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新经济学论文-论微积分在经济分析中的应用.doc

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新经济学论文-论微积分在经济分析中的应用.doc

新经济学论文论微积分在经济分析中的应用摘要微积分作为数学知识的基础,是学习经济学的必备知识,着重讨论了微积分在经济学中最基本的一些应用,计算边际成本、边际收入、边际利润并解释其经济意义,111111设需求函数QF(P)在点P处可导(其中Q为需求量,P为商品价格),则其边际函数QFP称为边际需求函数,简称边际需求。类似地,若供给函数QQP可导(其中Q为供给量,P为商品价格),则其边际函数QQP112总成本函数CCQC0C1Q;平均成本函数QCQQ;边际成本函数CCQ.CQ0称为当产量为Q0时的边际成本,其经济意义为当产量达到Q0时,如果增减一个单位产品,则成本将相应增减CQ0113总收益函数RRQ;平均收益函数Q;边际收益函数R’R’QR’Q0称为当商品销售量为Q0时的边际收益。其经济意义为当销售量达到Q0时,如果增减一个单位产品,则收益将相应地增减RQ0114利润函数LLQRQCQ;平均利润函数;Q边际利润函数L’L’QR’QC’QL’Q0称为当产量为Q0时的边际利润,其经济意义是当产量达到Q0时,如果增减一个单位产品,则利润将相应增减L’Q0个例1某企业每月生产Q(吨)产品的总成本C(千元)是产量Q的函数,CQQ210Q20。如果每吨产品销售价格2万元,求每月生产10吨、15吨、20吨解每月生产QR(Q)20QL(Q)R(Q)C(Q)20Q(Q21Q20Q230Q20L’QQ230Q20’2Q30则每月生产10吨、15吨、20L’102103010(千元/L’15215300(千元/L’202203010(千元/以上结果表明当月产量为10吨时,再增产1吨,利润将增加1万元;当月产量为15吨时,再增产1吨,利润则不会增加;当月产量为20吨时,再增产1吨,利润反而减少1显然,企业不能完全靠增加产量来提高利润,那么保持怎样的产量才能使企12121设函数YFX在点X处可导,函数的相对改变量ΔYYFXΔXFXY与自变量的相对改变量ΔXX之比,当ΔX→0时的极限称为函数YFX在点X处的相对变化率,或称为弹性函数。记为EYEXEYEXLIMX→0YYXXLIMX→0YX.XYF’XXFX在点XX0处,弹性函数值EFX0EXF’X0XFX0称为F(X)在点XX0处的弹性值,简称弹性。EEXFX0表示在点XX0处,当X产生1的改变时,F(X)近似地改变EEXFX0122对于需求函数QF(P)或PP(Q),由于价格上涨时,商品的需求函数QFP(或PPQ)为单调减少函数,ΔP与ΔQ异号,所以特殊地定义,需求对价格的弹性函数为ΗPF’PPFP例2设某商品的需求函数为QEP51需求弹性函数;2P3,P5,P6解1ΗPF’PPFP15EP5PEP5P52Η33506;Η5551;Η66512Η3061,说明当P3时,价格上涨1,需求只减少06,需求变动的Η51,说明当P5时,价格上涨1,需求也减少1,价格与需求变动的Η6121,说明当P6时,价格上涨1,需求减少12,需求变动的幅123收益R是商品价格P与销售量QRPQPFPR’FPPF’PFP1F’PPFPFP1Η所以,收益弹性为EREPR’PPRPFP1ΗPPFP1Η这样,就推导出收益弹性与需求弹性的关系是在任何价格水平上,收益弹性与需求弹性之和等于1(1)若Η1,则EREP0价格上涨(或下跌)1,收益增加(或减少)1Η(2)若Η1,则EREP0价格上涨(或下跌)1,收益减少(或增加)|1Η|(3)若Η1,则EREP0价格变动113最优化问题是经济管理活动的核心,各种最优化问题也是微积分中最关心的问题之一,例如,在一定条件下,使成本最低,收入最多,利润最大,费用最省131最低成例3设某厂每批生产某种产品X个单位的总成本函数为CXMX3NX2PX,(常数M0,N0,P0),(1)问每批生产多少单位时,使平均成本最小(2解(1)平均成本XCXXMX2NXPC2MXNCXN2MCX2M0。所以,每批生产N2M个单(2)N2MMN2M2NN2MP4MPN24M,又C’X3MX22NXP,C’N2M3MN2M22MN2MP4MPN24M所以,最小平均成本等于其相应132例4设生产某产品的固定成本为60000元,变动成本为每件20元,价格函数P60Q1000(Q为销售量),假设供销平衡,问产量为多少时,利润最大最解产品的总成本函数CQ6000020Q收益函数RQPQ60Q1000Q60QQ21000则利润函数LQRQCQQ2100040Q60000L’Q1500Q40,令L’Q0得Q20000∵L’’Q15000∴Q2000时L最大,L(2000)340000所以生产20000个产品时利润最大,最大利润为340000元。2在经济管理中,由边际函数求总函数(即原函数),一般采用不定积分来解决,或求一个变上限的定积分;如果求总函数在某个范围的改变量,则采用定积例5设生产X个产品的边际成本C1002X,其固定成本为C01000元,产品单价规定为500元。假设生产出的产品能完全销售,问生产量为多少时利润解CXX01002TDTC0100XX21000总收益函数为RX500X总利润LXRXCX400XX21000,L’4002X,令L’0,得X200,因为L’’2000。所以,生产量为200单位时,利润最大。最大利润为L2004002002002100039000在这里我们应用了定积分,分析出利润最大,并不是意味着多增加产量就必定增加利润,只有合理安排生产量,综上所述,对企业经营者来说,对其经济环节进行定量分析是非常必要的。将数学作为分析工具,不但可以给企业经营者提供精确的数值,而且在分析的过程中,还可以给企业经营者提供新的思路和视角,这也是数学应用性的具体体现。因此,作为一个合格的企业经营者,应该掌握相应的数学分析方法,从而为科学的经营决策提供可靠依据。[1,朱玉芳高等数学(一)微积分[M]北京中国对外经济贸易出版社,2003,(6)[2浅谈导数在经济中的应用[J]职业圈,2007,(4)[3导数与积分在经济分析中的应用[J]商业视角,2007,(5)[4高等数学在经济分析中的运用[J]枣庄学院学报,2007,(10)

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