2020版高中数学第二章圆锥曲线与方程章末复习学案北师大版.docx

第二章 圆锥曲线与方程章末复习学习目标1.梳理本章知识要点，构建知识网络.2.进一步理解并掌握圆锥曲线的定义、标准方程及简单性质.3.掌握简单的直线与圆锥曲线位置关系问题的解决方法1椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、简单性质椭圆双曲线抛物线定义平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过点F)距离相等的点的集合标准方程1或1(a>b>0)1或1(a>0，b>0)y22px或y22px或x22py或x22py(p>0)关系式a2b2c2a2b2c2图形封闭图形无限延展，但有渐近线y±x或y±x无限延展，没有渐近线变量范围|x|a，|y|b或|y|a，|x|b|x|a或|y|ax0或x0或y0或y0对称性对称中心为原点无对称中心两条对称轴一条对称轴顶点四个两个一个离心率e，且0<e<1e，且e>1e1决定形状的因素e决定扁平程度e决定开口大小2p决定开口大小2.椭圆的焦点三角形设P为椭圆1(a>b>0)上任意一点(不在x轴上)，F1，F2为焦点且F1PF2，则PF1F2为焦点三角形(如图)(1)焦点三角形的面积Sb2tan.(2)焦点三角形的周长L2a2c.3双曲线及渐近线的设法技巧(1)由双曲线标准方程求其渐近线方程时，最简单实用的办法是：把标准方程中的1换成0，即可得到两条渐近线的方程如双曲线1(a>0，b>0)的渐近线方程为0(a>0，b>0)，即y±x；双曲线1(a>0，b>0)的渐近线方程为0(a>0，b>0)，即y±x.(2)当双曲线的渐近线为±0时，它的双曲线方程可设为(0)4抛物线的焦点弦问题抛物线过焦点F的弦长|AB|的一个重要结论(1)y22px(p>0)中，|AB|x1x2p.(2)y22px(p>0)中，|AB|x1x2p.(3)x22py(p>0)中，|AB|y1y2p.(4)x22py(p>0)中，|AB|y1y2p.5三法求解离心率(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上，都有关系式a2b2c2(a2b2c2)以及e，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、简单性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观6直线与圆锥曲线位置关系(1)直线与双曲线、直线与抛物线有一个公共点应有两种情况：一是相切；二是直线与双曲线的渐近线平行、直线与抛物线的对称轴平行(2)直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题解决此类问题应注意数形结合，以形辅数的方法；还要多结合圆锥曲线的定义，根与系数的关系以及“点差法”等1设A，B为两个定点，k为非零常数，|PA|PB|k，则动点P的轨迹为双曲线(×)2若直线与曲线有一个公共点，则直线与曲线相切(×)3抛物线y4ax2(a0)的焦点坐标是.()题型一圆锥曲线定义的应用例1设F1，F2为曲线C1：1的焦点，P是曲线C2：y21与C1的一个交点，求cosF1PF2的值考点圆锥曲线定义的应用题点圆锥曲线定义的应用解曲线C1：1与曲线C2：y21的焦点重合，两曲线共有四个交点，不妨设P为第一象限的交点，则|PF1|PF2|2，|PF1|PF2|2，解得|PF1|，|PF2|，又|F1F2|4，在F1PF2中，由余弦定理可求得cosF1PF2.反思感悟(1)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题，常用定义来解决(2)涉及焦点、准线、离心率、圆锥曲线上的点中的三者，常用定义解决问题(3)求轨迹问题、最值问题，曲线方程也常常结合定义求解跟踪训练1(1)(2018·江西师大附中模拟)设F1，F2分别是椭圆E：x21(0<b<1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，则|AB|的长为()A.B1C.D.考点圆锥曲线定义的应用题点圆锥曲线定义的应用答案C解析(1)|AF1|BF1|AF2|BF2|4a4，|AF2|BF2|4(|AF1|BF1|)4|AB|，又|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，所以2|AB|AF2|BF2|.于是3|AB|4，|AB|.(2)抛物线y22px(p>0)上有A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点，F是它的焦点，若|AF|，|BF|，|CF|成等差数列，则()Ax1，x2，x3成等差数列By1，y2，y3成等差数列Cx1，x3，x2成等差数列Dy1，y3，y2成等差数列考点抛物线的定义题点抛物线定义的其他应用答案A解析如图，过A，B，C分别作准线的垂线，垂足分别为A，B，C，由抛物线定义知，|AF|AA|，|BF|BB|，|CF|CC|.2|BF|AF|CF|，2|BB|AA|CC|.又|AA|x1，|BB|x2，|CC|x3，2x1x3，即2x2x1x3.题型二圆锥曲线的性质及其应用例2(1)已知a>b>0，椭圆C1的方程为1，双曲线C2的方程为1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为()Ax±y0B.x±y0Cx±2y0D2x±y0考点圆锥曲线的综合问题题点圆锥曲线的综合问题答案A解析a>b>0，椭圆C1的方程为1，C1的离心率为，双曲线C2的方程为1，C2的离心率为.C1与C2的离心率之积为，·，2，C2的渐近线方程为y±x，即x±y0.(2)已知抛物线y24x的准线与双曲线y21交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，若FAB为直角三角形，则该双曲线的离心率是_考点圆锥曲线的综合问题题点圆锥曲线的综合问题答案解析抛物线y24x的准线方程为x1，又FAB为直角三角形，则只有AFB90°，如图，则A(1,2)应在双曲线上，代入双曲线方程可得a2，于是c.故e.反思感悟求解离心率的方法(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a2b2c2(a2b2c2)以及e，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法；(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法跟踪训练2(1)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆1(a>b>0)的右焦点，直线y与椭圆交于B，C两点，且BFC90°，则该椭圆的离心率是_考点椭圆几何性质的应用题点求椭圆离心率的值答案解析由可得B，C.又由F(c,0)，得，.因为BFC90°，所以·0，化简可得2a23c2，即e2，故e.(2)已知抛物线x28y的焦点F到双曲线C：1(a>0，b>0)的渐近线的距离为，点P是抛物线x28y上的一动点，P到双曲线C的右焦点F2的距离与到直线y2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的标准方程为_考点抛物线的简单性质题点抛物线与其他曲线结合的有关问题答案y21解析抛物线焦点为F(0,2)，准线为y2，双曲线C：1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为yx，依题意可得，即，又P到双曲线C的右焦点F2的距离与到直线y2的距离之和的最小值为3，所以|PF|PF2|FF2|3，在RtFOF2中，|OF2|，所以c，所以a2，b1，所以双曲线方程为y21.题型三直线与圆锥曲线的位置关系例3已知椭圆C：1(a>b>0)的右焦点为(，0)，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l与椭圆C相交于A，B两点，且以AB为直径的圆经过原点O，求证：点O到直线AB的距离为定值；(3)在(2)的条件下，求OAB面积的最大值考点转化与化归思想的应用题点转化与化归思想的应用(1)解因为椭圆的右焦点为(，0)，离心率为，所以所以a，b1.所以椭圆C的方程为y21.(2)证明设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykxm，代入椭圆方程，消元可得(13k2)x26kmx3m230，36k2m24(13k2)(3m23)>0，所以x1x2，x1x2，因为以AB为直径的圆经过坐标原点，所以·0.所以x1x2y1y20，即(1k2)x1x2km(x1x2)m20，所以(1k2)km×m20，所以4m23(k21)，所以原点O到直线的距离为d.当直线AB斜率不存在时，由椭圆的对称性可知x1x2，y1y2，因为以AB为直径的圆经过坐标原点，所以·0，所以x1x2y1y20，所以xy0，因为x3y3，所以|x1|y1|，所以原点O到直线的距离为d|x1|，综上，点O到直线AB的距离为定值(3)解当直线AB的斜率存在时，由弦长公式可得|AB|x1x2|2，当且仅当k±时，等号成立，所以|AB|2.当直线AB斜率不存在时，|AB|y1y2|<2，所以OAB的面积|AB|d×2×，所以OAB面积的最大值为.反思感悟解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似，一般有两种方法：(1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解(2)不等式法：根据题意建立含参数的不等关系式，通过解不等式求参数范围跟踪训练3已知椭圆1上的两个动点P，Q，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且x1x22.(1)求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A；(2)设(1)中定点A关于原点O的对称点是B，求|PB|的最小值及相应的P点坐标(1)证明P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且x1x22.当x1x2时，由得·.设线段PQ的中点为N(1，n)，kPQ，线段PQ的垂直平分线方程为yn2n(x1)，(2x1)ny0，该直线恒过一个定点A.当x1x2时，线段PQ的中垂线也过定点A.综上，线段PQ的垂直平分线恒过定点A.(2)解由于点B与点A关于原点O对称，故点B.2x12，2x22，x12x20,2，|PB|22y(x11)2，当x10时等号成立，|PB|min，此时点P的坐标为(0，±)题型四圆锥曲线中参数范围和最值问题例4(1)已知P为抛物线yx2上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的坐标是(2,0)，则|PA|PM|的最小值是_考点题点答案1(2)若抛物线x22y上距离点A(0，a)的最近点恰好是抛物线的顶点，则a的取值范围是()Aa>0B0<a1Ca1Da0考点题点答案C反思感悟圆锥曲线中最值与范围的求法有两种：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何图形特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值与范围，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等跟踪训练4(1)已知点P在直线xy50上，点Q在抛物线y22x上，则|PQ|的最小值等于_考点题点答案(2)已知向量a(x，y)，b(1,0)，且(ab)(ab)求满足上述条件的点M(x，y)的轨迹C的方程；设曲线C与直线ykxm(k0)相交于不同的两点P，Q，点A(0，1)，当|AP|AQ|时，求实数m的取值范围考点题点解(ab)(ab)，(ab)·(ab)0，a23b20，x23y23，即点M(x，y)的轨迹C的方程为y21.由得(13k2)x26kmx3(m21)0.曲线C与直线ykxm(k0)相交于不同的两点，(6km)212(13k2)(m21)12(3k2m21)>0，即3k2m21>0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点N(x0，y0)，则|AP|AQ|，PQAN.设kAN表示直线AN的斜率，又k0，kAN·k1.即·k1，得3k22m1.3k2>0，m>.将代入得2m1m21>0，即m22m<0，解得0<m<2，m的取值范围为.圆锥曲线中的存在性问题典例已知直线l与抛物线y28x交于A，B两点，且线段AB恰好被点P(2,2)平分(1)求直线l的方程；(2)抛物线上是否存在点C和D，使得C，D关于直线l对称？若存在，求出直线CD的方程；若不存在，请说明理由考点直线与圆锥曲线的位置关系问题题点直线与圆锥曲线的综合问题解(1)由题意可得直线AB的斜率存在，且不为0.设直线AB：x2m(y2)，代入抛物线方程可得y28my16m160.判别式(8m)24(16m16)64(m2m1)>0恒成立设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y1y28m，由8m4，得m.所以直线l的方程为2xy20.(2)假设C，D两点存在，则可设lCD：yxn，与抛物线y28x联立，消去y得x2(n8)xn20，其中(n8)2n216n64>0，则n>4.(*)又xCxD4(n8)，所以CD的中点为(2(n8)，8)，代入直线l的方程，得n，不满足(*)式所以满足题意的C，D两点不存在素养评析(1)解决是否存在直线的问题时，可依据条件寻找适合条件的直线方程，联立方程消元得出一元二次方程，利用判别式得出是否有解(2)按照逻辑推理的形式与规则，探索论证结论的存在性，有助于培养学生的合乎逻辑的思想品质和理性精神.1中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是()A.1B.1C.1D.1考点椭圆的标准方程题点求椭圆的标准方程答案A解析两焦点恰好将长轴三等分，2a18，2c×2a6，c3，又b2a2c272，故椭圆的方程为1.2已知双曲线1(a>0，b>0)的一条渐近线过点(2，)，且双曲线的一个焦点在抛物线y24x的准线上，则双曲线的方程为()A.1B.1C.1D.1考点抛物线的简单性质题点抛物线与其他曲线结合的有关问题答案D解析双曲线1的渐近线方程为y±x，又渐近线过点(2，)，所以，即2ba，抛物线y24x的准线方程为x，由已知，得，即a2b27，联立解得a24，b23，所求双曲线的方程为1，故选D.3双曲线1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是()A2B.C.D.考点双曲线的简单性质题点求双曲线的离心率答案C解析双曲线1的两条渐近线方程为y±x.依题意·1，故1.所以1，即e22，所以双曲线的离心率e.4设椭圆1 (m>0，n>0)的右焦点与抛物线y28x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的标准方程为_考点圆锥曲线的综合应用题点椭圆与抛物线的综合应用答案1解析y28x的焦点为(2,0)，1的右焦点为(2,0)，m>n且c2.又e，m4.c2m2n24，n212.椭圆方程为1.5抛物线x22py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线1相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p_.考点抛物线的简单性质题点抛物线与其他曲线结合有关问题答案6解析如图，在正三角形ABF中，DFp，BDp，所以B点坐标为.又点B在双曲线上，故1，解得p6.在解决圆锥曲线问题时，待定系数法，“设而不求”思想，转化与化归思想是最常用的几种思想方法，设而不求，在解决直线和圆锥曲线的位置关系问题中匠心独具，很好地解决了计算的繁杂、琐碎问题