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学科教育论文-“糖水不等式”及其应用.doc

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学科教育论文-“糖水不等式”及其应用.doc

学科教育论文-“糖水不等式”及其应用摘要本文首先挖掘了“糖水不等式”的生活原型,接着详细介绍了此不等式的三种证明方法,最后用“糖水不等式”证明了三道高考题。通过本文重在启发大家:在以后学习中,不仅掌握知识本身,还要多体会知识产生、发展的背景、及其应用,以达到举一反三、融会贯通的目的;从而的出思考与反思史学系的必要关键词我们在小学曾对不等式[SX(]12[SX)]<[SX(]23[SX)]<[SX(]34[SX)]<[SX(]45[SX)]<…记忆犹新,今天学到了高中数学不等式这一章,我们联想到这一不等式能不能推广?推广形式如何?下面就是它的推广形式:“若a,b,m∈R+,且a<b,求证:[SX(]ab[SX)]<[SX(]a+mb+m[SX)](*上述不等式在高中数学人教版必修5第87页的例1中出现,并做了严谨证明。相信大家对这一不等式并不陌生。此不等式不仅有着丰富的现实生活背景;而且一、不等式(*)的生活原型生活原型1:b克糖水中含有a克糖,加入m不等式描述这一现象:[SX(]ab[SX)]<[SX(]a+mb+m[SX)]<1由于此生活原型生动直观的刻划了不等式[SX(]ab[SX)]<[SX(]a+mb+m[SX)]<1生活原型2:建筑民用住宅时,一般情况下,民用住宅的窗户总面积小于该住宅的占地面积。窗户的总面积与占地面积的比值越大,住宅的采光条件越好。问同解:设a,b取决于[SX(]ab[SX)]与[SX(]a+mb+m[SX)]作差法:[SX(]ab[SX)]-[SX(]a+mb+m[SX)]=[SX(]ab+am-ba-bmb(b+m)[SX)]=[SX(](a-b)mb(b+m)[SX)]因为a,b,m>0,且a<b,所以[SX(](a-b)mb(b+m)[SX)]<0所以[SX(]ab[SX)]<[SX(]a+mb+m[SX)]二、“糖水不等式”的证明此题的证明方法很多,例如(1)作差法(2)作商法(3)分析法(4)综合法(5)构造函数法(6证法1:分析法:要证[SX(]ab[SX)]<[SX(]a+mb+m[SX)]只要证a(b+m)<b(a+m)即证am<bm,(m>0)而a<b证法2:构造函数法:f(x)=[SX(]a+xb+x[SX)]=[SX(]b+x-b+ab+x[SX)]=1+[SX(]a-bb+x[SX)]因为a-b<0,所以函数f(

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