学建模论文 硬盘振动测量.pdf

1硬盘振动测量硬盘振动测量硬盘振动测量硬盘振动测量(A题题题题)王宏亮王宏亮王宏亮王宏亮、林昕怡林昕怡林昕怡林昕怡、潘乾超潘乾超潘乾超潘乾超关键字关键字关键字关键字：硬盘驱动器；三维振动模拟；光线反射振动测量；摘要摘要摘要摘要：计算机技术已广泛地应用于国防和国民经济建设及社会的各个领域，在对所需信息进行处理过程中，涉及到大量数据的读取和保存，特别在微型计算中，硬盘驱动器起着至关重要的作用，但它是生性脆弱的装置，对振动尤其敏感。采用非接触振动测量技术即本题中所研究的双光线平面测量技术能较好地应对高速转动硬盘振动的测量问题。此项测量技术主要利用类似镜面反射的几何光学原理工作，我们运用物理光学反射知识和空间几何中的点线面坐标向量等内容对其进行了剖析。在计算a，b，c值中，先由光源点O求得光源关于反射面的镜像点O，再由线面相交得到两个反射点1E、2E坐标，由于已知接收点1B、2B点坐标，可确定11OBE，22OBE，12OBB平面，而根据反射定理，O，O，1E点分别在以上三个平面内，代入得到三个方程，联立后用MATLAB编程解得a，b，c解析表达式：a=(ya2*xa1*xb2*h-ya2*xb2*xb1*za1-h*xa2*xb1*ya1+h*xa2*xa1*yb1-h*xa2*yb2*xa1+xa2*yb2*xb1*za1-xb2*za2*xa1*yb1+xb2*za2*xb1*ya1)/(-yb1*za1*xb2*za2+yb1*za1*xa2*h+ya1*h*xb2*za2-ya1*h2*xa2+xb1*za1*yb2*za2-xb1*za1*ya2*h-h*xa1*yb2*za2+h2*xa1*ya2)b=(-yb1*za1*xb2*ya2+yb1*za1*xa2*yb2+ya1*h*xb2*ya2-ya1*h*xa2*yb2+xb1*ya1*yb2*za2-xb1*ya1*ya2*h-xa1*yb1*yb2*za2+xa1*yb1*ya2*h)/(-yb1*za1*xb2*za2+yb1*za1*xa2*h+ya1*h*xb2*za2-ya1*h2*xa2+xb1*za1*yb2*za2-xb1*za1*ya2*h-h*xa1*yb2*za2+h2*xa1*ya2)（具体符号含义见正文）c=E-D（其中E的表达式见附录2）对问题3，建立计算机模拟系统分析接受屏分辨率对表面方程的影响。通过模拟得到一系列反射平面方程，然后根据反射定律计算出接受屏上对应的1B和2B坐标值，这里的反射面法向量值为精确值。再利用问题2中所解得的结果，将1B和2B点坐标代入a，b，c表达式中，得到a，b，c值，称为计算值。通过对1B和2B坐标点的值进行某一精度下的四舍五入取整，比较精确值和计算值的相对误差，得到结论：当h越大时，接受屏分辨率对盘片局部表面方程的影响越小。当h固定，接收屏分辨率越高，表面方程越精确。基于以上分析，我们提出了模型的优化方法。要尽量精确地测量硬盘（假设为长方体）振动，需要对其三个面分别进行双光线测量，仅测量一个面并不能完全含概所有振动情况。最后，由于双光线平面测量技术的简单可行，我们认为此模型可应用于大部2分基于振动的问题。问题重述问题重述问题重述问题重述硬盘是计算机上的重要部件，正向着更小、更快、密度更高的方向发展。如何减小盘片的振动，成为关键问题，于是怎样检测盘片的振动更加重要。由于硬盘转速很高，不适宜接触式测量，容易想到光学测量。有一种新技术测量物体表面获得振动情况，是利用类似镜面反射的几何光学原理工作的：选用同一点光源发出两束光线，照射有反射能力的被测物体平面，产生的两条反射光线再照射到水平放置的接受屏上。接受屏能够检测出光线照射点在接受屏平面上的坐标位置，问题是怎样利用图2中Oxy平面的两个坐标值反算出被测物体当前的平面方程，就可利用平面方程的变化得到振动情况。图1是用两条光线检测的原理图，点光源O为坐标原点，E1和E2是盘片瞬间位置的反射点，此时盘片局部表面方程为z=ax+by+(c+D)，其中a,b,c为未知量，由于硬盘在振动，平面就偏离了初始位置z=D(D<0)；接受屏方程为z=h，其中h>0为接受屏的高度，B1和B2是其上的照射点，这样利用它们确定a、b和c获得盘片局部表面方程。（本题作到确定出a、b和c即可，不必分析振动情况）问题1：请解释这种测量技术采用两束光线的原因。问题2：请建数学模型分析盘片局部表面方程的测量原理。问题3：试分析接受屏分辨率（测量精度）对盘片局部表面方程的影响。OB1图2接受屏示意图B2x,y,)(Dcbyaxz+=hDhz=被测物体平面接收屏图1原理图O点光源E1E2B2B1zxy3模型假设与符号声明模型假设与符号声明模型假设与符号声明模型假设与符号声明基本假设基本假设基本假设基本假设1假设入射光线方向矢量已知，并且光束无限细。2假设硬盘振动由自身引起，不受外界干扰。3接收面无限大。符号声明符号声明符号声明符号声明已知常量符号已知常量符号已知常量符号已知常量符号：两条入射光线方向矢量：()1111,xyzuur，()2222,xyzuur；接收面zh=上的接收点的坐标：111(,)BBBxy，222(,)BBBxy；光源点：(0,0,0)O；接收面方程：zh=；反射面初始方程：zD=所求变量符号所求变量符号所求变量符号所求变量符号：由于反射面一般方程为：()zaxbycD=+所以设反射面法向量为(),1nabr；中间变量符号中间变量符号中间变量符号中间变量符号：反射点1111(,)EEEExyz，2222(,)EEEExyz；光源相对于反射面()zaxbycD=+的镜像点(,)Oxyz；4问题分析问题分析问题分析问题分析磁盘的振动主要来自于马达与轴承，以及由于磁盘盘片不为正圆所引起的离心力不均而导致的振动。本题要求测量磁盘盘片的振动，由于磁盘高速转动所以采用非接触振动测量技术，即以下讨论的双光线平面测量技术。衡量振动强度的参数有振动的频率与振幅。对于硬盘来说一般为5400或7200转/分钟，由于硬盘振动由转动引起，所以其振动的频率几乎为90或120Hz，由此只要研究硬盘振动的振幅，即只要确定在某一时刻的平面方程即可。模型建立模型建立模型建立模型建立与求解与求解与求解与求解问题问题问题问题1：这种测量技术采用两束光线的原因：如上图所示，两条光线由点光源发出，经过被5测物体平面反射后形成的反射光线11EB和22EB反向延长后可在被测物体平面另一方向交于一点O，根据反射定理，O是O关于被测物体平面的镜像点，OO交线方向矢量即被测物体平面的法矢，OO中点在该平面上，又法矢和平面上一点即可唯一确定所求平面。所以需要两束光线。问题问题问题问题2：步步步步11首先求光源点的镜像点(,)Oxyz：根据反射定律光源点与镜像点的连线必然垂直于反射面，由于反射面法向量为(),1nabr且光源点为(0,0,0)O，所以连线OO方程为：11xyzkab=；又由于O与O的中点,222xyz在反射面上，即：()222zxyabcD=+；联立两式：11()222xyzkabzxyabcD=+；得：()111(,),Oxyzkakbk=其中1222()1cDkab+=+；步步步步22再求反射点两条入射光线方向矢量：()1111,xyzuur，()2222,xyzuur，都通过光源(0,0,0)O则两条入射光线方程为：111xyzxyz=；222xyzxyz=；由于反射面一般方程为：()zaxbycD=+，所以联立方程：61112()xyzkxyzzaxbycD=+；2223()xyzkxyzzaxbycD=+；解得反射点：1111111222(,)(,)EEEExyzkxkykz=，其中1112()cDkaxbyz+=+2222222333(,)(,)EEEExyzkxkykz=，其中2223()cDkaxbyz+=+步步步步33最后确定,abc；（1）因为已知O点，1B点（题中已给），1E点（带参表达式）坐标，我们采取三点式确定11OBE平面，则11OBE平面方程为：1111110001011BBEEExyzxyhxyz=；（2）同理，因为已知O点，2B点，2E点坐标，我们采取三点式确定22OBE平面，则22OBE平面方程为：2222210001011BBEEExyzxyhxyz=由于前面已讨论根据反射定理，反射光线11EB和22EB反向延长后在被测物体平面另一方向交于一点O（镜像点），则O在直线11EB和22EB上，则O在平面11OBE和平面22OBE内，(,)Oxyz满足这两个平面方程，于是得到：71111110001011BBEEExyzxyhxyz；2222210001011BBEEExyzxyhxyz；（3）又，同样地，采取三点式确定12OBB平面，则12OBB平面方程为：112211011BBBBxyzxyzxyhxyh=1E点，2E点在12OBB平面上，两点都满足此平面方程，若取1111(,)EEEExyz，代入平面方程于是得到：111112211011EEEBBBBxyzxyzxyhxyh；有（1）（2）（3）联立方程组，得到：11111222221111122100010111000101111011BBEEEBBEEEEEEBBBBxyzxyhxyzxyzxyhxyzxyzxyzxyhxyh=；8其中1111112222221112221112223331232221EEEEEExkaykbzkxkxykyzkzxkxykyzkzEEEkkkabaxbyzaxbyz=+；（其中EcD=+）用MATLAB编程计算,abE（MATLAB程序见附录1）(表达式符号约定：1x:xa1,2x:xa2,1y:ya1,2y:ya2,1z:za1,2z:za2,1Bx:xb1,2Bx:xb2,1By:yb1,2By:yb2)a=(ya2*xa1*xb2*h-ya2*xb2*xb1*za1-h*xa2*xb1*ya1+h*xa2*xa1*yb1-h*xa2*yb2*xa1+xa2*yb2*xb1*za1-xb2*za2*xa1*yb1+xb2*za2*xb1*ya1)/(-yb1*za1*xb2*za2+yb1*za1*xa2*h+ya1*h*xb2*za2-ya1*h2*xa2+xb1*za1*yb2*za2-xb1*za1*ya2*h-h*xa1*yb2*za2+h2*xa1*ya2)b=(-yb1*za1*xb2*ya2+yb1*za1*xa2*yb2+ya1*h*xb2*ya2-ya1*h*xa2*yb2+xb1*ya1*yb2*za2-xb1*ya1*ya2*h-xa1*yb1*yb2*za2+xa1*yb1*ya2*h)/(-yb1*za1*xb2*za2+yb1*za1*xa2*h+ya1*h*xb2*za2-ya1*h2*xa2+xb1*za1*yb2*za2-xb1*za1*ya2*h-h*xa1*yb2*za2+h2*xa1*ya2)c=E-D（由于E表达式过长，请见附录2）问题问题问题问题3：总体思想总体思想总体思想总体思想：为分析接收屏分辨率（测量精度）对盘片局部表面方程的影响，我们通过建立模拟系统得到一系列反射平面方程然后再根据反射定律计算出接受屏上对应的坐标值1B和2B，这里的反射面法向量值为精确值。再利用问题2中所解得的结果，将1B和2B点坐标代入a，b，c表达式中，得到a，b，c值，称为计算值。将对1B和2B坐标点的值进行某一精度下的四舍五入取整，比较精确值和计算值的相对误差。具体步骤具体步骤具体步骤具体步骤：一首先建立模拟系统：1实际情况中先有入射光线、反射面，然后根据反射定律计算反射光线以及屏幕接收点。在具体编程过程中遵照物理现实，用四个初始空间点来绘制反射平面，通过旋转矩阵改变四点坐标，旋转矩阵为：9=100010001000110000cossin00sincos0000110000cos0sin00100sin0cos1000100010001dzdydxdzdydxMxxxxyyyyx，y分别为绕x轴与y轴旋转的Euler角，(,)dxdydz为旋转中心点坐标，用各点齐次坐标右乘M可得旋转后坐标。4从旋转后的四点中任取三点111(,)xyz，222(,)xyz，333(,)xyz可求反射面法向量：212121212121313131313131,yyzzzzxxxxyynyyzzzzxxxxyy=r；1再根据问题2：步2求得反射点。2根据反射定律求反射光方向矢量：设坐标原点(0,0,0)O为发光点，反射面的法向量为(,)abc，且反射点000(,)xyz，由于已知反射点，所以要求反射光方向矢量只需求反射光经过的一点即可，根据反射定律原点关于法线的镜像点必然在反射光线上，设其为111(,)Pxyz，P与O的中点设为Q。由于P是O的镜像点所以,OPQ必然在平面0axbycz+=上（如上图所示）。所以Q点坐标为1111,222xyaxbyc+,又因为Q为中点所以其在法线000xxyyzzkabc=上，则设：1111000222axbyxyzxyckabc+=；解得：