2020版高中数学第二章圆锥曲线与方程3.2双曲线的简单性质学案北师大版.docx

32双曲线的简单性质学习目标1.了解双曲线的简单性质(对称性、范围、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.掌握标准方程中a，b，c，e间的关系知识点一双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线标准方程1(a>0，b>0)1(a>0，b>0)图形性质范围xa或xa，yRya或ya，xR对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点坐标A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)实轴和虚轴线段A1A2叫作双曲线的实轴；线段B1B2叫作双曲线的虚轴渐近线y±xy±x离心率e，e(1，)知识点二双曲线的离心率双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率，记为e，其取值范围是(1，)e越大，双曲线的张口越大知识点三双曲线的相关概念1双曲线的对称中心叫作双曲线的中心2实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，它的渐近线方程是y±x.1双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点(×)2双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔()3双曲线x2y2m(m0)的离心率为，渐近线方程为y±x.()4平行于渐近线的直线与双曲线相交，且只有一个交点()5等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率e.()题型一由双曲线方程研究其简单性质例1求双曲线9y24x236的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程考点双曲线的简单性质题点由双曲线方程求a，b，c，渐近线解将9y24x236化为标准方程为1，即1，所以a3，b2，c.因此顶点坐标为A1(3,0)，A2(3,0)，焦点坐标为F1(，0)，F2(，0)，实轴长2a6，虚轴长2b4，离心率e，渐近线方程为y±x±x.引申探究求双曲线nx2my2mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程解把方程nx2my2mn(m>0，n>0)化为标准方程为1(m>0，n>0)，由此可知，实半轴长a，虚半轴长b，c，焦点坐标为(，0)，(，0)，离心率e，顶点坐标为(，0)，(，0)，所以渐近线方程为y±x，即y±x.反思感悟由双曲线的方程研究简单性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值(3)由c2a2b2求出c的值，从而写出双曲线的简单性质跟踪训练1求双曲线9y216x2144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程考点双曲线的简单性质题点由双曲线方程求a，b，c，渐近线解把方程9y216x2144化为标准方程为1.由此可知，实半轴长a4，虚半轴长b3；c5，焦点坐标是(0，5)，(0,5)；离心率e；渐近线方程为y±x.题型二由双曲线的简单性质求标准方程例2求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)以直线2x±3y0为渐近线，过点(1,2)；(2)与双曲线1具有相同的渐近线，且过点M(3，2)；(3)过点(2,0)，与双曲线1离心率相等；(4)与椭圆1有公共焦点，离心率为.考点双曲线性质的应用题点由双曲线的简单性质求方程解(1)方法一由题意可设所求双曲线方程为4x29y2(0)，将点(1,2)的坐标代入方程解得32.因此所求双曲线的标准方程为1.方法二由题意可设所求双曲线方程为1(mn>0)由题意，得解得因此所求双曲线的标准方程为1.(2)设所求双曲线方程为(0)由点M(3，2)在双曲线上，得，2.故所求双曲线的标准方程为1.(3)当所求双曲线的焦点在x轴上时，可设其方程为(>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得，故所求双曲线的标准方程为y21；当所求双曲线的焦点在y轴上时，可设其方程为(>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得<0(舍去)综上可知，所求双曲线的标准方程为y21.(4)方法一由椭圆方程可得焦点坐标为(3,0)，(3,0)，即c3且焦点在x轴上设双曲线的标准方程为1(a>0，b>0)因为e，所以a2，则b2c2a25，故所求双曲线的标准方程为1.方法二因为椭圆焦点在x轴上，所以可设双曲线的标准方程为1(16<<25)因为e，所以1，解得21.故所求双曲线的标准方程为1.反思感悟(1)根据双曲线的某些简单性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式(2)巧设双曲线方程的六种方法与技巧焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为1(a>0，b>0)焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为1(a>0，b>0)与双曲线1共焦点的双曲线方程可设为1(0，b2<<a2)与双曲线1具有相同渐近线的双曲线方程可设为(0)渐近线为ykx的双曲线方程可设为k2x2y2(0)渐近线为ax±by0的双曲线方程可设为a2x2b2y2(0)跟踪训练2求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为；(2)两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分；(3)焦点在x轴上，离心率为，且过点(5,4)考点双曲线性质的应用题点由双曲线的几何性质求方程解(1)由题意知，2b8，又c2a2b2，a3，b4，故双曲线方程为1.(2)由题意知，2a6,2c4a12，又b2c2a2，a29，b227，双曲线方程为1或1.(3)，双曲线为等轴双曲线，则可设双曲线方程为x2y2(>0)，将点(5,4)代入双曲线方程，得9，双曲线方程为1.题型三与双曲线有关的离心率问题例3设F1，F2分别为双曲线1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|PF2|3b，|PF1|·|PF2|ab，则该双曲线的离心率为()A.B.C.D3考点双曲线的简单性质题点求双曲线的离心率的值答案B解析考虑双曲线的对称性，不妨设P在右支上，则|PF1|PF2|2a，而|PF1|PF2|3b，两式等号左右两边平方后相减，得|PF1|·|PF2|.又已知|PF1|·|PF2|ab，ab，得(负值舍去)该双曲线的离心率e.引申探究若本例条件“|PF1|PF2|3b，|PF1|·|PF2|ab”改为“若PF1PF2，且PF1F230°”，结果如何？解作出满足题意的几何图形(如图)，设点P在双曲线右支上PF1PF2，|F1F2|2c，且PF1F230°，|PF2|c，|PF1|c.又点P在双曲线的右支上，|PF1|PF2|(1)c2a，e1.反思感悟求双曲线离心率的常见方法(1)依据条件求出a，c，再计算e.(2)依据条件建立参数a，b，c的关系式，一种方法是消去b转化为离心率e的方程求解，另一种方法是消去c转化成含的方程，求出后，利用e求解跟踪训练3双曲线1(0<a<b)的半焦距为c，直线l过(a,0)，(0，b)两点，且原点到直线l的距离为c.求双曲线的离心率考点双曲线的简单性质题点求双曲线的离心率的值解依题意，直线l：bxayab0.由原点到l的距离为c，得c，即abc2，16a2b23(a2b2)2，即3b410a2b23a40，3210×30，解得或3.又0<a<b，3.e2.题型四直线与双曲线的位置关系例4已知双曲线C：1(a>0，b>0)的焦距为4，且经过点(3,2)(1)求双曲线C的方程和其渐近线方程；(2)若直线l：ykx2与双曲线C有且只有一个公共点，求所有满足条件的k的取值考点题点解(1)由题意可知，双曲线的焦点为(2,0)和(2,0)，根据定义有2a2，a1，由以上可知，a21，c24，b23，所求双曲线C的方程为x21.渐近线方程为y±x.(2)由得(3k2)x24kx70.当3k20，即k±时，此时直线与双曲线相交于一个公共点，符合题意当3k20，即k±时，由0得k±，此时直线与双曲线相切于一个公共点，符合题意综上所述，符合题意的k的所有取值为，.引申探究本例条件不变，若直线y2xm被双曲线C截得的弦长为2，求实数m的值解设直线y2xm与双曲线C的交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x24mxm230，16m24(m23)>0，得m<1或m>1，x1x24m，x1x2m23，|AB|··2，解得m±，适合m<1或m>1，故m±.反思感悟(1)直线与双曲线位置关系的判定方法通常把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2bxc0的形式，在a0的情况下考查方程的判别式当>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点当0时，直线与双曲线只有一个公共点当<0时，直线与双曲线没有公共点当a0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点(2)双曲线的弦长公式与直线与椭圆相交所得的弦的长度求法一样设直线ykxb与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2|或|AB|y1y2|.跟踪训练4已知双曲线的中心在坐标原点，且一个焦点为(，0)，直线yx1与其相交于M，N两点，MN的中点的横坐标为，求此双曲线的方程考点题点解设双曲线方程为1(a>0，b>0)依题意可知c，方程可以化为1，将直线yx1代入，得(72a2)x22a2x8a2a40，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2，MN的中点的横坐标为，×，解得a22，此时>0，曲线的方程为1.存在性问题需验证典例已知双曲线2x2y22，过点B(1,1)能否作直线l，使l与所给双曲线交于点Q1，Q2，且点B是弦Q1Q2的中点，若存在这样的直线l，求出它的方程；若不存在，请说明理由考点直线与双曲线的位置关系题点直线与双曲线的其他问题解由题意知，设Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)是双曲线上的两点，则x1x2，且x1x22，y1y22，由两式相减并变形得2，若存在，则直线l为y12(x1)，即y2x1，联立得2x24x30，而8<0，方程无实根，即直线与双曲线无交点，故不存在满足条件的直线素养评析(1)利用“点差法”解题，其过程是无法保证直线与双曲线相交的，因此必须对所求得直线方程的存在性进行验证(2)确定好运算方法，形成运算程序的完备性，有利于培养学生一丝不苟、严谨求实的科学素养.1双曲线y21与椭圆1的()A焦点相同B顶点相同C实轴与长轴相同D短轴与虚轴相同考点双曲线的简单性质题点由双曲线方程研究其性质答案A解析y21的焦点坐标是(±4,0)，1的焦点坐标为(±4,0)，故选A.2设双曲线1的渐近线方程为3x±2y0，则a的值为()A4B3C2D1考点双曲线性质的应用题点以离心率或渐近线为条件的简单问题答案A解析方程表示双曲线，a<0，标准方程为1，渐近线方程为y±x，解得a4.3双曲线1与直线yxm(mR)的公共点的个数为()A0B1C0或1D0或1或2考点题点答案C解析由双曲线1，得a3，b2，双曲线的渐近线方程为y±x，当m0时，直线yx与双曲线没有公共点；当m0时，直线yxm与双曲线的渐近线平行，与双曲线只有一个公共点综上，双曲线1与直线yxm(mR)的公共点的个数为0或1.4设双曲线1(a0，b0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为_考点双曲线的简单性质题点由条件求渐近线方程答案y±x解析由条件知2b2,2c2，b1，c，a2c2b22，即a.双曲线的渐近线方程为y±x±x.1渐近线是双曲线特有的性质，两方程联系密切，把双曲线的标准方程1(a>0，b>0)右边的常数“1”换为“0”，就是渐近线方程反之由渐近线方程ax±by0变为a2x2b2y2，再结合其他条件求得就可得双曲线方程2准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形3直线与双曲线的位置关系可以通过联立直线方程与双曲线方程得到的方程来判断，首先看二次项系数是否为零，若不为零，再利用来判断直线与双曲线的位置关系.一、选择题1双曲线25x29y2225的实轴长、虚轴长、离心率分别是()A10,6，B6,10，C10,6，D6,10，考点双曲线的简单性质题点由双曲线的方程研究几何性质答案B解析双曲线25x29y2225即为1，可得a3，b5，c，则实轴长为2a6，虚轴长为2b10，离心率e.2双曲线1的焦点到渐近线的距离为()A2B2C.D1考点双曲线的简单性质题点由双曲线方程研究其性质答案B解析双曲线1的一个焦点为F(4,0)，其中一条渐近线方程为yx，点F(4,0)到xy0的距离为2.3已知双曲线x21的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m的值是()A4B.CD4考点双曲线性质的应用题点由双曲线的性质求方程答案D解析双曲线x21的虚轴长和实轴长分别为2和2，24，m4.4已知双曲线方程为x21，过点P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则共有l()A4条B3条C2条D1条考点直线与双曲线的位置关系题点直线与双曲线的位置关系答案B解析因为双曲线方程为x21，则P(1,0)是双曲线的右顶点，所以过P(1,0)并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外两条就是过P(1,0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的有3条5已知双曲线C的焦点、顶点恰好分别是椭圆1的长轴端点、焦点，则双曲线C的渐近线方程为()A4x±3y0B3x±4y0C4x±5y0D5x±4y0考点双曲线的简单性质题点由条件求渐近线方程答案A解析由椭圆1知，长轴端点分别为(5,0)和(5,0)，焦点是(3,0)，(3,0)，由此可知，双曲线的焦点为(5,0)，(5,0)，顶点为(3,0)，(3,0)，所以双曲线方程为1，所以渐近线方程为4x±3y0.6已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率等于，则双曲线C的方程是()A.1B.1C.1D.1答案B解析依题意得，c3，e，所以a2，从而a24，b2c2a25，故选B.7已知双曲线1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，其一条渐近线方程为yx，点P(，y0)在该双曲线上，则·等于()A12B2C0D4答案C解析yx为渐近线方程，则b2，即双曲线方程为x2y22.当x时，y1.又双曲线的半焦距为2，F1(2,0)，F2(2,0)，·(2，y0)·(2，y0)1y110.故选C.8点P是双曲线1(a>0，b>0)上的点，F1，F2是其焦点，双曲线的离心率是，且PF1PF2，若F1PF2的面积是9，则ab的值等于()A4B5C6D7考点双曲线的定义题点双曲线的焦点三角形答案D解析设|PF1|m，|PF2|n，则|mn|2a，又因为PF1PF2，所以m2n24c2，2得2mn4a24c2，所以mn2a22c2.又因为F1PF2的面积是9，所以mn9，所以c2a29.又因为双曲线的离心率，所以c5，a4，所以b3，所以ab7.二、填空题9已知双曲线1(a>0，b>0)的两条渐近线方程为y±x，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为_考点双曲线性质的应用题点由双曲线的性质求方程答案1解析顶点(±a,0)到渐近线的距离为1，1，解得a2.，b.双曲线方程为1.10.如图，F1，F2分别是双曲线1(a>0，b>0)的左，右两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且F2AB是等边三角形，则该双曲线的离心率为_考点双曲线的简单性质题点求双曲线的离心率的值答案1解析由题意知A点坐标为，又点A在双曲线上，将点A的坐标代入双曲线方程，得1.又b2c2a2，由，得e1.11过双曲线x21的左焦点F1作倾斜角为的弦AB，则|AB|_.考点直线与双曲线的位置关系题点直线与双曲线相交弦长与三角形的面积答案3解析易得双曲线的左焦点F1(2,0)，直线AB的方程为y(x2)，与双曲线方程联立，得8x24x130.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，|AB|·×3.三、解答题12已知双曲线E与双曲线1共渐近线，且过点A(2，3)若双曲线M以双曲线E的实轴为虚轴，虚轴为实轴，试求双曲线M的标准方程考点题点解由题意，设双曲线E的方程为t(t0)点A(2，3)在双曲线E上，t，t，双曲线E的标准方程为1.由题意知所求双曲线M的标准方程为1.13已知双曲线E：1.(1)若m4，求双曲线E的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；(2)若双曲线E的离心率为e，求实数m的取值范围考点双曲线的几何性质题点由双曲线的方程研究几何性质解(1)当m4时，双曲线方程化为1，所以a2，b，c3，所以焦点坐标为(3,0)，(3,0)，顶点坐标为(2,0)，(2,0)，渐近线方程为y±x.(2)因为e21，e，所以<1<2，解得5<m<10，所以实数m的取值范围是(5,10)14若在双曲线1 (a>0，b>0)的右支上到原点O和右焦点F的距离相等的点有两个，则双曲线的离心率的取值范围是()Ae>B1<e<Ce>2D1<e<2考点双曲线的离心率与渐近线题点双曲线离心率的取值范围答案C解析由于到原点O和右焦点F距离相等的点在线段OF的垂直平分线上，其方程为x.依题意，在双曲线1 (a>0，b>0)的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，所以直线x与右支有两个交点，故应满足>a，即>2，得e>2.15已知等轴双曲线的顶点在x轴上，两顶点间的距离是4，右焦点为F.(1)求双曲线的标准方程和渐近线方程；(2)椭圆E的中心在原点O，右顶点与F点重合，上述双曲线中斜率大于0的渐近线交椭圆于A，B两点(A在第一象限)，若ABAF，试求椭圆E的离心率考点双曲线的几何性质题点求双曲线的离心率解(1)设双曲线的方程为1(>0)，则24，解得2，双曲线的方程为1，渐近线方程为y±x.(2)设椭圆的标准方程为1(a>b>0)，由(1)知F(2，0)，于是a2.设A(x0，y0)，则x0y0.ABAF，且AB的斜率为1，AF的斜率为1，故1，由解得x0，A(，)，代入椭圆方程得1，解得b2，c2a2b28，得c，椭圆E的离心率e.