2020版高中数学第四章导数应用专题突破六构造函数法在导数中的应用学案北师大版.docx

专题突破六构造函数法在导数中的应用所谓“构造函数”即从无到有，即在解题的过程中，根据题目的条件和结构特征，不失时机地“构造”出一个具体函数，对学生的思维能力要求较高，难度较大，一般都作为小题或解答题的压轴部分一、作差法构造例1设函数f(x)lnx，g(x)ax，它们的图像在x轴上的公共点处有公切线求证：当x>1时，f(x)<g(x)证明因为f(x)lnx与x轴的交点为(1,0)，f(x)与g(x)的图像在x轴上的公共点处有公切线，所以g(1)0，即ab0，由f(1)g(1)得ab1，a，b，则g(x)x，令h(x)f(x)g(x)lnxx，由x>1知，h(x)<0，所以h(x)在(1，)上是减函数，即h(x)<h(1)0，f(x)<g(x)点评证明不等式或证明不等式恒成立问题都可以利用作差法，将不等式右边转化为0，然后构造新函数F(x)，最后根据新函数F(x)的单调性转化为F(x)min0或F(x)max0来解决跟踪训练1当x(0，)时，证明：lnx1.考点题点证明设g(x)lnx1，则g(x).当0<x<1时，g(x)<0；当x>1时，g(x)>0.所以x1是g(x)的极小值点，也是最小值点故当x>0时，g(x)g(1)0.因此，当x(0，)时，lnx1.二、分离参数法构造例2若对任意的xe，)，都有xlnxaxa，求实数a的取值范围考点题点解对于任意的xe，)，都有xlnxaxa，等价于a在e，)上恒成立，令h(x)，h(x)，xe，)，当xe时，(xlnx1)1>0，即m(x)xlnx1在e，)上是增加的，故m(x)m(e)e2>0，h(x)>0，所以h(x)在e，)上是增加的，h(x)minh(e)，所以a，即实数a的取值范围是.点评恒成立问题中，求参数范围的问题，常常分离参数，转化为aF(x)min或aF(x)max.其中F(x)为构造的新函数跟踪训练2(2018·玉溪模拟)已知函数f(x)extx(e为自然对数的底数)若对于任意的x(0,2，不等式f(x)>0恒成立，则实数t的取值范围为_考点题点答案(e，)解析依题意得extx>0在(0,2上恒成立，即对任意的x(0,2，t>恒成立令g(x)，g(x).当0<x<1时，g(x)>0；当1<x<2时，g(x)<0.函数g(x)在(0,1)上是增加的，在(1,2)上是减少的函数g(x)在x1处取得极大值即最大值g(1)e.故实数t的取值范围是(e，)三、依据题干的“结构特征”猜想构造例3若定义在R上的函数yf(x)满足f(x)>f(x)，则当a>0时，f(a)与eaf(0)的大小关系为()Af(a)<eaf(0) Bf(a)>eaf(0)Cf(a)eaf(0) D不能确定考点题点答案B解析令F(x)，则F(x)>0，从而F(x)在R上是增加的，于是当a>0时，F(a)>F(0)f(0)，即f(a)>eaf(0)点评常依据(f(x)·g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)和来构造函数如熟悉下列结论可达到事半功倍的效果如：(1)对于f(x)f(x)>0构造h(x)exf(x)；(2)对于f(x)f(x)>0构造h(x)；(3)对于xf(x)f(x)>0构造h(x)xf(x)；(4)对于xf(x)f(x)>0构造h(x).跟踪训练3设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(1)0，当x>0时，xf(x)f(x)<0，则使得>0成立的x的取值范围是_考点题点答案(1,0)(0,1)解析令F(x)，因为f(x)为奇函数，所以F(x)为偶函数又F(x)，且当x>0时，xf(x)f(x)<0，所以F(x)在(0，)上是减少的，根据对称性，F(x)在(，0)上是增加的，又f(1)0，f(1)0，数形结合可知，使得>0的x的取值范围是(1,0)(0,1)四、条件转化后的形式的构造例4设函数f(x)lnx，mR，若对任意b>a>0，<1恒成立，求实数m的取值范围考点题点解对任意b>a>0，<1恒成立等价于f(b)b<f(a)a恒成立，设h(x)f(x)xlnxx(x>0)，h(x)在(0，)上是减少的，h(x)10在(0，)上恒成立，mx2x2(x>0)，则m，m的取值范围是.点评运用下列形式的等价变形构造：分式形式<k(b>a)f(b)f(a)<k(ba)跟踪训练4已知函数f(x)(a1)lnxax21，设a2.证明：对任意x1，x2(0，)，|f(x1)f(x2)|4|x1x2|.考点题点证明不妨假设x1x2，由于a2，f(x)2ax<0，f(x)在(0，)上是减少的，所以|f(x1)f(x2)|4|x1x2|等价于f(x2)f(x1)4x14x2，即f(x2)4x2f(x1)4x1，令g(x)f(x)4x，则g(x)2ax4，于是g(x)0，从而g(x)在(0，)上是减少的，故g(x1)g(x2)，即f(x1)4x1f(x2)4x2，故对任意x1，x2(0，)，|f(x1)f(x2)|4|x1x2|.1已知函数f(x)kx2lnx，若f(x)>0在(0，)上恒成立，则k的取值范围是()A.B.C.D.考点题点答案D解析由f(x)>0在(0，)上恒成立，即k>.令g(x)，g(x)，当x时，g(x)>0，g(x)是增加的，当x时，g(x)<0，g(x)是减少的g(x)max，k>.2若，且sinsin>0，则下列结论正确的是()A>B2>2C<D>0考点题点答案B解析令f(x)xsinx，f(x)sinxxcosx，当x时，f(x)>0，f(x)是增加的，当x时，f(x)<0，f(x)是减少的，sin>sin，f()>f()，又f(x)为偶函数，|>|，故2>2.3已知f(x)是定义在(0，)上的函数，f(x)是f(x)的导函数，且总有f(x)>xf(x)，则不等式f(x)>xf(1)的解集为()A(，0) B(0，)C(0,1) D(1，)考点题点答案C解析设g(x)(x>0)，则g(x).f(x)>xf(x)，g(x)<0，g(x)在(0，)上是减少的又f(x)>xf(1)>g(x)>g(1)，f(x)>xf(1)的解集为(0,1)4已知函数f(x)的图像关于y轴对称，且当x(，0)时，f(x)xf(x)<0恒成立，若a20.2f(20.2)，b(log3)f(log3)，c(log39)f(log39)，则a，b，c的大小关系是()Ab>a>cBc>a>bCc>b>aDa>b>c考点题点答案A解析设F(x)xf(x)，则F(x)f(x)xf(x)，因为x<0时，f(x)xf(x)<0，所以F(x)<0，则当x<0时，F(x)是减少的，又f(x)的图像关于y轴对称所以f(x)是偶函数，则F(x)为奇函数，当x>0时，F(x)是减函数，又1<20.2<2,0<log3<1，log392，则b>a>c.5已知函数f(x)alnxx2(x>0)，若对任意两个不相等的正实数x1，x2都有2恒成立，则a的取值范围是_考点题点答案1，)解析由2知，函数f(x)的图像上任何一点处的切线斜率都大于或等于2，故f(x)2.且f(x)x(x>0)，由x2，有ax(2x)，记g(x)x(2x)(x>0)，则ag(x)在(0，)上恒成立，所以ag(x)max(x>0)而g(x)x(2x)(x1)21，当x1时，g(x)有最大值1.故a1.6已知f(x)(x>0)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)比较20162017与20172016的大小并说明理由考点题点解(1)f(x)，当x(0，e)时，f(x)>0，f(x)是增加的，当x(e，)时，f(x)<0，f(x)是减少的，f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，)(2)由(1)知f(x)在(e，)上是减少的，f(2016)>f(2017)，即>，即2017ln2016>2016ln2017，即ln20162017>ln20172016，又ylnx在(0，)上是增加的，所以20162017>20172016.7已知函数f(x)x22alnx(a2)x.(1)当a1时，求函数f(x)在1，e上的最小值和最大值；(2)是否存在实数a，对任意的x1，x2(0，)，且x1x2，都有>a恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由解(1)当a1时，f(x)x22lnxx.则f(x)x1，x1，e当x1,2)时，f(x)<0；当x(2，e时，f(x)>0.f(x)在1,2)上是减函数，在(2，e上是增函数当x2时，f(x)取得最小值，其最小值为f(2)2ln2.又f(1)，f(e)e2，f(e)f(1)e2<0，f(e)<f(1)，f(x)maxf(1).即f(x)在1，e上的最小值为2ln2，最大值为.(2)假设存在实数a，对任意的x1，x2(0，)，且x1x2，都有>a恒成立，不妨设0<x1<x2，若>a，即f(x2)ax2>f(x1)ax1.设g(x)f(x)axx22alnx(a2)xaxx22alnx2x，则g(x)x2.只需g(x)在(0，)上为增函数，即g(x)0在(0，)上恒成立，只需12a0，解得a.即a的取值范围是.