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士学位论文 Banach空间中集值强向量相补及广义相补问题.pdf

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士学位论文 Banach空间中集值强向量相补及广义相补问题.pdf

分类号密级学校代码10638学号硕士学位论文Banach空间中集值强向量相补及广义相补问题姓名指导教师培养单位数学与信息学院学科专业应用数学研究方向优化理论及应用申请学位类别理学硕士论文提交日期二○一一年四月论文答辩日期二○一一年六月西华师范大学学位评定委员会四川南充二○一一年六月SetvaluedStrongVectorComplementarityandGenneralizedComplementarityProblemsinBanachSpacesADissertationSubmittedtotheGraduateFacultyInPartialFulfillmentoftheRequirementFortheDegreeofMasterofNaturalScienceBySupervisedbyProfessorMajorinAppliedMathematicsInCollegeofMathematicsandInformationChinaWestNormalUniversityNanchong,SichuanProvince,ChinaJun,2011目录摘要......................................................................................................................IIABSTRACT.................................................................................................................III第一章相补问题的一般理论.................................................................................11.1.相补问题的产生.....................................................................................................................11.2.相补问题的类型.....................................................................................................................1第二章相补问题与变分不等式的等价性.............................................................32.1预备知识...................................................................................................................................32.2.多值强向量F相补与相应的变分不等式的等价性...............................................................42.3Banach空间中广义f相补与相应的变分不等式的等价性................................................9第三章相补问题解的存在性...............................................................................123.1.预备知识...............................................................................................................................123.2.强向量相补问题解的存在性...............................................................................................13第四章最小元的存在性......................................................................................164.1.预备知识...............................................................................................................................164.2集值强向量F相补问题中最小元的存在性.........................................................................164.3Banach空间中广义向量相补问题中最小元的存在性......................................................19参考文献.............................................................................................................21声明..............................................................................................................I致谢.................................................................................................................II在学期间发表的论文..............................................................................................IIIAbstract摘要相补问题是Cottle和Dantzig于1963年提出,相补问题是应用数学的一个重要方面,它与优化理论,平衡理论,变分不等式理论有着密切的联系,同时又广泛应用于经济,工程机械,弹性理论,对策理论.向量相补问题由Chen和Yang1于1990年首先提出,其后,向量变分不等式与相补问题得到了广泛而深入的研究,并取得了丰硕的成果17.2005年,Huang和Fang6介绍了强向量F相补问题的概念2007年,Huang,Li和ORegan在7中研究了Banach空间中的广义F相补问题与三种类型的变分不等式的关系问题.在这篇文章中,我们将上述概念分别推广到向量情形和集值情形,并分别研究解集的存在性以及相补问题与相应的变分不等式的等价性.全文共分三章,具体内容如下在第一章,我们介绍相补问题的产生背景,与相补问题有关的数学分支,相补问题的有关方面以及相补问题的各种类型.在第二章,我们首先将Huang和Fang6介绍的强向量F相补问题推广为集值情形,并利用KKM定理证明推广后的相补问题与相应的变分不等式的等价性其次,我们将Huang,Li和ORegan在7中介绍的概念推广为向量情形,并利用单调性,伪单调性等概念以及引理2.1.1,来证明此类相补问题与相应的变分不等式的等价性.在第三章,我们首先介绍一些有关的基本概念,其次,利用上方有界,伪单调,严格伪单调,半连续,以及KKM定理,极大极小原理来讨论集值强相补问题解的存在性.在第四章,我们介绍Z映象,序向量空间,C单调,强可行集,弱可行集等概念,并利用上方有界来讨论可行集上的最小元的存在性问题.关键词集值向量F相补,变分不等式上方有界可行集最小元.AbstractAbstractThecomplementarityproblemswasstudiedbyCottleandDantzigin1963forthefirsttime.Itisanimportantdomaininappliedmathematics.Thecomplementarityproblemshavecloserelationsbetweenoptimizationtheoryandequalibriumtheory,variationalinequalitiesandrepresentawideclassofmathematicalmodelsrelatedtoeconomics,engineering,mechanics,elasticity,gametheoryetc.VectorcomplementaryproblemswasfirstintroducedandstudiedbyChenandYangin1990.Sincethen,alargenumberofresultsforthevectorvariationalinequalityandvectorcomplementaryproblemshavebeenobtained.In2005,HuangandFangintroducedstrongvectorFcomplementaryproblem.In2007,Huang,LiandOReganstudiedthegeneralizedFcomplementarityproblemsandthreekindofvariationalinequalitiesinBanachspacesin7.Inthisdissertation,wegeneralizethenotiontovectorcaseandsetvaluedcase,studytheexistenceofthesolutionsetandequivalencebetweencomplementaryproblemandvariationalequality.Thisdissertationisdividedintofourchapters.Inchapter1,weintroducethebackgroundofthecomplementarityproblemsandthebranchofthemathematicscorrespondingproblemsandthetypeofthecomplementarityproblems.Inchapter2,wegeneralizeFcomplementarityproblemintroducedbyHuangandFangtosetvaluedFcomplementarityproblem,provetheequivalencebetweensetvaluedFcomplementarityproblemandcorrespondingvariationalequalityproblemsbyKKMtheorem.WegeneralizetheconceptintroducedbyHuang,LiandOReganin7tovectorcase,andbyusingmonotonicityofsetvaluedmapping,pseudomonotonicity,weprovetheequivalencebetweenthistypeofcomplementarityandcorrespondingvariationalequalityproblems.Inchapter3,wefirstintroducebasicconceptsaboutcomplementarity,byusingthenotionofboundedfromabove,pseudomonotonicity,strictpseudomonotonicity,hemicontinuity,KKMtheoremandminimaxprinciple,weprovetheexistenceofthesolutionofsetvaluedstrongcomplementarityproblems.AbstractInchapter4,weintroduceZmapping,strictpseudomonotonicity,strongfeasibleset,weakfeasibleset.Byusingthenotionofboundedfromabove,weprovetheexistenceoftheleastelementofthefeasibleset.Keywordssetvaluedvectorcomplementarityvariationalinequalitypseudomonotonicityboundedfromabovefeasiblesetleastelement.第一章相补问题的一般理论1第一章相补问题的一般理论1.1.相补问题的产生相补问题是由著名运筹学家,数学规划的创始人Dantzig和他的学生Cottle于1963年首先提出的.Cottle曾经指出过,线性规划与二次规划是线性相补问题的特例.线性相补问题还包括双矩阵对策问题,最优停止问题和市场均衡问题,非线性相补问题还包括了更多的数学问题,相补问题与最小值问题,极大极小问题,变分不等式问题,不动点理论等数学分支有着紧密的联系,相补问题也广泛应用于社会,经济,交通等领域,这就使得相补问题成为数学规划中一个热门的研究课题,相补问题是从线性规划与非线性规划的推广而形成的,它的研究分为理论与算法两个方面,前者主要研究解的存在性,唯一性与解的拓扑性质,以及相补问题与其它数学分支的联系,后者则主要建立不同类型的互补问题的求解方法及相应的算法理论分析,相补问题在研究过程中应用了非线性分析与拓扑学中的许多理论,同时又广泛应用于经济,交通,金融等领域,故它可被视为基础数学,应用数学和计算数学的一个交叉.相补问题被提出后,立即引起了应用数学界的广泛关注和浓厚兴趣,推动了相补问题的快速发展,特别是二十世纪90年代以来,们对相补问题的研究达到了一个阶段性高潮(见文献28,29,30,)1.2.相补问题的类型(1)线性相补问题设,EF是一局部凸空间的一对偶系统,且KE是一闭凸锥,LEE是连续线性映象.给定qF,线性补问题是,,LCPLKq求0xK,使得0,LxqK且00,0.xLxq特别地,若,nnnERLR是nn实矩阵,nqR是n维向量,线性相补问题为求,nxR满足0,0,0qMxxqMxxT(2)非线性相补问题设,EF是一局部凸空间的一对偶系统,且KE是一闭凸锥,给定映象,,EKf一般的非线性相补问题是,NCPfK求0xK,使得0,fxK且00,0.xfx线性相补问题是非线性相补问题的特例,非线性相补问题在优化理论中有着广泛第一章相补问题的一般理论2的应用,它与变分不等式有着紧密的联系,非线性相补问题等价于下列变分不等式问题求0xK,使得00,0.fxyxyK集值相补问题设,EF是一局部凸空间的一对偶系统,且KE是一闭凸锥,设2,EfK集值相补问题是,MCPfK求0xK,和0,yK使得00,yfxK且00,0.xy集值相补问题与经济,古典相补问题以及拟变分不等式或集值映象变分不等式有着紧密的联系,集值相补问题被应用于相补问题的灵敏度分析及经济均衡问题的研究4隐补问题设E是局部凸空间,KE是一闭凸锥,,,bEAMEE是两个映象,.,.是EE上的半内积,隐补问题是,ICPfK求00,,xKyE使得000,,MxxKbAxK且000,0.AxbxMx隐补问题产生于连续随机优化控制的动态规划方法,它与拟变分不等式之间也有一定的联系.5集值隐补问题设,EE是一局部凸拓扑空间的对偶系统,设MEE是映象,fEE且2ELE,,LxExE,是一闭凸锥,集值隐补问题是,MICPfK求00,xy使得000,xMxLx000,yfxLx且000,0yxMx同样,设KE是闭凸锥,DE是非空集,集值广义隐补问题是,,,MGICPfgDK求0,xK使得00,xgxK且00,yfxK满足00,0xy(6)序补问题设,.E是局部凸空间,E是由闭凸锥K定义了序的序空间,序关第一章相补问题的一般理论3系满足xyyxK.再设,EK是一向量格,即对每一个,,xyEE,xy和,xy分别表示在E中的序关系下取最小和最大。12,,,nfffEE是n个映象。序补问题是1{},,miiOCPfDK求0xD,使得10200,,,0nfxfxfx.

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