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学科教育论文-“糖水不等式”及其应用.doc

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学科教育论文-“糖水不等式”及其应用.doc

学科教育论文糖水不等式及其应用摘要本文首先挖掘了糖水不等式的生活原型,接着详细介绍了此不等式的三种证明方法,最后用糖水不等式证明了三道高考题。通过本文重在启发大家在以后学习中,不仅掌握知识本身,还要多体会知识产生、发展的背景、及其应用,以达到举一反三、融会贯通的目的从而的出思考与反思史学系的必要关键词我们在小学曾对不等式SX12SX<SX23SX<SX34SX<SX45SX<记忆犹新,今天学到了高中数学不等式这一章,我们联想到这一不等式能不能推广推广形式如何下面就是它的推广形式若a,b,m∈R,且a<b,求证SX(abSX<SXambmSX(上述不等式在高中数学人教版必修5第87页的例1中出现,并做了严谨证明。相信大家对这一不等式并不陌生。此不等式不仅有着丰富的现实生活背景而且一、不等式()的生活原型生活原型1b克糖水中含有a克糖,加入m不等式描述这一现象SXabSX<SXambmSX<1由于此生活原型生动直观的刻划了不等式SXabSX<SXambmSX<1生活原型2建筑民用住宅时,一般情况下,民用住宅的窗户总面积小于该住宅的占地面积。窗户的总面积与占地面积的比值越大,住宅的采光条件越好。问同解设a,b取决于SXabSX与SXambmSX作差法SXabSXSXambmSXSXabambabmbbmSXSXabmbbmSX因为a,b,m>0,且a<b,所以SX((abmbbmSX<0所以SXabSX<SXambmSX二、糖水不等式的证明此题的证明方法很多,例如(1)作差法(2)作商法(3)分析法(4)综合法(5)构造函数法(6证法1分析法要证SXabSX<SXambmSX只要证abm<bam即证am<bm,m>0而a<b证法2构造函数法fxSXaxbxSXSXbxbabxSX1SXabbxSX因为ab<0,所以函数fx在b,∞故f0<fm,即SXabSX<SXambmSX证法3〖TPP0707.TIF,BP〗SXambmSXSXCSXamSX11SXbmSXSXSXC1SXbmSXSXabSX1SXbmSXSX,令λSXbmSX>0,x11,x2SXabSX由定比分点公式得SXabSX<SXambmSX<1三、糖水不等式在比较大小、及证明不等中的应用例1(1)若a,b,m∈R,且a<b,则SX(abSX,SXambmSXSXbaSX,SXbmamSX从小到大的顺序为CD4解由糖水不等式得SXabSX<SXambmSX<1,而SXbmamSX>1故ZZZSXabSX<SXambmSX<SXbmamSXZZ(2)若a,b,m,c,d∈R,且SX(abSX<SXcdSX,则SX(abSX,SXacbdSXSXcdSX从小到大的顺序为CD4解设糖水1和2的浓度分别为SXabSX<SXcdSX,将两种糖水混合的浓度为SXacbdSX由生活原型1得ZZZSXabSX<SXacbdSX<SXcdSXZZ例2中,△ABC中,A,B,C对的边分别为a,b,c.求证SXaamSXSXbbmSX>SXccmSX因为a,b,c>0,c<ab所以SXccmSX<SXababmSXSXaabmSXSXbabmSX<SXaamSXSXbbmSX故SXccmSX<SXaamSXSXbbmSX例3已知数列{an}是由正数组成的等比数列,前n项和Sn求证SX12SX1gSn1gSn2<1gSn195全国理科高考25证明〖WB〗SX12SX1gSn1gSn2<1gSn1〖DW〗SnSn2Sn12因为Sn1WBa1a2anan1DWa1qa1a2anDWa1qSn同理Sn2a1qSn1Sn<Sn1由结论()得SXqSnqSn1SX<SXqSna1qSn1a1SX即SXSnSn1SX<SXSn1Sn2SX即SnSn2Sn12所以SX12SX1gSn1gSn2<1gSn1例4求证SX21SXSX43SXSX65SXSX2n2n1SX>KF2n1KF(98年高考文25证明由结论()得SX2n12nSX<SX2n112n1SX即SX2n2n1SX>SX2n12nSX所以SX21SXSX(43SX)SX(65SX)SX(2n2n1SX2>SX21SXSX(43SX)SX(65SX)SX(2n2n1SX(SX(32SX)SX(54SX)SX(76SX)SX(2n12nSX2n1所以SX21SXSX(43SX)SX(65SX)SX(2n2n1SX>KF(2n1KF例6已知,i,m,n∈N,1<i≤m<n,证明niPim<mipin(2001高考理20证明SXnipimmipinSXJBSXnmSXJBiSXmm1mi1nn1(ni1SX(由结论()得SXmknkSX<SXmnSX,k<m所以式()<JBSXnmSXJBiJBSXmnSXJBi1所以nipim<mipin

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