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2008年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷分类汇编5.4解斜三角形.doc

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2008年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷分类汇编5.4解斜三角形.doc

高考地理复习第五章平面向量四解斜三角形【考点阐述】正弦定理.余弦定理.斜三角形解法.【考试要求】(7)掌握正弦定理、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形.【考题分类】(一)选择题(共7题)1(安徽卷文5)在三角形ABC中,5,3,7ABACBC,则BAC的大小为()A.23B.56C.34D.3解由余弦定理2225371COS2532BAC,23BAC2(北京卷文4)已知ABC△中,2A,3B,60B,那么角A等于()A.135B.90C.45D.30【解析】由正弦定理得2322,SINSIN,SINSINSINSIN23ABABABAB45ABABA【答案】C3(福建卷理10文8)在△ABC中,角ABC的对边分别为A、B、C,若A2C2B2TANB3AC,则角B的值为A6B3C6或56D3或23解由222ACBTANB3AC得222ACB3COS22SINBACB即3COSCOS2SINBBB3SIN2B,又在△中所以B为3或234(海南宁夏卷理3)如果等腰三角形的周长是底边长的5倍,那么它的顶角的余弦值为A185B43C23D87解设顶角为C,因为5,2LCABC∴,由余弦定理222222447COS22228ABCCCCCABCC高考地理复习5(山东卷文8)已知ABC,,为ABC△的三个内角ABC,,的对边,向量31COSSINAA,,,MN.若MN,且COSCOSSINABBACC,则角AB,的大小分别为()A.ΠΠ63,B.2ΠΠ36,C.ΠΠ36,D.ΠΠ33,解析本小题主要考查解三角形问题。3COSSIN0AA,;3A2SINCOSSINCOSSIN,ABBAC2SINCOSSINCOSSINSINSINABBAABCC,2CΠ6B选C本题在求角B时,也可用验证法6(陕西卷理3)ABC△的内角ABC,,的对边分别为ABC,,,若26120CBB,,,则A等于()A.6B.2C.3D.2解由正弦定理621SINSIN120SIN2CC,于是30302CAAC7(四川卷文7)ABC的三内角,,ABC的对边边长分别为,,ABC,若5,22ABAB,则COSB(A)53(B)54(C)55(D)56【解】∵ABC中522ABAB∴5SINSIN2SINSIN22SINCOSABABBB∴5COS4B故选B;【点评】此题重点考察解三角形,以及二倍角公式;【突破】应用正弦定理进行边角互化,利用三角公式进行角的统一,达到化简的目的;在解三角形中,利用正余弦定理进行边角转化是解题的基本方法,在三角函数的化简求值中常要重视角的统一,函数的统一,降次思想的应用。(二)填空题(共6题)1(湖北卷理12)在△ABC中,三个角,,ABC的对边边长分别为3,4,6ABC,则COSCOSCOSBCACABABC的值为高考地理复习解由余弦定理,原式1636993616169366122222(湖北卷文12)在△ABC中,A,B,C分别是角A,B,C所对的边,已知3,3,30,ABC则A=解由余弦定理可得239233COS303C,3306CAAC或3(江苏卷13)若2,2ABACBC,则ABCS的最大值。【解析】本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想.设BC=X,则AC=2X,根据面积公式得ABCS21SIN1COS2ABBCBXB,根据余弦定理得2222242COS24ABBCACXXBABBCX244XX,代入上式得ABCS2221281241416XXXX由三角形三边关系有2222XX解得222222X,故当22X时取得ABCS最大值22【答案】224(山东卷理15)已知A,B,C为△ABC的三个内角A,B,C的对边,向量M=(1,3),N=(COSA,SINA)若M⊥N,且ACOSBBCOSACSINC,则角B=____解MN3COSSIN0AA,3ASINCOSSINCOSSINSINABBACC2SINCOSSINCOSSINSINSINABBAABCC2C6B∴5(陕西卷文13)ABC△的内角ABC,,的对边分别为ABC,,,若26120CBB,,,则A2.解由正弦定理621SINSIN120SIN2CC,于是30302CAAC6(浙江卷理13文14)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为A、B、C,若CAACBCOSCOS3,则ACOS_________________。解析本小题主要考查三角形中正弦定理的应用。依题由正弦定理得3SINSINCOSSINCOSBCAAC,即3SINCOSSINSINBAACB,高考地理复习∴3COS3A(三)解答题(共16题)1(海南宁夏卷文17)如图,△ACD是等边三角形,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB90,BD交AC于E,AB2。(1)求COS∠CBE的值;(2)求AE。【试题解析】1因为0009060150,BCDCBACCD所以015CBE,0062COSCOS45304CBE2在ABE中,2AB,故由正弦定理得00002SIN4515SIN9015AE,故00122SIN30262COS15624AE【高考考点】正弦定理及平面几何知识的应用【易错点】对有关公式掌握不到位而出错。【全品备考提示】解三角形一直是高考的重点内容之一,不能轻视。2(湖南卷理19)在一个特定时段内,以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域点E正北55海里处有一个雷达观测站A某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45且与点A相距402海里的位置B,经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45其中SIN2626,090且与点A相距1013海里的位置C(I)求该船的行驶速度(单位海里/小时);(II)若该船不改变航行方向继续行驶判断它是否会进入警戒水域,并说明理由解(I)如图,AB402,AC1013,26,SIN26BAC由于090,所以COS22652612626由余弦定理得BC222COS105ABACABAC所以船的行驶速度为10515523(海里/小时)EDCBA高考地理复习(II)解法一如图所示,以A为原点建立平面直角坐标系,设点B、C的坐标分别是B(X1,Y2),C(X1,Y2),BC与X轴的交点为D由题设有,X1Y122AB40,X2ACCOS1013COS4530CAD,Y2ACSIN1013SIN4520CAD所以过点B、C的直线L的斜率K20210,直线L的方程为Y2X40又点E(0,55)到直线L的距离D|05540|35714所以船会进入警戒水域解法二如图所示,设直线AE与BC的延长线相交于点Q在△ABC中,由余弦定理得,222COS2ABBCACABCABBC2224021051013240210531010从而2910SIN1COS11010ABCABC在ABQ中,由正弦定理得,AQ10402SIN1040SIN452210210ABABCABC由于AE5540AQ,所以点Q位于点A和点E之间,且QEAEAQ15过点E作EPBC于点P,则EP为点E到直线BC的距离在RTQPE中,PEQESINSINSIN45PQEQEAQCQEABC5153575所以船会进入警戒水域3(江苏卷17)某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD的顶点A,B,及CD的中点P处,已知20ABKM,10CDKM,为了处理三家工厂的污水,现要在矩形ABCD的区域上(含边界),且A,B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂,并铺设排污管道AO,BO,OP,设排污管道的总长为YKM。高考地理复习(I)按下列要求写出函数关系式①设BAORAD,将Y表示成的函数关系式;②设OPXKM,将Y表示成X的函数关系式。(II)请你选用(I)中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位置,使三条排水管道总长度最短。【解析】本小题主要考查函数最值的应用.(Ⅰ)①由条件知PQ垂直平分AB,若∠BAORAD,则10COSCOSAQOA,故10COSOB,又OP=1010TAN,所以10101010TANCOSCOSYOAOBOP,所求函数关系式为2010SIN10COSY04②若OPXKM,则OQ=10-X,所以OAOB222101020200XXX所求函数关系式为2220200010YXXXX(Ⅱ)选择函数模型①,2210COSCOS2010SIN102SIN1COSCOSSINY令Y0得SIN12,因为04,所以6,当0,6时,0Y,Y是的减函数;当,64时,0Y,Y是的增函数,所以当6时,MIN10103Y。这时点P位于线段AB的中垂线上,在矩形区域内且距离AB边1033KM处。4(江西卷理17)在ABC中,角,,ABC所对应的边分别为,,ABC,23A,TANTAN4,22ABC2SINCOSSINBCA,求,AB及,BC解由TANTAN422ABC得COTTAN422CC∴COSSIN224SINCOS22CCCC∴14SINCOS22CC高考地理复习∴1SIN2C,又0,C∴566CC,或由2SINCOSSINBCA得2SINCOSSINBBBC即SIN0BC∴BC6BC23ABC由正弦定理SINSINSINABCABC得1SIN2232SIN32BBCAA5(辽宁卷理17)在ABC△中,内角ABC,,对边的边长分别是ABC,,,已知2C,3C.(Ⅰ)若ABC△的面积等于3,求AB,;(Ⅱ)若SINSIN2SIN2CBAA,求ABC△的面积.说明本小题主要考查三角形的边角关系,三角函数公式等基础知识,考查综合应用三角函数有关知识的能力.满分12分.解析(Ⅰ)由余弦定理及已知条件得,224ABAB,又因为ABC△的面积等于3,所以1SIN32ABC,得4AB.4分联立方程组2244ABABAB,,解得2A,2B.6分(Ⅱ)由题意得SINSIN4SINCOSBABAAA,即SINCOS2SINCOSBAAA,8分当COS0A时,2A,6B,433A,233B,当COS0A时,得SIN2SINBA,由正弦定理得2BA,联立方程组2242ABABBA,,解得233A,433B.所以ABC△的面积123SIN23SABC.12分6(辽宁卷文17)在ABC△中,内角ABC,,对边的边长分别是ABC,,,已知2C,3C.高考地理复习(Ⅰ)若ABC△的面积等于3,求AB,;(Ⅱ)若SIN2SINBA,求ABC△的面积.解(Ⅰ)由余弦定理得,224ABAB,又因为ABC△的面积等于3,所以1SIN32ABC,得4AB.4分联立方程组2244ABABAB,,解得2A,2B.6分(Ⅱ)由正弦定理,已知条件化为2BA,8分联立方程组2242ABABBA,,解得233A,433B.所以ABC△的面积123SIN23SABC.12分7(全国Ⅰ卷理17)设ABC△的内角ABC,,所对的边长分别为ABC,,,且3COSCOS5ABBAC.(Ⅰ)求TANCOTAB的值;(Ⅱ)求TANAB的最大值.解析(Ⅰ)在ABC△中,由正弦定理及3COSCOS5ABBAC可得3333SINCOSSINCOSSINSINSINCOSCOSSIN5555ABBACABABAB即SINCOS4COSSINABAB,则TANCOT4AB;(Ⅱ)由TANCOT4AB得TAN4TAN0AB2TANTAN3TAN3TAN1TANTAN14TANCOT4TANABBABABBBB≤34当且仅当14TANCOT,TAN,TAN22BBBA时,等号成立,故当1TAN2,TAN2AB时,TANAB的最大值为348(全国Ⅰ卷文17)设ABC△的内角ABC,,所对的边长分别为ABC,,,且COS3AB,SIN4BA.(Ⅰ)求边长A;(Ⅱ)若ABC△的面积10S,求ABC△的周长L.高考地理复习2222CCDABDCDBSINA4,BDACOSB3,BCDABCBDCD5113SABCDAB410,AB5,ACOSB3,COSB2253BCA2ACCOSB252522520255552510251025解⑴过作于,则由=∴在直角三角形中,⑵由面积∴又∵∴再由余弦定理得--==∴=+++∴周长为+。9(全国Ⅱ卷理17)在ABC△中,5COS13B,4COS5C.(Ⅰ)求SINA的值;(Ⅱ)设ABC△的面积332ABCS△,求BC的长.解(Ⅰ)由5COS13B,得12SIN13B,由4COS5C,得3SIN5C.所以33SINSINSINCOSCOSSIN65ABCBCBC.5分(Ⅱ)由332ABCS△得133SIN22ABACA,由(Ⅰ)知33SIN65A,故65ABAC,8分又SIN20SIN13ABBACABC,故2206513AB,132AB.所以SIN11SIN2ABABCC.10分10(全国Ⅱ卷文17)在ABC△中,5COS13A,3COS5B.(Ⅰ)求SINC的值;(Ⅱ)设5BC,求ABC△的面积.解(Ⅰ)由5COS13A,得12SIN13A,由3COS5B,得4SIN5B.2分所以16SINSINSINCOSCOSSIN65CABABAB.5分(Ⅱ)由正弦定理得45SIN13512SIN313BCBACA.8分所以ABC△的面积1SIN2SBCACC113165236583.10分11(上海卷理17)如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形AOB,小区的两个出入

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