷[24],不仅如此,而且大多数人都能欣赏一点数学,正如多数人能欣赏一支令人愉快的曲调一样.对数学真正有兴趣的人很可能比对音乐有兴趣的人要多.表面看来可能与此相反,但这是很容易理解的.音乐可用来激发群众的情绪,而数学却不能音乐上缺乏才能是公认为不太体面的事(这无疑是正确的),而大多数人一听到数学就害怕,所以他们随时都会由衷地强调自己在数学上不高明[25].就对数学美的欣赏而言,哈代的看法的确反映出他对普通人心理的敏锐感悟和深刻洞察[26].由此可以看出,我们的数学新课程标准在有意或无意之间表现出与哈代看法的某种程度的一致性人人学有价值的数学、人人都能获得必需的数学和不同的人在数学上得到不同的发展[27].然而,庞加莱却认为,数学的本质命系三重目的,即数学的目标和意义有三个方面首先,数学提供了研究自然界的有力工具其次,数学的研究有重要的哲学意义再则,我敢冒昧地说,数学的探索还有深刻的美学原则.毫无疑问,数学的发展充分地激励着哲学家们去探索数量、空间和时间的概念.因此,我毫不犹豫地认为,任何一个人要想有教养,就要去学习数学,即使是那些在物理学或其他学科中暂无任何应用的数学理论,也是值得去学习和探索的[28].由此可见,哈代关于数学本质的看法是极端的完美主义,而庞加莱的看法则显得更为全面和合理.但是,哈代的这种为艺术而艺术或为数学而数学的精神与倾向对于排除数学及数学研究中的功利主义和实用主义观点、推动20世纪上半叶纯数学的独立发展,起到了积极的作用.不仅如此,我们还认为,在实用主义(为了考试、职业、利益、权力)泛滥的当代中国数学教育领域急需引进并培植一种哈代式的为数学而数学的精神与倾向在这灼热的实用主义氛围中,它无疑是一副凉爽的清洁剂当然,如果数学的重要的哲学意义能够贯彻数学教育教学的始终,那么,通过数学,我们就不仅能够形成理性思维[29]的基础,而且还能够养成追寻理性并批判、反思理性的哲学精神我们认为,所有这一切都应该在新课程标准中有所体现,并切实落实于教材和课程与教学的评价之中.3关于数学证明关于数学证明,G.H.哈代认为,它至少有两种不同含义首先是数学系统内部的证明(demonstration),其次是数学系统外部的证明(proof)[30].我们认为,前者意味着某种5数学能力,而后者则意味着某种数学智慧.因为数学系统外部的证明是以数学内部的所有证明为其研究对象,并追求一种无矛盾的信念尽管这种追求的结果往往都是一些否定性的结论,比如,歌德尔不完全性定理、欧几里得第五公设的不可证明或独立性及非欧几何的确立这好象又是一种肯定性的结论,等等.为了便于理解,我们试做一个不太恰当的比喻如果数学如下棋,那么单车难破士象全就是一个下棋系统外部证明的结论.前者是数学的证明,而后者则是关于数学的证明前者是内在的,而后者则是外在的前者是数学研究,而后者则是研究数学.注重联系,提高(学生)对数学整体的认识是普通高中数学课程标准(实验)中的教学建议之一.它不仅强调数学的发展既有内在的需要、又有外在的推动,而且还认为,在教学中,要注重数学的不同分支和不同内容之间的联系,数学与日常生活的联系,数学与其他学科的联系[31].但是,我们认为,如果要想真正提高学生(甚至教师)对数学整体的认识,只靠上述三重联系是远远不够的,还非得考虑哈代所谓的数学系统的外部证明不可.因为任何水平的数学教学的最终目的无疑是使学生对他所要处理的数学对象有一个可靠的直觉[32].否则,对数学整体的认识最多只能停留在某种数学能力的水平上,而不可能达到某种数学智慧的层次.此外,包括了解数学真理的相对性在内的正确的数学观(这些都是普通高中数学课程标准(实验)基本理念中的体现数学的文化价值和渗透于各模块之中的数学文化内容的有机构成)的逐步形成是非得有这种数学智慧的搅和或引领不可这是毫无疑问的.至于如何在课标中陈述、如何在教材中呈现、以及如何在课程、教学和评价中贯彻,都是一些很值得我们做专题研究的.G.H.哈代关于数学证明的认识与他关于数学的对象和数学的本质的认识不无一致我本人常常认为数学家首先是一个观察家,凝视着远处的山脉,写下观察的记录.他的目的是尽可能清楚地识别出不同的山峰,并向他人报告.有一些山峰他很容易就能识别,其他有些山峰就显得模糊不清.山峰A他看得很清楚,山峰B却只能瞥见隐约的轮廓.终于他辨认出一条山脊,由A出发延伸到头,在B处达到顶峰.现在B被固定在他的视野,从这一点出发他又可以做出进一步的发现.在其他情形,他也许能识别出一条消失在远方的山脊,并猜测它通向一座隐没在云海中或地平线下的山峰.但当他看见一座山峰,他相信它在那儿无非是因为他看见了它.如果他希望别的人也能看见这座山峰,他就直接指出它来,或者通过那条帮助他自己认出山峰的山脊来指点.当他的学生也看见了这座山峰,那么他的研究,他的论证与证明也就大功告成[33].我们认为,在这个过程中,还必定充满着对数学美、以及数学的普遍性和深刻性的追求与欣赏.关于上述比喻,正如G.H.哈代自己所言如果我们把它推向极端,就会得出非常矛盾的结论严格地说,并没有数学证明这样的东西.但是,这个比喻却能赋予我们三个方面的想象一是对数学教学过程的想象,二是对数学发现过程的很好近似,三是对数学外部6证明的粗略图像[34].从某种角度来看,这三种想象正是我们新课程标准及其指导下的教材编写、课堂教学、课程与教学评价等所需要的指引和方向.批判地理解G.H.哈代关于数学的对象、数学的本质和数学证明的认识,对于重新审视我们这个时代的数学教育研究和当前的数学课程改革,具有非常积极的意义。从某种意义上来说,这个时代并不缺少新念头、新理念、新思想、新方法和新理论,所缺少的是如何从不同角度吸收大数学家们的思想的合理性、所缺少的是类似于G.H.哈代拥有的为数学而数学或为艺术而艺术的一以贯之的精神、思想和践行.注释[1]另一个领袖人物是利特尔伍德剑桥分析学派前期的数学物理学派主要以分析为工具,其代表人物是巴贝奇和麦克斯韦.[2]如,哈代元法、哈代定理和哈代空间等.[3]影响或促进数学教育发展的主要因素,除了数学本身之外,还有社会、政治、经济、科技、文化,以及教育方面等.[4]这是人类思想史上最著名的哲学争论之一,争论的另一方是唯名论.唯名论者仅仅承认殊相的存在,而实在论或柏拉图主义者还承认共相的实在性.[5](英)G.H.哈代.一个数学家的辩白M.李文林等编译.南京江苏教育出版社,1996.P47.括号内的文字由引者所加.[6](英)G.H.哈代.一个数学家的辩白M.李文林等编译.南京江苏教育出版社,1996.P67.[7]恩格斯.反杜林论M.北京人民出版社,1970.P35.[8]可参见林夏水.数学的对象与性质M.北京社会科学文献出版社,1994.括号内的文字由引者所加.[9](美)T.丹齐尔.数科学的语言M.苏仲湘译.北京商务印书馆,1985.P5.括号内的文字由引者所加.10(英)A.N.怀特海.科学与近代世界M.北京商务印书馆,1989.P20.括号内的文字由引者所加.11恩格斯.自然辩证法M.北京人民出版社,1971.P236.12可参见胡作玄(编著).布尔巴基学派的兴衰现代数学发展的一条主线M.上海知识出版社,1984布尔巴基等.数学的建筑M.胡作玄等编译.南京江苏教育出版社,1999.13希尔伯特计划是指,用有穷方法去论证具有无穷对象域的古典数学的形式系统不可能导致逻辑矛盾.具体来说就是,为了证明整个数学的和谐性或一致性或无矛盾,首先把古典数学的某一基本理论严格形式化,再加上逻辑演算,并把这两部分综合起来,整理为一个形7式公理系统,然后再进一步形式化,构成一个相当于以上公理系统的形式语言系统其次从不假定实无穷的有穷观点出发,建立一个逻辑系统作为研究上述形式语言系统的工具(由于研究形式语言系统的逻辑性质需要用到数论,因此也要建立一个不假定实无穷的初等数论.这样建立起来的逻辑和数论就是通常我们所谓的元数学或有穷逻辑)最后运用元数学来研究形式语言系统的逻辑性质,特别是其中的证明,这也就是所谓的证明论(其目的是论证某一形式语言系统不包含逻辑矛盾.如果这个目的达到了,我们就可以保证那个形式语言系统所表达的数学理论是不会产生矛盾的).14歌德尔的数学结论是指,如果一个包括初等数论的形式系统是一致的,那么它就是不完全的和如果这样的系统是一致的,那么其一致性在本系统内是不可证明的.15马克思,恩格斯.马克思恩格斯全集(第20卷)M.北京人民出版社,1971.P556.16波普尔.科学知识进化论波普尔科学哲学选集M.纪树立选编.北京三联书店,1987.P412.17(荷兰)弗赖登塔尔.数学教育再探在中国的讲学M.上海上海教育出版社,1999.译者说明.横向数学化,能使一个问题的领域变得易于进行数学上的处理(这里指狭义的、形式的数学),而相对的纵向数学化却或多或少影响到复杂的数学处理过程,即横向数学化把生活世界引向符号世界.在生活世界里,人们生活、活动,同时也受苦受难在符号世界里,符号生成、重塑和被使用,而且是机械地、全面地、互相呼应地这就是纵向数学化.(P57)18(荷兰)弗赖登塔尔.数学教育再探在中国的讲学M.上海上海教育出版社,1999.第2章.PP62169.19中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标准(实验稿)M.北京北京师范大学出版社,2001.PP34.20中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(实验)M.北京人民教育出版社,2003.P10.21(英)G.H.哈代.一个数学家的辩白M.李文林等编译.南京江苏教育出版社,1996.P26.括号内的文字由引者所加.2223(英)G.H.哈代.一个数学家的辩白M.李文林等编译.南京江苏教育出版社,1996.P29.2425(英)G.H.哈代.一个数学家的辩白M.李文林等编译.南京江苏教育出版社,1996.P27.26根据我们的长期观察与调查发现不仅大多数从事数学或从事与数学有关工作的那些人对各种媒体上的数学游戏和逻辑问题感兴趣,而且,即使是那些在数学学习上有过失败经历的成年人,也对这些游戏和问题表现出极大的情趣.

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