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3[1].14发2012年考研数学:高数中的重要定理与公式及其证明(一).doc

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3[1].14发2012年考研数学:高数中的重要定理与公式及其证明(一).doc

高数中的重要定理与公式及其证明(一)文章来源跨考教育考研数学中最让考生头疼的当属证明题,而征服证明题的第一关就是教材上种类繁多的定理证明。如果本着严谨的对待数学的态度,一切定理的推导过程都是应该掌握的。但考研数学毕竟不是数学系的考试,很多时候要求没有那么高。而有些定理的证明又过于复杂,硬要要求自己掌握的话很多时候可能是又费时又费力,最后还弄得自己一头雾水。因此,在这方面可以有所取舍。现将高数中需要掌握证明过程的公式定理总结如下。这些证明过程,或是直接的考点,或是蕴含了重要的解题思想方法,在复习的初期,先掌握这些证明过程是必要的。1)常用的极限0ln1lim1xxx,01lim1xxex,01limlnxxaax,011limaxxax,201cos1lim2xxx【点评】这几个公式大家在计算极限的过程中都再熟悉不过了,但有没有人想过它们的由来呢事实上,这几个公式都是两个重要极限10lim1xxxe与0sinlim1xxx的推论,它们的推导过程中也蕴含了计算极限中一些很基本的方法技巧。证明0ln1lim1xxx由极限10lim1xxxe两边同时取对数即得0ln1lim1xxx。01lim1xxex在等式0ln1lim1xxx中,令ln1xt,则1txe。由于极限过程是0x,此时也有0t,因此有0lim11ttte。极限的值与取极限的符号是无关的,因此我们可以吧式中的t换成x,再取倒数即得01lim1xxex。01limlnxxaax利用对数恒等式得ln0011limlimxxaxxaexx,再利用第二个极限可得lnln0011limlnlimlnlnxaxaxxeeaaxxa。因此有01limlnxxaax。011limaxxax利用对数恒等式得ln1ln1ln1000001111ln11ln1limlimlimlimlimln1ln1aaxaxaxxxxxxxeexexaaaxxaxxaxx上式中同时用到了第一个和第二个极限。201cos1lim2xxx利用倍角公式得22220002sinsin1cos1122limlimlim222xxxxxxxxx。2)导数与微分的四则运算法则22,d,d,d0uvuvuvdudvuvuvuvuvvduudvuvuuvuvduudvvvvvv【点评】这几个求导公式大家用得也很多,它们的证明需要用到导数的定义。而导数的证明也恰恰是很多考生的薄弱点,通过这几个公式可以强化相关的概念,避免到复习后期成为自己的知识漏洞。具体的证明过程教材上有,这里就不赘述了。3)链式法则设,yfuux,如果x在x处可导,且fu在对应的ux处可导,则复合函数yfx在x处可导可导,且有dydydufxfuxdxdudx或【点评】同上。4)反函数求导法则设函数yfx在点x的某领域内连续,在点0x处可导且0fx,并令其反函数为xgy,且0x所对应的y的值为0y,则有000111dxgydyfxfgydydx或【点评】同上。5)常见函数的导数1xx,sincosxx,cossinxx,1lnxx,1loglnaxxa,xxee,lnxxaea【点评】这些求导公式大家都很熟悉,但很少有人想过它们的由来。实际上,掌握这几个公式的证明过程,不但可以帮助我们强化导数的定义这个薄弱点,对极限的计算也是很好的练习。现选取其中典型予以证明。证明1xx导数的定义是0limxfxxfxfxx,代入该公式得11001111limlimxxxxxxxxxxxxxxx。最后一步用到了极限011limaxxax。注意,这里的推导过程仅适用于0x的情形。0x的情形需要另行推导,这种情况很简单,留给大家。sincosxx利用导数定义0sinsinsinlimxxxxxx,由和差化积公式得002cossinsinsin22limlimcosxxxxxxxxxxx。cossinxx的证明类似。1lnxx利用导数定义00ln1lnln1lnlimlimxxxxxxxxxxx。1loglnaxxa的证明类似(利用换底公式lnloglnaxxa)。xxee利用导数定义001limlimxxxxxxxxxeeeeeexx。lnxxaea的证明类似(利用对数恒等式lnxxaae)。

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