2020版高中数学第四章导数应用2.2最大值、最小值问题（第1课时）函数的最值与导数学案北师大版.docx

第1课时函数的最值与导数学习目标1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值知识点一函数f(x)在闭区间a，b上的最值函数f(x)在闭区间a，b上的图像是一条连续不断的曲线，则该函数在a，b上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在端点处或极值点处取得特别提醒：(1)闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的连续函数不一定有最值若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值(2)函数的最大值和最小值是一个整体性概念(3)函数yf(x)在a，b上连续，是函数yf(x)在a，b上有最大值或最小值的充分不必要条件知识点二求函数yf(x)在a，b上的最值的步骤(1)求函数yf(x)在(a，b)内的极值(2)将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值知识点三最值与极值的区别与联系(1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言(2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有)(3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点(4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点取得如图是yf(x)在区间a，b上的函数图像，显然f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，f(x2)，f(x4)，f(x6)为极小值最大值yMf(x3)f(b)分别在xx3及xb处取得，最小值ymf(x4)在xx4处取得1函数的最大值一定是函数的极大值(×)2开区间上的单调连续函数无最值()3函数f(x)在区间a，b上的最大值和最小值一定在两个端点处取得(×)题型一求函数的最值命题角度1不含参数的函数求最值例1求下列函数的最值：(1)f(x)2x312x，x2,3；(2)f(x)xsinx，x0,2考点利用导数求函数的最值题点不含参数的函数求最值解(1)因为f(x)2x312x，所以f(x)6x2126(x)(x)，令f(x)0，解得x或x.因为f(2)8，f(3)18，f()8，f()8；所以当x时，f(x)取得最小值8；当x3时，f(x)取得最大值18.(2)f(x)cosx，令f(x)0，又x0,2，解得x或x.因为f(0)0，f(2)，f，f.所以当x0时，f(x)有最小值0；当x2时，f(x)有最大值.反思感悟求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点(1)对函数进行准确求导，并检验f(x)0的根是否在给定区间内(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值(3)比较极值与端点函数值大小，确定最值跟踪训练1求函数f(x)ex(3x2)，x2,5的最值考点利用导数求函数的最值题点不含参数的函数求最值解f(x)3exexx2，f(x)3ex(exx22exx)ex(x22x3)ex(x3)(x1)在区间2,5上，f(x)ex(x3)(x1)<0，函数f(x)在区间2,5上是减少的，当x2时，函数f(x)取得最大值f(2)e2；当x5时，函数f(x)取得最小值f(5)22e5.命题角度2含参数的函数求最值例2已知函数f(x)(xk)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间0,1上的最小值考点含参数的函数最值问题题点含参数的函数求最值解(1)由f(x)(xk)ex，得f(x)(xk1)ex，令f(x)0，得xk1.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(，k1)k1(k1，)f(x)0f(x)ek1所以，f(x)的递减区间是(，k1)；递增区间是(k1，)(2)当k10，即k1时，函数f(x)在0,1上是增加的所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0)k，当0<k1<1，即1<k<2时，由(1)知f(x)在0，k1)上是减少的，在(k1,1上是增加的，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(k1)ek1.当k11，即k2时，函数f(x)在0,1上是减少的所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(1)(1k)e.综上可知，当k1时，f(x)mink；当1<k<2时，f(x)minek1；当k2时，f(x)min(1k)e.反思感悟对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值跟踪训练2已知a为常数，求函数f(x)x33ax(0x1)的最大值考点含参数的函数的最值问题题点含参数的函数求最值解f(x)3x23a3(x2a)若a0，则f(x)0，函数f(x)在0,1上是减少的，所以当x0时，f(x)有最大值f(0)0；若a>0，则令f(x)0，解得x±.由x0,1，则只考虑x的情况当0<<1，即0<a<1时，当x变化时，f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x(0，)(，1)f(x)0f(x)2a故f(x)maxf()2a；当1，即a1时，f(x)0，函数f(x)在0,1上是增加的，当x1时，f(x)有最大值f(1)3a1.综上，当a0，x0时，f(x)有最大值0；当0<a<1，x时，f(x)有最大值2a；当a1，x1时，f(x)有最大值3a1.题型二由函数的最值求参数例3已知函数f(x)ax36ax2b，x1,2的最大值为3，最小值为29，求a，b的值考点含参数的函数最值问题题点知最值求参数解由题设知a0，否则f(x)b为常函数，与题设矛盾求导得f(x)3ax212ax3ax(x4)，令f(x)0，得x10，x24(舍去)若a>0，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1,0)0(0,2)2f(x)0f(x)7abb16ab由表可知，当x0时，f(x)取得极大值b，也是函数f(x)在1,2上的最大值，f(0)b3.又f(1)7a3，f(2)16a3<f(1)，f(2)16a329，解得a2.若a<0，同理可得，当x0时，f(x)取得极小值b，也是函数在1,2上的最小值，f(0)b29.又f(1)7a29，f(2)16a29>f(1)，f(2)16a293，解得a2.综上可得，a2，b3或a2，b29.反思感悟已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题其中注意分类讨论思想的应用跟踪训练3设<a<1，函数f(x)x3ax2b(1x1)的最大值为1，最小值为，求a，b的值考点含参数的函数最值问题题点知最值求参数解令f(x)3x23ax0，得x10，x2a.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1,0)0(0，a)a(a,1)1f(x)00f(x)1abbb1ab由表可知，f(x)的极大值为f(0)b，极小值为f(a)b，而f(0)>f(a)，f(1)>f(1)，故需比较f(0)与f(1)及f(1)与f(a)的大小因为f(0)f(1)a1>0，所以f(x)的最大值为f(0)b1.又f(1)f(a)(a1)2(a2)<0，所以f(x)的最小值为f(1)1aba，所以a，a，所以a，b1.1函数f(x)x24x7在x3,5上的最大值和最小值分别是()Af(2)，f(3) Bf(3)，f(5)Cf(2)，f(5) Df(5)，f(3)考点利用导数求函数的最值题点不含参数的函数求最值答案B解析f(x)2x4，当x3,5时，f(x)<0，故f(x)在3,5上是减少的，故f(x)的最大值和最小值分别是f(3)，f(5)2函数f(x)x33x(|x|<1)()A有最大值，但无最小值B有最大值，也有最小值C无最大值，但有最小值D既无最大值，也无最小值考点函数最值的应用题点最值存在性问题答案D解析f(x)3x233(x1)(x1)，当x(1,1)时，f(x)<0，所以f(x)在(1,1)上是减少的，无最大值和最小值，故选D.3函数f(x)x33axa在(0,1)内有最小值，则a的取值范围是()A0,1) B(0,1)C(1,1) D.考点函数最值的应用题点最值存在性问题答案B解析f(x)3x23a，令f(x)0，可得ax2，a>0，又x(0,1)，0<a<1，故选B.4设M，m分别是函数f(x)在a，b上的最大值和最小值，若Mm，则f(x)_.答案0解析因为f(x)在a，b上的最大值与最小值相等，所以f(x)在a，b上为常函数，f(x)0.5函数f(x)x3x22x5，若对于任意x1,2，都有f(x)<m，则实数m的取值范围是_答案(7，)解析f(x)3x2x2，令f(x)0，得x或x1.可求得f(x)maxf(2)7，所以对于任意x1,2，f(x)<m恒成立时，m>7.1求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，则这个极值就是最值2已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论.一、选择题1函数yxsinx，x的最大值是()A1B.1CD1考点利用导数求函数的最值题点不含参数的函数求最值答案C解析y1cosx0，故yxsinx在上是增加的，所以当x时，ymax.2函数f(x)在2,4上的最小值为()A0B.C.D.答案C解析f(x)，当x2,4时，f(x)<0，即函数f(x)在2,4上是减少的，故当x4时，函数f(x)有最小值.3已知函数f(x)，g(x)均为a，b上的可导函数，在a，b上连续且f(x)<g(x)，则f(x)g(x)的最大值为()Af(a)g(a) Bf(b)g(b)Cf(a)g(b) Df(b)g(a)考点利用导数求函数的最值题点不含参数的函数求最值答案A解析令F(x)f(x)g(x)，f(x)<g(x)，F(x)f(x)g(x)<0，F(x)在a，b上是减少的，F(x)maxF(a)f(a)g(a)4已知函数yx22x3在区间a,2上的最大值为，则a等于()AB.CD.或考点含参数的最值问题题点已知最值求参数答案C解析当a1时，最大值为4，不符合题意当1<a<2时，f(x)在a,2上是减少的，所以f(x)maxf(a)，即a22a3，解得a或a(舍去)5函数f(x)x3mx21在2，1上的最大值就是f(x)的极大值，则m的取值范围为()A(6，3) B6，3C.D.考点函数最值的问题题点最值存在性问题答案D解析f(x)3x22mx3x，令f(x)0，得x10，x2，由题意知m<0，f(x)maxf，2m1，即3m.6函数f(x)exx在区间1,1上的最大值是()A1B1Ce1De1考点利用导数求函数的最值题点不含参数的函数求最值答案C解析由题意得f(x)ex1.令f(x)0，得x0.当x1,0)时，f(x)<0；当x(0,1时，f(x)>0.所以f(x)在1,0)上是减少的，在(0,1上是增加的又因为f(1)1，f(1)e1，所以f(1)f(1)2e<0，所以f(1)<f(1)所以f(x)maxf(1)e1.7已知a，b为正实数，函数f(x)ax3bx2x在0,1上的最大值为4，则f(x)在1,0上的最小值为()AB.C2D2答案A解析因为a>0，b>0，所以f(x)ax3bx2x在1,1上是增加的，故f(x)在0,1上的最大值f(1)ab24，ab2，f(x)在1,0上的最小值f(1)(ab)212.二、填空题8已知函数f(x)ex2xa有零点，则a的取值范围是_答案(，2ln22解析函数f(x)ex2xa有零点，即方程ex2xa0有实根，即函数g(x)2xex与ya有交点，而g(x)2ex，可知函数g(x)2xex在(，ln2)上是增加的，在(ln2，)上是减少的，所以g(x)2xex的值域为(，2ln22，所以要使函数g(x)2xex与ya有交点，只需a2ln22即可9已知a0，若函数f(x)在1,1上的最大值为2，则实数a的值为_考点含参数的函数的最值问题题点已知最值求参数答案1解析求导得f(x)，令f(x)0，可得x1或xa，又f(1)0，f(a)1，f(1)，若12，则有a1；若2，则也有a1，因此a1.10已知函数f(x)x3ax24在x2处取得极值，若m，n1,1，则f(m)f(n)的最小值是_考点函数最值的应用题点已知极值求最值答案13解析f(x)3x22ax，由题意知f(2)0，得a3，f(x)x33x24，令f(x)3x26x3x(x2)0，解得x10，x22(舍去)，f(1)0，f(0)4，f(1)2，f(x)min4，f(x)3x26x3(x1)23，f(x)minf(1)9，f(m)f(n)的最小值是4913.11函数f(x)ax44ax2b(a>0,1x2)的最大值为3，最小值为5，则a_，b_.考点含参数的函数最值问题题点己知最值求参数答案23解析f(x)4ax38ax4ax(x22)，a>0，x1,2，当x(1，)时，f(x)<0，当x(，2)时，f(x)>0，f(x)minf()b4a5，f(x)maxf(2)b3，由可得a2，b3.三、解答题12设f(x)lnx，g(x)f(x)f(x)求g(x)的单调区间和最小值考点函数最值的应用题点恒成立中参数的取值范围解由题设知f(x)的定义域为(0，)，f(x)，所以g(x)lnx，所以g(x).令g(x)0，得x1，当x(0,1)时，g(x)<0，故(0,1)是g(x)的递减区间；当x(1，)时，g(x)>0，故(1，)是g(x)的递增区间因此x1是g(x)在(0，)上的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g(1)1.13已知函数f(x)x3ax23x.(1)若f(x)在1，)上是增加的，求实数a的取值范围；(2)若x3是f(x)的极值点，求f(x)在1，a上的最大值和最小值考点函数最值的应用题点已知极值求最值解(1)f(x)3x22ax3，x1，)时f(x)0恒成立，amin3(当且仅当x1时取等号)a3.(2)由题意知f(3)0，即276a30，a5，f(x)x35x23x，f(x)3x210x3.令f(x)0，得x13，x2(舍去)当1<x<3时，f(x)<0；当3<x<5时，f(x)>0，即当x3时，f(x)取极小值f(3)9.又f(1)1，f(5)15，f(x)在1,5上的最小值是9，最大值是15.14设直线xt与函数f(x)x2，g(x)lnx的图像分别交于点M，N，则当|MN|取到最小值时t的值为()A1B.C.D.答案D解析由题意画出函数图像如图所示，由图可以看出|MN|yt2lnt(t>0)y2t.当0<t<时，y<0，可知y在上是减少的；当t>时，y>0，可知y在上是增加的故当t时，|MN|有最小值15已知函数f(x)lnxa(1x)(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a2时，求a的取值范围解(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)a.当a0时，f(x)>0，所以f(x)在(0，)上是增加的若a>0，则当x时，f(x)>0；当x时，f(x)<0.所以f(x)在上是增加的，在上是减少的(2)由(1)知，当a0时，f(x)在(0，)上无最大值；当a>0时，f(x)在x处取得最大值，最大值为flnalnaa1.因此f>2a2等价于lnaa1<0.令g(a)lnaa1，g(a)1>0，则g(a)在(0，)上是增加的，又g(1)0，于是，当0<a<1时，g(a)<0；当a>1时，g(a)>0.因此，a的取值范围是(0,1)