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学科教育论文-浅谈导数的应用.doc

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学科教育论文-浅谈导数的应用.doc

学科教育论文浅谈导数的应用【摘要】导数的广泛应用,为我们解决函数问题提供了有力的工具,用导数可以解决函数中的最值问题,不等式问题,还可以解析几何相联系,可以在知识的网络交汇处设计问题。因此,在教学中,要突出导数的应用。【关键词】导数应用函数不等式【Abstract】Thederivativewidespreadapplication,solvedthefunctionproblemforustoprovidethepowerfultool,mightsolveinthefunctionmostvalueproblemwiththederivative,theinequalityquestion,butmightalsotheanalyticgeometryrelate,mightintheknowledgenetworkintersectionpointdesignquestion.Therefore,intheteaching,musthighlightthederivativetheapplication.【Keywords】DerivativeUsingFunctionInequality导数是近代数学的重要基础,是联系初、高等数学的纽带,它的引入为解决中学数学问题提供了新的视野,是研究函数性质、证明不等式、探求函数的极值最值、求曲线的斜率和解决一些物理问题等等的有力工具。本文拟就导数的应用,谈一点个人的感悟和体会。1以导数概念为载体处理函数图象问题函数图象直观地反映了两个变量之间的变化规律,由于受作图的局限性,这种规律的揭示有时往往不尽人意.导数概念的建立拓展了应用图象解题的空间。例1(2007浙江卷)设是函数fx的导函数,将yfxf′x和的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是(D)例22005江西卷已知函数yxf′x的图象如右图所示(其中f′x)是函数fx的导函数,下面四个图象中yfx的图象大致是(C)分析由图象知,f′1f′10,所以x±1是函数fx的极值点,又因为在(1,0)上,f′x0,因此在1,1上,fx单调递减,故选C。2以导数知识为工具研究函数单调性对函数单调性的研究,导数作为强有力的工具提供了简单、程序化的方法,具有普遍的可操作方法。例3已知fxx3bx2cxd是定义在R上的函数,其图象交x轴于A、B、C三点,点B的坐标为2,0,且fx在[1,0]和[0,2]有相反的单调性.①求C的值.②若函数fx在[0,2]和[4,5]也有相反的单调性,fx的图象上是否存在一点M,使得fx在点M的切线斜率为3b若存在,求出M点的坐标.若不存在,说明理由.分析①f′x3x22bxc,∵fx在[1,0]和[0,2]有相反的单调性.∴x0是fx的一个极值点,故f′00.∴c0.②令f′x0得3x22bx0,x10,x2因为fx在[0,2]和[4,5]有相反的单调性,∴f′x在[0,2]和[4,5]有相反的符号.故2≤2b3≤4,6≤b≤3.假设存在点Mx0,y0使得fx在点M的切线斜率为3b,则f′x03b.即3x022bx03b0.∵△4b2433b4bb9,而f′x03b.∴△0使得ex0x01ax022ex0成立如果存在,求出符合条件的一个x0否则说明理由。分析(1)证明Ⅰ在x≥0时,要使exx1≤ax2e|x|2成立。只需证ex≤a2x2exx1即需证1≤a2x2x1ex①令yxa2x2x1ex,求导数y′xax1exx1exex2axxex∴y′xxa1ex,又a≥1,求x≥0,故y′x≥0∴fx为增函数,故fx≥y01,从而①式得证(Ⅱ)在时x≤0时,要使exx1≤ax2e|x|2成立。只需证ex≤a2x2exx1,即需证1≤ax22e2xx1ex②令mxax22e2xx1ex,求导数得m′xxe2x[exax1]而φxexax1在x≤0时为增函数故φx≤φ01a≤0,从而mx≤0∴mx在x≤0时为减函数,则mx≥m01,从而②式得证由于①②讨论可知,原不等式exx1≤ax2e|x|2在a≥1时,恒成立(2)解ex0x01≤ax02|x|2ex0将变形为ax022x01ex010,使③式成立,只需找到函txax22x1ex1的最小值,满足txminlna时,t′x0tx在xlna时,取得最小值tx0a2lna2alna11下面只需证明a2lna2alnaa10的两个极值点.(1)若x11,x22,求函数fx的解析式(2)若|x1||x2|22,求fx的最大值分析(1)∵fxax3bx2a2xa0,∴f′xax3bx2a2xa0

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