随机向量的函数的分布.ppt

§3.4 随机向量函数的分布,一.随机变量,二.和的分布,三.几个分布的再生性,和,的分布,一. 随机变量,问题.,X和Y是两个相互独立的随机变量,它们的分布,函数分别为,与,求,和,的分布,与,的分布函数.,对于任意实数z,的分布函数为,由X和Y的独立性可知,同理,的分布函数为,即有,例1 离散型随机向量(X,Y )的概率分布律为,(1) 求 的分布函数与分布律;,(2) 求 的分布函数与分布律.,(P72, 例19),例2. 设系统L是由两个独立工作的电子元件 和,联接而成,和,的寿命分别为X和Y,它们的,概率密度分别为,其中,分别就串联与并联方式求系统,的寿命Z的概率密度.,(P73, 例20),(1)串联方式,于是,的分布函数为,系统寿命为,随机变量X和Y的分布函数分别为,的概率密度函数为,(2)并联方式,的分布函数为,系统寿命为,的概率密度函数为,二. 和的分布,问题.,设相互独立的连续型随机变量X和Y的概率密度,函数分别为,与,求,的概率密度,函数.,由X和Y的独立性可知:,连续型随机向量(X,Y)的概率,密度函数为,对于任意的实数z,由分布,函数的定义知,将二重积分化为累次积分得,上式两端关于z求导得,由X和Y的对称性可得,(1),(2)两个公式称为卷积公式,可记为,即,例3. 设系统L是由两个独立工作的电子元件 和,联接而成(如图所示),和,的寿命分别为X和Y,它们的概率密度分别为,其中,求系统的寿命Z的概率密度.,(P73, 例22),解,系统寿命为,利用卷积公式,Z的概率密度,函数为,当且仅当 和y0,即y0时,上述积分,的被积函数不为零.,因此, 当 时,当 时,综上所述, 随机变量Z的概率密度函数为,例4 设离散型随机向量(X,Y)的概率分布为,求 的分布律与分布函数.,(P77, 例24),三. 几个分布的再生性,例4 设X和Y是两个相互独立的随机变量,它们都服从,N(0,1)分布, 求,的概率密度.,解,由假设知,随机变量X和Y的密度函数分别为,于是,由卷积公式有,即,二元正态随机变量具有下面性质, 设,(1),(2),则对于任意的实数a和b(至少有一个不为零), 有,正态分布的再生性,泊松分布的再生性,二项分布的再生性,(1),(2),则,设,作业,P82 习题三 1; 6; 12; 20; 21; 24,