学科教育论文-运动观点下寻找辅助线的方法小结.doc
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学科教育论文-运动观点下寻找辅助线的方法小结.doc
学科教育论文-运动观点下寻找辅助线的方法小结【摘要】本文分析了运动观点下寻找辅助线的方法小结。【关键词】辅助线方法我们为了证明或计算的需要,常常在原来图形上添画的线就是辅助线。辅助线有时不止一条,也不一定是线段或直线,它可能是弧或圆。这就要看证明的需要而定了。对一个已知图形来说,可画出的辅助图形是很多的,合适的辅助线可以扩大原题的“已知”,从而使原来不大明显的各个几何量之间的关系明朗起来,从而协助门推导出结论。但用不着的就不必画。画多了,图形就显得复杂、混乱,反而难证,或虽获证,但走了弯路。对大多数的初学者来说,寻找辅助线是比较棘手的问题。它的规律性并不是一成不变的。有的甚至是好几种方法联合使用,所以,比较困难。这里我们将介绍一种行之有效的方法来添加辅助线:用运动的观点来观察图形,设想把某一有关部分的图形进行对折、平移、旋转,从而巧妙地添出辅助线,有效地解决问题。下面我们分别举例介绍这三种方法。一、对折法“对折法”就是“轴对称变换法”。这是利用“成轴对称的两个图形是全等的”这一原理,把图中的一部分或整个图形,以某一直线为折痕(即对称轴)翻转过来,就得到它的全等形。通过这种变换把分散的把较分散的线段、角等集中起来,或者使原有的已知条件扩大,或者使各个几何量之间的关系明朗化,所以这是个通用的好方法。例1如图1,在直线MN的同旁有两点P、Q,试在MN上求一点R,使PR+RQ最短。分析:设R已经求出,那么PRQ是折线。折线是不是最短就要看它“拉直”以后是不是最短。因为“两点间的距离以连接这两点所成的线段最短”。把PRQ“拉直”就是线段PQ。很明显Q是Q关于直线MN为轴的轴对称点。所以点Q的得到是运用线段最短定理和想象轴对称移动而悟出的。如图2,在ABC中,AE是A的平分线,BAC=2B,AB=2AC。求证:C是直角分析:由于1=2,若以角平分线AE为对称轴把AEC对折,那么AC必落在AB上,C点落在C上。AECAEC,从而ACE=C,所以去证ACE=90°即可。而由题设易导出此题的结论。上面两个例子是利用“对折法”(轴对称法)去寻找适当的辅助线,由于添置辅助线后可得到全等形,所以能得到的过渡性的结论是很多的,要结合需要证明的结论,适当选取有用的。二、平移法平移法即平移变换法。顾名思义,其具体做法就是过某点作某线段或直线的平行线,利用平行线性质同位角相等、内错角相等,或利用平行四边形诸性质,把有关元素集中起来。如图3,已知ABC的两边AB、AC上的中线分别是BD、CE,若BD=CE求证:AB=AC分析:已知的两条相等的中线在图中交叉摆着,我们试把它安排在一个三角形中就比较好考虑,于是设想把其中的一条中线CE平行移动到DF的位置,这样就成了一个等腰三角形DBF,立即得到1=F=2,从而得到GB=GC,GD=GE。要证BE=CD就简单了。如图4,已知等腰梯形ABCD的中位线为EF,对角线AC、BD互相垂直,高为CG。求证:EF=CG分析:这题涉及到的两对互相垂直的线段“互不相关”,怎样让它们“集中”一些呢?因为梯形的中位线等于两底和的一半,所以可把小底CD沿DB平行移动到大底上,让“和”体现出来,这样CAH就成了等腰直角三角形,而高CG就成了斜边AH上的中线,由EF=(AB+CD)2=(AB+BH)2=AH2及CG=AH2就可以推出结论了。这两个例子说明利用平行移动方法是集中有关几何向量的一个便当、直观的好方法。运用平行移动原理寻找辅助线是常用的重要的方法。三、旋转法旋转法是把某一个图形(常常遇到的是三角形)围绕某定点(三角形的顶点、平行四边形的对角线的交点及正多边形的中心等)作顺时针或逆时针的旋转而得到的新的图形,这种方法能集中条件,扩大已知,图形之间易于联系、呼应,达到较顺利论证的目的。如图5,D是等腰三角形ABC内的一点,AB=AC,ADB>ADC求证:DC>DB分析:如果想从ABCACB分别减去不等的ABD、ACD从而达到DBCDCB的过渡性的结论是不易的。因为ABD、ACD的不等,不能从已知的两个不等的角推出,设想把ADB绕着A点旋转到AEC的位置,这样ADB就移到AEC位置而变成了AECADC了。再连结D、E,就能得到12,从而34,DCEC了。上面例子添置的辅助线是设想把图形的某一部分旋转而获得的启发,在证明中借助这种想象常常可获得满意的结果。我们在这里列举了以上三种方法的几个例子,要想掌握添置辅助线的基本方法和基本技能,还得通过较多的练习,去取得经验、积累经验,不拘于某种固定的思路,善于发现新线索、新思路,只有这样才能达到触类旁通、运用自如,形成技巧,达到提高分析问题、解决问题的目的。