2020版高中数学第四章导数应用2.2最大值、最小值问题（第2课时）函数最值的应用学案北师大版.docx

第2课时函数最值的应用学习目标1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.会利用导数解决不等式问题及恒成立问题知识点一生活中的优化问题1生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题2利用导数解决优化问题的实质是求函数最值3解决优化问题的基本思路：上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程知识点二导数在不等式问题中的应用利用导数证明不等式及解决不等式恒成立问题的基本思路是转化为函数的最值问题加以解决1用导数解决实际问题的关键是建立函数模型()2恒成立问题可以转化成函数的最值问题()3用导数证明不等式可以通过构造函数，转化为函数大于等于0或小于等于0.()题型一几何中的最值问题例1如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？考点几何类型的优化问题题点面积的最值问题解设广告的高和宽分别为xcm，ycm，则每栏的高和宽分别为x20，其中x>20，y>25.两栏的面积之和为2(x20)·18000，由此得y25.广告的面积Sxyx25x，S2525.令S>0，得x>140，令S<0，得20<x<140.函数在(140，)上是增加的，在(20,140)上是减少的，S(x)的最小值为S(140)当x140时，y175.即当x140，y175时，S取得最小值24500，故当广告的高为140cm，宽为175cm时，可使广告的面积最小反思感悟平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值跟踪训练1把边长为a的正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的正三角形铁皮箱，当箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？考点几何类型的优化问题题点几何体体积的最值问题解设箱底边长为x，则箱高为h×(0<x<a)，箱子的容积为V(x)x2×sin60°×hax2x3(0<x<a)，则V(x)axx2.令V(x)0，解得x10(舍)，x2a，当x时，V(x)>0；当x时，V(x)<0，所以函数V(x)在xa处取得极大值，这个极大值就是函数V(x)的最大值，Va×2×3a3.所以当箱子底边长为a时，箱子容积最大，最大容积为a3.题型二实际生活中的最值问题命题角度1利润最大问题例2某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中3<x<6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大考点函数类型的优化问题题点利用导数求解最大利润问题解(1)因为当x5时，y11，所以1011，所以a2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y10(x6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)(x3)210(x3)(x6)2,3<x<6.从而f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)于是，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)极大值42由上表可得，x4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点所以当x4时，函数f(x)取得最大值，且最大值为42.答当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大反思感悟解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有：(1)利润收入成本(2)利润每件产品的利润×销售件数命题角度2用料(费用)最省问题例3为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)(0x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值考点函数类型的优化问题题点利用导数解决费用最省问题解(1)由题意知，每年的能源消耗费用为C(x)(0x10)，且C(0)8，故k40，所以C(x)(0x10)设建造费用为C1(x)，则C1(x)6x.所以f(x)20C(x)C1(x)20×6x6x(0x10)(2)因为f(x)6x(0x10)，所以f(x)6.令f(x)0，即6，解得x5(负值舍去)当0x<5时，f(x)<0，f(x)为减函数；当5<x10时，f(x)>0，f(x)为增函数故x5是函数f(x)的极小值点，也是最小值点，对应的最小值为f(5)6×570.故当隔热层修建厚度为5cm时，总费用f(x)达到最小，最小值为70万元反思感悟费用、用料最省问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答题型三与最值有关的恒成立问题例4已知函数f(x)x3ax2bxc在x与x1处都取得极值(1)求a，b的值及函数f(x)的单调区间(2)若对任意x1,2，不等式f(x)<c2恒成立，求c的取值范围考点函数最值的应用题点恒成立中参数的取值范围解(1)由f(x)x3ax2bxc，得f(x)3x22axb，因为f(1)32ab0，fab0，解得a，b2，所以f(x)3x2x2(3x2)(x1)，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1，)f(x)00f(x)极大值极小值所以函数f(x)的递增区间为和(1，)；递减区间为.(2)由(1)知，f(x)x3x22xc，x1,2，当x时，fc为极大值，因为f(2)2c，所以f(2)2c为最大值要使f(x)<c2(x1,2)恒成立，只需c2>f(2)2c，解得c<1或c>2.故c的取值范围为(，1)(2，)反思感悟解决恒成立问题，常用方法是转化为求函数的最值问题，通过分离参数，要使m>f(x)恒成立，只需m>f(x)的最大值即可，同理，要使m<f(x)恒成立，只需m<f(x)的最小值即可跟踪训练2已知函数f(x)xlnx若对所有x1都有f(x)ax1，求实数a的取值范围题点函数最值的应用题点恒成立中参数的取值范围解由题意，得f(x)ax1在1，)上恒成立，即不等式alnx在x1，)上恒成立令g(x)lnx，则g(x)，当x>1时，g(x)>0，故g(x)在(1，)上是增加的，所以g(x)的最小值是g(1)1.因此ag(x)ming(1)1，故a的取值范围为(，1损耗最少问题典例已知A，B两地相距200千米，一艘船从A地逆水而行到B地，水速为8千米/时，船在静水中的速度为v千米/时(8<vv0，v0为常数)若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比，当v12时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船在静水的速度为多少？考点题点解设船每小时航行所需的燃料费为y1元，比例系数为k(k>0)，则y1kv2.当v12时，y1720，720k·122，得k5.设全程燃料费为y元，由题意，得yy1·(8<vv0)，y.令y0，解得v16.若v016，当v(8,16)时，y<0，y为减函数；当v(16，v0时，y>0，y为增函数故当v16时，y取得极小值，也是最小值，此时全程燃料费最省若v0<16，当v(8，v0时，y<0，y在(8，v0上为减函数故当vv0时，y取得最小值，此时全程燃料费最省综上可得，若v016，则当v16千米/时时，全程燃料费最省；若v0<16，则当vv0时，全程燃料费最省素养评析(1)解决实际应用问题的关键在于建立数学模型和目标函数，把“问题情景”译为数学语言，要先找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化、形式化、抽象成数学问题，再化归为常规问题，最后选择合适的数学方法求解(2)确定函数模型，将实际问题转化成数学问题的要求较高，有利于数学建模素养的提升.1已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为yx381x234，则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为()A13万件B11万件C9万件D7万件考点函数类型的优化问题题点利用导数求解最大利润问题答案C解析x>0，yx281(9x)(9x)，令y0，解得x9，当x(0,9)时，y>0，当x(9，)时，y<0，y先增加后减少当x9时函数取最大值，故选C.2在某城市的发展过程中，交通状况逐渐受到更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用函数表示为yt3t236t，则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是()A6时B7时C8时D9时考点函数类型的优化问题题点有关函数类型的其他问题答案C解析yt2t36(t24t96)(t12)(t8)，当t(6,8)时，y>0，当t(8,9)时，y<0，故t8时，y取最大值3容积为256的方底无盖水箱，它的高为_时最省材料考点函数类型的优化问题题点利用导数解决费用最省问题答案4解析设水箱高为h，底面边长为a，则a2h256，其表面积为Sa24aha24a·a2(a>0)令S2a0，得a8.当0<a<8时，S<0；当a>8时，S>0，故当a8时，S最小，此时h4.4要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器，已知底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_元考点函数类型的优化问题题点利用导数解决费用最省问题答案160解析设底面长为x，由题意得底面宽为.设总造价为y，则y20x×10×1×，即y20x80，y20，令y0，得x2.当x2时，ymin160(元)5函数f(x)x33x1，若对于区间3,2上的任意x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|t，则实数t的最小值是_考点函数最值的应用题点恒成立中参数的取值范围答案20解析由f(x)3x230，得x±1，则f(x)minf(3)19，f(x)maxf(1)1，由题意知|f(x1)f(x2)|max|191|20，t20，故tmin20.1正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解应用题的主要思路另外需要特别注意(1)合理选择变量，正确给出函数表达式(2)与实际问题相联系(3)必要时注意分类讨论思想的应用2“恒成立”问题可转化为函数最值问题.一、选择题1炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：)为f(x)x3x28(0x5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是()A8B.C1D8考点函数类型的优化问题题点有关函数类型的其他问题答案C解析原油温度的瞬时变化率f(x)x22x(x1)21(0x5)，所以当x1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值1.2将8分为两个非负数之和，使其立方和最小，那么这两个数为()A2,6B4,4C3,5D以上都不对考点函数类型的优化问题题点函数类型的其他问题答案B解析设一个数为x，则另一个数为8x，其立方和为yx3(8x)3512192x24x2(0x8)，则y48x192.令y0，即48x1920，解得x4.当0x<4时，y<0；当4<x8时，y>0，所以当x4时，y取得极小值，也是最小值所以这两个数为4,4.3若底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则其表面积最小时底面边长为()A.B.C.D2考点几何类型的优化问题题点面积的最值问题答案C解析设底面边长为x，则表面积Sx2V(x>0)S(x34V)令S0，得x.可判断得当x时，直棱柱的表面积最小4用边长为120cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱，则水箱最大容积为()A120000cm3B128000cm3C150000cm3D158000cm3考点几何类型的优化问题题点几何体体积的最值问题答案B解析设水箱底边长为xcm，则水箱高h60(cm)，水箱容积V(x)x2h60x2(0<x<120)，则V(x)120xx2.令V(x)0，得x0(舍去)或x80.可判断得当x80cm时，V取最大值为128000cm3.5圆柱形金属饮料罐的体积一定，要使生产这种金属饮料罐所用的材料最省，它的高与底面半径比为()A21B12C14D41考点几何类型的优化问题题点面积的最值问题答案A解析设其体积为V，高与底面半径分别为h，r，则Vr2h，即h.由题意知，表面积S最小时所用材料最省S2r22rh2r22r2r2，令S4r0，得r，当r时，h.则hr21时，表面积S最小6某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库的建造位置到车站的距离为()A4千米B5千米C6千米D7千米考点函数类型的优化问题题点利用导数解决费用最省问题答案B解析依题意可设每月土地占用费y1(k1>0)，每月库存货物的运费y2k2x(k2>0)，其中x是仓库到车站的距离，于是由2，得k120；由810k2，得k2.因此两项费用之和为y，y.令y0，得x5(x5舍去)，此点即为最小值点故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小7某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品若该商品零售价定为p，销售量为q，且销售量q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：q8300170pp2，则最大毛利润为(毛利润销售收入进货支出)()A30元B60元C28000元D23000元考点函数类型的优化问题题点利用导数求解最大利润问题答案D解析由题意知毛利润w(p20)(8300170pp2)p3150p211700p166000，w3p2300p11700，令w0，得p30或p130(舍)只有唯一一个极值点，且是极大值点，当p30时，wmax23000元8已知函数f(x)x42x33m，xR，若f(x)90恒成立，则m的取值范围是()AmBm>CmDm<考点函数最值的应用题点恒成立中参数的取值范围答案A解析f(x)2x36x2，令f(x)0，得x0或x3，验证可知x3是函数的最小值点，故f(x)minf(3)3m，由f(x)90恒成立，得f(x)9恒成立，即3m9，m.二、填空题9已知函数f(x)2lnx(a0)，若当x(0，)时，f(x)2恒成立，则实数a的取值范围是_答案e，)解析由f(x)2，得a2x22x2lnx.设g(x)2x22x2lnx，则g(x)2x(12lnx)，令g(x)0，得x或x0(舍去)，因为当0x时，g(x)0；当x时，g(x)0.所以当x时，g(x)取得最大值e，故ae.10如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为_考点几何类型的优化问题题点几何体体积的最值问题答案3解析设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，则4r2hl，h，Vr2hr22r3，则Vlr6r2，令V0，得r0(舍)或r，r是其唯一的极值点，当0<r<时，V>0；当<r<时，V<0.当r时，V取得最大值，最大值是3.11若不等式x3x2>2a对实数x1，)恒成立，则a的取值范围是_答案解析设f(x)x3x2，令f(x)3x29x0，得x0或x3.当1x<0时，f(x)>0；当0<x<3时，f(x)<0；当x>3时，f(x)>0，所以当x3时，f(x)取得极小值f(3)，又f(1)>，所以f(x)的最小值为，从而f(x)min>2a，所以a>.三、解答题12一火车锅炉每小时煤消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20km/h时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需200元，火车的最高速度为100 km/h，则火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？解设速度为xkm/h，甲、乙两城距离为akm.则总费用f(x)(kx3200)·a.由已知条件，得40k·203，k，f(x)a.令f(x)0，得x10.当0<x<10时，f(x)<0；当10<x<100时，f(x)>0.当x10时，f(x)有最小值，即速度为10km/h时，总费用最少13已知函数f(x)x3ax2bxc(a，b，cR)(1)若函数f(x)在x1和x3处取得极值，试求a，b的值；(2)在(1)的条件下，当x2,6时，f(x)<2|c|恒成立，求c的取值范围解(1)f(x)3x22axb，函数f(x)在x1和x3处取得极值，1,3是方程3x22axb0的两根(2)由(1)知f(x)x33x29xc，f(x)3x26x9.当x变化时，f(x)，f(x)随x的变化如下表：x(，1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)极大值c5极小值c27而f(2)c2，f(6)c54，当x2,6时，f(x)的最大值为c54，要使f(x)<2|c|恒成立，只要c54<2|c|即可，当c0时，c54<2c，c>54；当c<0时，c54<2c，c<18.c(，18)(54，)，此即为参数c的取值范围14已知函数f(x)x3x24x1，直线l：xy2k10，当x3,3时，直线l恒在函数f(x)图像的下方，则实数k的取值范围是()Ak>Bk<Ck<Dk>考点函数最值的应用题点恒成立中参数的取值范围答案D解析命题等价于当x3,3时，(x2k1)>0恒成立，即k>x3x2x.设g(x)x3x2x，则g(x)x2x(3x)(1x)由g(x)>0，得1<x<3；由g(x)<0，得3<x<1.g(x)在3，1)上是减少的，在(1,3上是增加的，当x1时，g(x)取得最小值，又g(3)，g(3)，ymax，k>.15.某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱体，左右两端均为半球体，按照设计要求容器的体积为立方米假设该容器的建造费用仅与其表面积有关已知圆柱体部分每平方米建造费用为3千元，半球体部分每平方米建造费用为4千元设该容器的总建造费用为y千元(1)将y表示成r的函数，并求该函数的定义域；(2)确定r和l为何值时，该容器的建造费用最少，并求出最少建造费用考点函数类型的优化问题题点利用导数解决费用最省问题解(1)因为容器的体积为立方米，所以r2l，解得l.所以圆柱的侧面积为2rl2r，两端两个半球的表面积之和为4r2，所以y×34r2×48r2.又l>0r<，所以定义域为(2)因为y16r，所以令y>0，得2<r<2；令y<0，得0<r<2.所以当r2时，该容器的建造费用最少，为96千元，此时l.