《无穷小阶的比较》PPT课件.ppt

一.无穷小阶的比较,二.等价无穷小替换原理,§2.6 无穷小阶的比较,一.无穷小阶的比较,虽然无穷小量都是趋于零的变量，但是不同的无穷小量 趋于零的速度却不一定相同. 为了反映不同的无穷小趋于零 的快慢程度，我们引入无穷小的阶的比较.,定义2.6.1 设 ，是在自变量同一变化过程中的两个无,穷小，且 0，则,(1) 如果 ,则称 是 的高阶无穷小, 记做,(2)如果 , 则称 是 的低阶无穷小.,(3) 如果 , 则称 与 是同阶无穷小.,特别地, 当c = 1时, 则称 是 的等价无穷小, 记做,(4) 如果 则称 是 的k阶无穷小.,例1,所以, 当x0时, 与 是同阶无穷小.,例2,所以当 x0时, 是x的高阶无穷小； x是 的低阶无,穷小；sin x 与 x 是等阶无穷小.,所以当 x0时, ln(1+x) x.,又,所以当 x0时,例3,二. 等价无穷小替换原理,证明 必要性,设,因此,充分性,定理2.6.1 与 是等价无穷小的充分必要条件为,则,定理2.6.2 (等价替换原理) 设 为同一极限过,证明,根据极限运算法则,1. sin x x ; 2. tan x x ;,5. arctan x x ;,3. ln(1+x) x ; 4. arcsin x x ;,请记住以下几个常用的等价无穷小量:,注 由此定理可知,求两个无穷小量商的极限时, 如果分子,来代换原来的分子和 分母, 使得计算简化.,分母的等价无穷小量存在, 则就可用它们各自的等价无穷小量,例4 求,解,解,所以,例5 求,运用等价无穷小的代换, 有,例6 求,解,例7 求,解,注 使用无穷小量的等价替换, 是求解函数的极限的常用,方法. 在求乘除运算的极限时, 可以大胆使用; 而在求和差,运算的极限时, 则须慎用.,例8 求,