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运筹学11-图与网络.ppt

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运筹学11-图与网络.ppt

第十一章图与网络规划11.1图与网络的基本概念11.2树及最小树问题11.3最短路问题11.4网络最大流问题11.1图与网络的基本概念图的概念所谓图,就是顶点和边的集合,点的集合记为V,边的集合记为E,则图可以表示为G=(V,E),点代表被研究的事物,边代表事物之间的联系,因此,边不能离开点而独立存在,每条边都有两个端点。在画图时,顶点的位置、边和长短形状都是无关紧要的,只要两个图的顶点及边是对应相同的,则两个图相同。图的表示,211e,212e,413e,314e,315e,426e,437e,448e,549e,,,,,,,,,,,,,,987654321654321eeeeeeeeeEe1e2e3e4e5v2v3v1v4v5v6e6e7e8e9点与边顶点数集合V中元素的个数,记作pG。边数集合E中元素的个数,记作qG。若eu,v∈E,则称u和v为e的端点,而称e为u和v的关联边,也称u,v与边e相关联。例如图中的图G,pG6,qG9,v1,v2是e1和e2的端点,e1和e2都是v1和v2的关联边。e1e2e3e4e5v2v3v1v4v5v6e6e7e8e9点边关系若点u和v与同一条边相关联,则u和v为相邻点若两条边ei和ej有同一个端点,则称ei与ej为相邻边。例如在图中v1和v2为相邻点,v1和v5不相邻e1与e5为相邻边,e1和e7不相邻。e1e2e3e4e5v2v3v1v4v5v6e6e7e8e9简单图若一条边的两个端点是同一个顶点,则称该边为环又若两上端点之间有多于一条边,则称为多重边或平行边。例如图的e8为环,e1,e2为两重边,e4,e5也是两重边。含有多重边的图称作多重图。无环也无多重边的图称作简单图。e1e2e3e4e5v2v3v1v4v5v6e6e7e8e9图的次次点v作为边的端点的次数,记作dv,如图中,dv15,dv46等端点次为奇数的点称作奇点次为偶数的点称作偶点。次为1的点称为悬挂点,与悬挂点连接的边称作悬挂边次为0的点称为孤立点。图中的点v5即为悬挂点,边e9即为悬挂边,而点v6则是弧立点。e1e2e3e4e5v2v3v1v4v5v6e6e7e8e9定理若图G中所有点都是孤立点,则称图G为空图。定理1所有顶点的次的和,等于所有边数的2倍。即qdV2e1e2e3e4e5v2v3v1v4v5v6e6e7e8e9定理2在任一图中,奇点的个数必为偶数。设V1和V2分别是图G中次数为奇数和偶数的顶点集合。由定理1有qddVV221e1e2e3e4e5v2v3v1v4v5v6e6e7e8e9

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