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导数在解题中的应用.doc

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导数在解题中的应用.doc

目录摘要...1引言...2一、求曲线的切线方程.4二、导数在探究函数性质中的应用7(一)判断函数的单调性7(二)函数的极值、最值问题9(三)求函数的解析式...11(四)导数在解决实际问题中的应用..12(五)用导数判定函数的凸性及拐点.14三、研究方程根的情况15四、导数在不等式证明中的应用.15五、导数求参数的取值范围16六、导数在数列中的应用17(一)导数在数列求和中的应用18(二)求数列中的最大小项18七、导数在求极限中的应用19八、近似计算19结束语...20参考文献...211导数在解题中的应用摘要导数是近代数学的基础,是联系初高等数学的纽带。导数是一个特殊函数,它的引出和定义始终贯穿着函数思想。导数是微积分的核心概念之一,它是一种特殊的极限,反映了函数变化的快慢程度.导数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具,同时对研究几何、不等式起着重要作用.导数概念是我们今后学习微积分的基础.同时,导数在物理学,经济学等领域都有广泛的应用,是开展科学研究必不可少的工具。导数是微积分中的重要基础概念,当自变量的增量趋于零时,因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时,称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。导数实质上就是一个求极限的过程,导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则。本文通过导数的基本理论来解决数学中的相关问题,通过例题从简单应用和综合应用来说明导数在解题中的应用,如在数列、函数、不等式证明、实际问题、数列求和等方面的应用。关键词导数函数单调性最值数列TheApplicationofDerivativeinSolvingProblemsAbstractDerivativearethefoundationofmodernmathematicsislinkedbondsinearlymathematics.Derivativeisaspecialfunction,whichleadstoanddefinitionsofthefunctionrunsthroughideas.Derivativeisoneofthecoreconceptsofcalculus,itisaspecialkindoflimit,reflectingthepaceofchangeinthedegreeoffunction.Derivativeisthemonotonicityofafunction,extremum,thecurvetangentandsomeimportanttoolsforoptimizationproblems,whilethestudyofgeometry,inequalitiesplayanimportantrole.Derivativeconceptisthebasisforfuturestudyofcalculus.Atthesametime,derivativeinphysics,economicsandotherfieldshaveawiderangeofapplications,isanindispensabletoolforscientificresearch.Derivativeisanimportantfoundationforcalculusconceptsofincrementalindependentvariabletendstozero,thedependentvariableandindependentvariableincrementincrementalquotientofthelimit.Presenceinthederivativeofafunction,callthisfunctioncanleadorbedifferential.Beacontinuousdifferentiablefunction.Discontinuousfunctionmustnotbeguided.Derivativeisessentiallyaprocessoflimit,derivativeofthefouralgorithmsfromthelimitsofthefouralgorithms.Inthispaper,wediscusssomeproblemsinmashbythetheoryofthederivative.Thederivativeapplicationisobtainedbyusingexamplesfromsimpleapplicationtocomprehensiveapplication,suchastheapplicationoftheseries,inequalityproof,practicalproblemsandsummationseries.Keywordsderivativefunctionmonotonethemostvalueseries引言微积分的知识和方法在中学数学的许多问题上,能起到化繁为简的作2用,尤其体现在判定函数相关性质,证明不等式,恒等式及恒等变形,研究函数的变化形态及函数作图上.导数是微积分学中重要的基础知识,是研究函数解析性质的重要手段,在求函数的极值方面起着钥匙的作用定义设函数xfy在点0x的某个领域内有定义,当自变量x在0x处取得增量x点xx0仍在该领域内时,相应的函数y的增量00xfxxfy如果y与x之比当0x时的极限存在,则称函数xfy在0x处可导,并称这个极限为函数xfy在0x处的导数,记为0|xxy,即xxfxxfxyyxxxxlimlim|00001.1导数定义的形式比较灵活.对它进行研究,能促进我们对导数的理解,帮助我们迅速、正确地解题,导数的定义式也可以有不同的形式,常见的有000lim0xxxfxfxfxx1.2hxfhxfxfhlim00001.31.3式中的h即为自变量的增量x.从微积分成为一门学科来说,是在十七世纪,但是,微分和积分的思想在古代就已经产生了。公元前三世纪,古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中,就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理论来说,早在古代以有比较清楚的论3述。比如我国的庄周所著的庄子一书的天下篇中,记有一尺之棰,日取其半,万世不竭。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,则与圆周和体而无所失矣。这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作,如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格英国的巴罗、瓦里士德国的开普勒意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量,因此这门学科早期也称为无穷小分析,这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑,莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。牛顿在1671年写了流数法和无穷级数,这本书直到1736年才出版,它在这本书里指出,变量是由点、线、面的连续运动产生的,否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。他把连续变量叫做流动量,把这些流动量的导数叫做流数。牛顿在流数术中所提出的中心问题是已知连续运动的路径,求给定时刻的速度(微分法)已知运动的速度求给定时间内经过的路程积分法。直到19世纪初,法国科学学院的科学家以柯西为首,对微积分的理论进行了认真研究,建立了极限理论,后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯4进一步的严格化,使极限理论成为了微积分的坚定基础。才使微积分进一步的发展开来。任何新兴的、具有无量前途的科学成就都吸引着广大的科学工作者。在微积分的历史上也闪烁着这样的一些明星瑞士的雅科布贝努利和他的兄弟翰贝努利、欧拉、法国的拉格朗日、科西。欧氏几何也好,上古和中世纪的代数学也好,都是一种常量数学,微积分才是真正的变量数学,是数学中的大革命。微积分是高等数学的主要分支,不只是局限在解决力学中的变速问题,它驰骋在近代和现代科学技术园地里,建立了数不清的丰功伟绩。一、求曲线的切线方程在求过点,00yxP所作函数xfy对应曲线的切线方程时应先判断该点是否在曲线上.1当点,00yxP在曲线上,即点,00yxP为切点时,则切线方程为000xxxfyy.2当点,00yxP不在曲线上时,则设切点坐标为,11yx,由1010111xxyyxfxfy先求得切点的坐标,然后进一步求切线方程.例1.已知曲线axxyl22,求过点P1,2的曲线l的切线方程.解因axxy22,所以22xy,则当2x时,ay,2y.5①当1a时,点P1,2在曲线l上,故过点P的曲线l的切线方程为,221xy即052yx,②当1a时,点P不在l上,设曲线l过点P的切线的切点是,00yx,则切线方程为22000xxxyy且点P1,在此切线方程上,所以有,2221000xxy即.3620200xxy又axxy02002则有3622020020xxaxx,即,034020axx143416aa,当1a时,0,所以120ax当0xx时,1122122aay,所以切线方程是21121xay即12112xay,当1a时,0,切线不存在.例2.已知抛物线xxyC221和抛物线axyC22,当a取什么值时,1C和2C有且仅有一条公切线写出公切线的方程.分析传统的处理方法是用法来解决,但计算量大,容易出错,如能运用导数的几何意义去解,则思路清晰,解法简单.解设2211,,,yxByxA分别是直线l与1C、2C的两个切点.又xxy2c21,axyc22的导数分别为22xy,yx2,所以2122xx,即121xx又1C、2C有且只有一条公切线,则点A与点B重合,21xx,6所以2121xx,即43,21A,有点B在2C上,可知21a,此时l41xy.例3.已知曲线xxxyC2323,直线kxyl,且l与C切与点0,000xyx,求直线l的方程及切点坐标.解由l过原点,知000xxyk,点,00yx在曲线C上,02030023xxxy2302000xxxy又∵2632xxy∴263020xxk,又00xyk∴23263020020xxxx∴23,0320020xxx(00x不符合题意)∴8323223323230y∴41238300xyk所以l的方程为xy41,切点为83,23.求曲线的切线方程,关键利用曲线上某点的导数就是曲线上过该点的切线的斜率.7二、导数在探究函数性质中的应用(一)判断函数的单调性假设xfy在点,ba中可导Ⅰ)若对,ba中所有x而言0xf,则xf在,ba中递增Ⅱ)若对,ba中所有x而言0xf,则xf在,ba中递减Ⅲ)若对,ba中所有x而言0xf,则xf在,ba中不变.由此可见,只要求出函数的导数,判断其正负性,则能判断函数的单调性.这种方法比传统的定义法及图像法更方便.例1.求函数xxay12在1,0x上的单调性Ra解令xt,即求tattf12,1,0t上的单调性当0a时,tf在1,0t上为增函数当0a时,因312tatf,则由0xf,得0123ta则可以判断,当1,0t3a时,0xf,说明tf在1,0t3a上为增函数当,1t3a时,0xf,tf在,13a上为减函数.接下来,要比较31a和1的大小,8当01a时113a,则tf在1,0t上为增函数,此时121aftf,当1a时,113a,则tf在1,0t3a上为增函数在,1t3a上为减函数.该题用导数来解,淡化了技巧,突出了通法,充分显示了该解法的新颖别致和通俗易懂.例2.已知函数xf1tan22xx,3,1x,其中2,2,求的取值范围,使xf在3,1区间上是单调函数.解tan22xxf,它在3,1上是单调函数,tan22minxf,tan232maxxf,当0tan22,即2,4时,0xf,xf为单调递增函数当0tan232,即3,2时,0xf,故xf为单调递减函数综上所述,当2,43,2时,xf在区间3,1上是单调函数.(二)函数的极值、最值问题求可导函数xf的极值的一般步骤和方法是

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