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2008年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷分类汇编5.4解斜三角形.doc

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2008年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷分类汇编5.4解斜三角形.doc

高考地理复习第五章平面向量四解斜三角形【考点阐述】正弦定理.余弦定理.斜三角形解法.【考试要求】(7)掌握正弦定理、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形.【考题分类】(一)选择题(共7题)1.(安徽卷文5)在三角形ABC中,5,3,7ABACBC,则BAC的大小为()A.23B.56C.34D.3解由余弦定理2225371cos2532BAC,23BAC2.(北京卷文4)已知ABC△中,2a,3b,60B,那么角A等于()A.135B.90C.45D.30【解析】由正弦定理得2322,sinsin,sinsinsinsin23abABABAB45abABA【答案】C3.(福建卷理10文8)在△ABC中,角ABC的对边分别为a、b、c,若a2c2b2tanB3ac,则角B的值为A.6B.3C.6或56D.3或23解由222acbtanB3ac得222acb3cos22sinBacB即3coscos2sinBBB3sin2B,又在△中所以B为3或234.(海南宁夏卷理3)如果等腰三角形的周长是底边长的5倍,那么它的顶角的余弦值为A.185B.43C.23D.87解设顶角为C,因为5,2lcabc∴,由余弦定理222222447cos22228abccccCabcc高考地理复习5.(山东卷文8)已知abc,,为ABC△的三个内角ABC,,的对边,向量31cossinAA,,,mn.若mn,且coscossinaBbAcC,则角AB,的大小分别为()A.ππ63,B.2ππ36,C.ππ36,D.ππ33,解析本小题主要考查解三角形问题。3cossin0AA,3A2sincossincossin,ABBAC2sincossincossinsinsinABBAABCC,.2Cπ6B.选C.本题在求角B时,也可用验证法.6.(陕西卷理3)ABC△的内角ABC,,的对边分别为abc,,,若26120cbB,,,则a等于()A.6B.2C.3D.2解由正弦定理621sinsin120sin2CC,于是30302CAac7.(四川卷文7)ABC的三内角,,ABC的对边边长分别为,,abc,若5,22abAB,则cosB(A)53(B)54(C)55(D)56【解】∵ABC中522abAB∴5sinsin2sinsin22sincosABABBB∴5cos4B故选B【点评】此题重点考察解三角形,以及二倍角公式【突破】应用正弦定理进行边角互化,利用三角公式进行角的统一,达到化简的目的在解三角形中,利用正余弦定理进行边角转化是解题的基本方法,在三角函数的化简求值中常要重视角的统一,函数的统一,降次思想的应用。(二)填空题(共6题)1.(湖北卷理12)在△ABC中,三个角,,ABC的对边边长分别为3,4,6abc,则coscoscosbcAcaBabC的值为.高考地理复习解由余弦定理,原式1636993616169366122222.(湖北卷文12)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,已知3,3,30,abc则A=.解由余弦定理可得239233cos303c,3306caAC或3.(江苏卷13)若2,2ABACBC,则ABCS的最大值。【解析】本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想.设BC=x,则AC=2x,根据面积公式得ABCS21sin1cos2ABBCBxB,根据余弦定理得2222242cos24ABBCACxxBABBCx244xx,代入上式得ABCS2221281241416xxxx由三角形三边关系有2222xx解得222222x,故当22x时取得ABCS最大值22【答案】224.(山东卷理15)已知a,b,c为△ABC的三个内角A,B,C的对边,向量m=(1,3),n=(cosA,sinA).若m⊥n,且acosBbcosAcsinC,则角B=____.解mn3cossin0AA,3AsincossincossinsinABBACC2sincossincossinsinsinABBAABCC.2C6B∴5.(陕西卷文13)ABC△的内角ABC,,的对边分别为abc,,,若26120cbB,,,则a2.解由正弦定理621sinsin120sin2CC,于是30302CAac6.(浙江卷理13文14)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若CaAcbcoscos3,则Acos_________________。解析本小题主要考查三角形中正弦定理的应用。依题由正弦定理得3sinsincossincosBCAAC,即3sincossinsinBAACB,高考地理复习∴3cos.3A(三)解答题(共16题)1.(海南宁夏卷文17)如图,△ACD是等边三角形,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB90°,BD交AC于E,AB2。(1)求cos∠CBE的值(2)求AE。【试题解析】.1因为0009060150,BCDCBACCD所以015CBE,0062coscos45304CBE2在ABE中,2AB,故由正弦定理得00002sin4515sin9015AE,故00122sin30262cos15624AE【高考考点】正弦定理及平面几何知识的应用【易错点】对有关公式掌握不到位而出错。【全品备考提示】解三角形一直是高考的重点内容之一,不能轻视。2.(湖南卷理19)在一个特定时段内,以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45且与点A相距402海里的位置B,经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45其中sin2626,090且与点A相距1013海里的位置C.(I)求该船的行驶速度(单位海里/小时)(II)若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域,并说明理由.解(I)如图,AB402,AC1013,26,sin.26BAC由于090,所以cos2265261.2626由余弦定理得BC222cos105.ABACABAC所以船的行驶速度为10515523(海里/小时).EDCBA高考地理复习(II)解法一如图所示,以A为原点建立平面直角坐标系,设点B、C的坐标分别是B(x1,y2),C(x1,y2),BC与x轴的交点为D.由题设有,x1y122AB40,x2ACcos1013cos4530CAD,y2ACsin1013sin4520.CAD所以过点B、C的直线l的斜率k20210,直线l的方程为y2x40.又点E(0,55)到直线l的距离d|05540|357.14所以船会进入警戒水域.解法二如图所示,设直线AE与BC的延长线相交于点Q.在△ABC中,由余弦定理得,222cos2ABBCACABCABBC2224021051013240210531010.从而2910sin1cos1.1010ABCABC在ABQ中,由正弦定理得,AQ10402sin1040.sin452210210ABABCABC由于AE5540AQ,所以点Q位于点A和点E之间,且QEAEAQ15.过点E作EPBC于点P,则EP为点E到直线BC的距离.在RtQPE中,PEQEsinsinsin45PQEQEAQCQEABC515357.5所以船会进入警戒水域.3.(江苏卷17)某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD的顶点A,B,及CD的中点P处,已知20ABkm,10CDkm,为了处理三家工厂的污水,现要在矩形ABCD的区域上(含边界),且A,B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂,并铺设排污管道AO,BO,OP,设排污管道的总长为ykm。高考地理复习(I)按下列要求写出函数关系式①设BAOrad,将y表示成的函数关系式②设OPxkm,将y表示成x的函数关系式。(II)请你选用(I)中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位置,使三条排水管道总长度最短。【解析】本小题主要考查函数最值的应用.(Ⅰ)①由条件知PQ垂直平分AB,若∠BAOrad,则10coscosAQOA,故10cosOB,又OP=1010tan,所以10101010tancoscosyOAOBOP,所求函数关系式为2010sin10cosy04②若OPxkm,则OQ=10-x,所以OAOB222101020200xxx所求函数关系式为2220200010yxxxx(Ⅱ)选择函数模型①,2210coscos2010sin102sin1coscossiny令y0得sin12,因为04,所以6,当0,6时,0y,y是的减函数当,64时,0y,y是的增函数,所以当6时,min10103y。这时点P位于线段AB的中垂线上,在矩形区域内且距离AB边1033km处。4.(江西卷理17)在ABC中,角,,ABC所对应的边分别为,,abc,23a,tantan4,22ABC2sincossinBCA,求,AB及,bc解由tantan422ABC得cottan422CC∴cossin224sincos22CCCC∴14sincos22CC高考地理复习∴1sin2C,又0,C∴566CC,或由2sincossinBCA得2sincossinBBBC即sin0BC∴BC6BC23ABC由正弦定理sinsinsinabcABC得1sin2232sin32BbcaA5.(辽宁卷理17)在ABC△中,内角ABC,,对边的边长分别是abc,,,已知2c,3C.(Ⅰ)若ABC△的面积等于3,求ab,(Ⅱ)若sinsin2sin2CBAA,求ABC△的面积.说明本小题主要考查三角形的边角关系,三角函数公式等基础知识,考查综合应用三角函数有关知识的能力.满分12分.解析(Ⅰ)由余弦定理及已知条件得,224abab,又因为ABC△的面积等于3,所以1sin32abC,得4ab.4分联立方程组2244ababab,,解得2a,2b.6分(Ⅱ)由题意得sinsin4sincosBABAAA,即sincos2sincosBAAA,8分当cos0A时,2A,6B,433a,233b,当cos0A时,得sin2sinBA,由正弦定理得2ba,联立方程组2242ababba,,解得233a,433b.所以ABC△的面积123sin23SabC.12分6.(辽宁卷文17)在ABC△中,内角ABC,,对边的边长分别是abc,,,已知2c,3C.高考地理复习(Ⅰ)若ABC△的面积等于3,求ab,(Ⅱ)若sin2sinBA,求ABC△的面积.解(Ⅰ)由余弦定理得,224abab,又因为ABC△的面积等于3,所以1sin32abC,得4ab.4分联立方程组2244ababab,,解得2a,2b.6分(Ⅱ)由正弦定理,已知条件化为2ba,8分联立方程组2242ababba,,解得233a,433b.所以ABC△的面积123sin23SabC.12分7.(全国Ⅰ卷理17)设ABC△的内角ABC,,所对的边长分别为abc,,,且3coscos5aBbAc.(Ⅰ)求tancotAB的值(Ⅱ)求tanAB的最大值.解析(Ⅰ)在ABC△中,由正弦定理及3coscos5aBbAc可得3333sincossincossinsinsincoscossin5555ABBACABABAB即sincos4cossinABAB,则tancot4AB(Ⅱ)由tancot4AB得tan4tan0AB2tantan3tan3tan1tantan14tancot4tanABBABABBBB≤34当且仅当14tancot,tan,tan22BBBA时,等号成立,故当1tan2,tan2AB时,tanAB的最大值为34.8.(全国Ⅰ卷文17)设ABC△的内角ABC,,所对的边长分别为abc,,,且cos3aB,sin4bA.(Ⅰ)求边长a(Ⅱ)若ABC△的面积10S,求ABC△的周长l.高考地理复习2222CCDABDCDbsinA4,BDacosB3,BCDaBCBDCD5113SABCDAB410,AB5,acosB3,cosB2253bca2accosB252522520255552510251025解⑴过作于,则由=∴在直角三角形中,⑵由面积∴又∵∴再由余弦定理得--==∴=+++∴周长为+。9.(全国Ⅱ卷理17)在ABC△中,5cos13B,4cos5C.(Ⅰ)求sinA的值(Ⅱ)设ABC△的面积332ABCS△,求BC的长.解(Ⅰ)由5cos13B,得12sin13B,由4cos5C,得3sin5C.所以33sinsinsincoscossin65ABCBCBC.5分(Ⅱ)由332ABCS△得133sin22ABACA,由(Ⅰ)知33sin65A,故65ABAC,8分又sin20sin13ABBACABC,故2206513AB,132AB.所以sin11sin2ABABCC.10分10.(全国Ⅱ卷文17)在ABC△中,5cos13A,3cos5B.(Ⅰ)求sinC的值(Ⅱ)设5BC,求ABC△的面积.解(Ⅰ)由5cos13A,得12sin13A,由3cos5B,得4sin5B.2分所以16sinsinsincoscossin65CABABAB.5分(Ⅱ)由正弦定理得45sin13512sin313BCBACA.8分所以ABC△的面积1sin2SBCACC113165236583.10分11.(上海卷理17)如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形AOB,小区的两个出入

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