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3[1].14发2012年考研数学:高数中的重要定理与公式及其证明(一).doc

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3[1].14发2012年考研数学:高数中的重要定理与公式及其证明(一).doc

高数中的重要定理与公式及其证明(一)文章来源:跨考教育考研数学中最让考生头疼的当属证明题,而征服证明题的第一关就是教材上种类繁多的定理证明。如果本着严谨的对待数学的态度,一切定理的推导过程都是应该掌握的。但考研数学毕竟不是数学系的考试,很多时候要求没有那么高。而有些定理的证明又过于复杂,硬要要求自己掌握的话很多时候可能是又费时又费力,最后还弄得自己一头雾水。因此,在这方面可以有所取舍。现将高数中需要掌握证明过程的公式定理总结如下。这些证明过程,或是直接的考点,或是蕴含了重要的解题思想方法,在复习的初期,先掌握这些证明过程是必要的。1)常用的极限0ln(1)lim1xxx,01lim1xxex,01limlnxxaax,0(1)1limaxxax,201cos1lim2xxx【点评】:这几个公式大家在计算极限的过程中都再熟悉不过了,但有没有人想过它们的由来呢?事实上,这几个公式都是两个重要极限10lim(1)xxxe与0sinlim1xxx的推论,它们的推导过程中也蕴含了计算极限中一些很基本的方法技巧。证明:0ln(1)lim1xxx:由极限10lim(1)xxxe两边同时取对数即得0ln(1)lim1xxx。01lim1xxex:在等式0ln(1)lim1xxx中,令ln(1)xt,则1txe。由于极限过程是0x,此时也有0t,因此有0lim11ttte。极限的值与取极限的符号是无关的,因此我们可以吧式中的t换成x,再取倒数即得01lim1xxex。01limlnxxaax:利用对数恒等式得ln0011limlimxxaxxaexx,再利用第二个极限可得lnln0011limlnlimlnlnxaxaxxeeaaxxa。因此有01limlnxxaax。0(1)1limaxxax:利用对数恒等式得ln(1)ln(1)ln(1)00000(1)111ln(1)1ln(1)limlimlimlimlimln(1)ln(1)aaxaxaxxxxxxxeexexaaaxxaxxaxx上式中同时用到了第一个和第二个极限。201cos1lim2xxx:利用倍角公式得22220002sinsin1c

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