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2008年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷分类汇编11.2随机变量.doc

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2008年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷分类汇编11.2随机变量.doc

高考地理复习第十一章概率与统计二随机变量【考点阐述】离散型随机变量的分布列.离散型随机变量的期望值和方差.【考试要求】(1)了解离散型随机变量的意义,会求出某些简单的离散型随机变量的分布列.(2)了解离散型随机变量的期望值、方差的意义,会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差.【考题分类】(一)解答题(共18题)1.(安徽卷理19)为防止风沙危害,某地决定建设防护绿化带,种植杨树、沙柳等植物。某人一次种植了n株沙柳,各株沙柳成活与否是相互独立的,成活率为p,设为成活沙柳的株数,数学期望3E,标准差为62。(Ⅰ)求n,p的值并写出的分布列(Ⅱ)若有3株或3株以上的沙柳未成活,则需要补种,求需要补种沙柳的概率【解析】1由233,1,2Enpnpp得112p,从而16,2np的分布列为0123456P1646641564206415646641642记需要补种沙柳为事件A,则3,PAP得16152021,6432PA或1561211316432PAP2.(北京卷理17)甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到ABCD,,,四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者.(Ⅰ)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率(Ⅱ)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率(Ⅲ)设随机变量为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数,求的分布列.【标准答案】解(Ⅰ)记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件AE,那么332454140AAPECA,高考地理复习即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是140.(Ⅱ)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E,那么442454110APECA,所以,甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是9110PEPE.(Ⅲ)随机变量可能取的值为1,2.事件2是指有两人同时参加A岗位服务,则23533454124CAPCA.所以31124PP,的分布列是13P3414【高考考点】概率,随机变量的分布列【易错提醒】总的可能性是典型的捆绑排列,易把C25混淆为A25【备考提示】近几年新增的内容,整体难度不大,可以作为高考基本得分点。3.(福建卷理20)某项考试按科目A、科目B依次进行,只有当科目A成绩合格时,才可继续参加科目B的考试.已知每个科目只允许有一次补考机会,两个科目成绩均合格方可获得证书.现某人参加这项考试,科目A每次考试成绩合格的概率均为23,科目B每次考试成绩合格的概率均为12.假设各次考试成绩合格与否均互不影响.(Ⅰ)求他不需要补考就可获得证书的概率(Ⅱ)在这项考试过程中,假设他不放弃所有的考试机会,记他参加考试的次数为,求的数学期望E.【标准答案】解设科目A第一次考试合格为事件1A,科目A补考合格为事件2A科目B第一次考试合格为事件1B,科目B补考合格为事件2B.Ⅰ不需要补考就获得证书的事件为A1B1,注意到A1与B1相互独立,则1111211323PABPAPB.答该考生不需要补考就获得证书的概率为13.Ⅱ由已知得,=2,3,4,注意到各事件之间的独立性与互斥性,可得高考地理复习11122PPABPAA2111114.32333991121121223PPABBPABBPAAB2112111211114,3223223326693122212124PPAABBPAABB12111211111,3322332218189故4418234.9993E答该考生参加考试次数的数学期望为83.【高考考点】本小题主要考查概率的基本知识与分类思想,考查运用数学知识分析问题,解决问题的能力.【易错提醒】理解不了题意,如当次数为2时表示什么意思,有的同学就认为是只要两次考试即可,就会出现分别算11AB等就大错特错了,因为这样的话按题目意思就应该还要进行一次考试,而你算的是2的概率,后面的依次类推.【备考提示】对于概率大家都知道要避免会而不全的问题,上述问题就是考虑不周全所造成的,所以建议让学生一定注重题干中的每一句话,每一个字的意思.只有这样才能做到满分.4.(广东卷理17)随机抽取某厂的某种产品200件,经质检,其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元,而1件次品亏损2万元.设1件产品的利润(单位万元)为.(1)求的分布列(2)求1件产品的平均利润(即的数学期望)(3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为1,一等品率提高为70.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元,则三等品率最多是多少【解析】本题考查的是随机变量的分布列及期望的实际运用。对于(1)可先将的各种可能值对应的概率求出,然后代入公式可得(2)的答案(1)的可能取值有6,2,1,212650P60.63,P20.25200200204P10.1,P20.02200200故的分布列为高考地理复习1112P0.630.250.10.022E60.6320.2510.120.024.343设技术革新后的三等品率为x,则此时1件产品的平均利润60.7210.70.01120.014.7600.29Exxxxx5.(海南宁夏卷理19)A、B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2。根据市场分析,X1和X2的分布列分别为X1510X22812P0.80.2P0.20.50.3(1)在A、B两个项目上各投资100万元,Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润,求方差DY1、DY2(2)将x(0≤x≤100)万元投资A项目,100-x万元投资B项目,fx表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和。求fx的最小值,并指出x为何值时,fx取到最小值。(注DaXba2DX)【试题解析】I由题设可知,Y1和Y2的分布列分别为EY150.8100.26,DY15620.810620.24,EY220.280.5120.38,DY22820.28820.512820.312.II12100100100xxfxDYDY2212100100100xxDYDY22243100100xx222446003100100xx当6007524x时,3fx为最小值.6.(湖北卷理17)袋中有20个大小相同的球,其中记上0号的有10个,记上n号的有n个(n1,2,3,4).现从袋中任取一球.表示所取球的标号.(Ⅰ)求的分布列,期望和方差(Ⅱ)若ab,1E,11D,试求a,b的值.Y1510P0.80.2Y22812P0.20.50.3高考地理复习【标准答案】解(1)的分布列为01234P1212011032015所以11131012341.522010205E。222221113101.511.521.531.541.52.7522010205D(2)由2DaD,得22.7511a,即2a,又EaEb,所以当2a时,由121.5b,得2b当2a时,由121.5b,得4b。22ab,或24ab,即为所求。【试题解析】本题主要考察概率、随机变量的分布列、期望和方差等概念,以及基本的运算能力。【高考考点】随机变量的分布列、期望和方差。【易错提醒】记错期望和方差的公式,特别是方差的公式。【学科网备考提示】要熟练掌握随机变量的分布列、期望和方差等概念以及公式。7.(湖南卷理16)甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试,面试合格者可正式签约,甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定两人面试都合格就一同签约,否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是12,且面试是否合格互不影响.求(Ⅰ)至少有1人面试合格的概率(Ⅱ)签约人数的分布列和数学期望.【试题解析】用A,B,C分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A,B,C相互独立,且P(A)=P(B)=P(C)=12.(Ⅰ)至少有1人面试合格的概率是317111.28PABCPAPBPC(Ⅱ)的可能取值为0,1,2,3.0PPABCPABCPABC=PAPBPCPAPBPCPAPBPC=3231113.22281PPABCPABCPABC高考地理复习PAPBPCPAPBPCPAPBPC3331113.222812.8PPABCPAPBPC13.8PPABCPAPBPC所以,的分布列是0123P38381818的期望331101231.8888E8.(江西卷理18)某柑桔基地因冰雪灾害,使得果林严重受损,为此有关专家提出两种拯救果林的方案,每种方案都需分两年实施若实施方案一,预计当年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4第二年可以使柑桔产量为上一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5.若实施方案二,预计当年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5第二年可以使柑桔产量为上一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6.实施每种方案,第二年与第一年相互独立。令1,2ii表示方案i实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数.(1)写出12、的分布列(2)实施哪种方案,两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大(3)不管哪种方案,如果实施两年后柑桔产量达不到灾前产量,预计可带来效益10万元两年后柑桔产量恰好达到灾前产量,预计可带来效益15万元柑桔产量超过灾前产量,预计可带来效益20万元问实施哪种方案所带来的平均效益更大【试题解析】(1)1的所有取值为0.80.91.01.1251.25、、、、2的所有取值为0.80.961.01.21.44、、、、,1、2的分布列分别为10.80.91.01.1251.25P0.20.150.350.150.1520.80.961.01.21.44P0.30.20.180.240.08(2)令A、B分别表示方案一、方案二两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件,高考地理复习0.150.150.3PA,0.240.080.32PB可见,方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大(3)令i表示方案i所带来的效益,则1101520P0.350.350.32101520P0.50.180.32所以1214.75,14.1EE可见,方案一所带来的平均效益更大。9.(辽宁卷理18)某批发市场对某种商品的周销售量(单位吨)进行统计,最近100周的统计结果如下表所示周销售量234频数205030(Ⅰ)根据上面统计结果,求周销售量分别为2吨,3吨和4吨的频率(Ⅱ)已知每吨该商品的销售利润为2千元,表示该种商品两周销售利润的和(单位千元).若以上述频率作为概率,且各周的销售量相互独立,求的分布列和数学期望.说明本小题主要考查频率、概率、数学期望等基础知识,考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分.解析(Ⅰ)周销售量为2吨,3吨和4吨的频率分别为0.2,0.5和0.3.3分(Ⅱ)的可能值为8,10,12,14,16,且P(8)0.220.04,P(10)20.20.50.2,P(12)0.5220.20.30.37,P(14)20.50.30.3,P(16)0.320.09.的分布列为高考地理复习810121416P0.040.20.370.30.099分E80.04100.2120.37140.3160.0912.4(千元)12分10(全国Ⅰ卷理20)已知5只动物中有1只患有某种疾病,需要通过化验血液来确定患病的动物.血液化验结果呈阳性的即为患病动物,呈阴性即没患病.下面是两种化验方法方案甲逐个化验,直到能确定患病动物为止.方案乙先任取3只,将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只,然后再逐个化验,直到能确定患病动物为止若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验.(Ⅰ)求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率(Ⅱ)表示依方案乙所需化验次数,求的期望.23243431315353313424323525CAC166111611345351035AACCAAC24241154351025AAC解主要依乙所验的次数分类若乙验两次时,有两种可能①先验三只结果为阳性,再从中逐个验时,恰好一次验中概率为也可以用②先验三只结果为阴性,再从其它两只中验出阳性(无论第二次验中没有,均可以在第二次结束)=(==232124342231335353123555CACAA166226421345351065AACA2531211126181155555252525)∴乙只用两次的概率为+=。若乙验三次时,只有一种可能先验三只结果为阳性,再从中逐个验时,恰好二次验中概率为(-)也可以用∴在三次验出时概率为∴甲种方案的次数不少于乙种次数的概率为(-)+(--)=+=高考地理复习1212441212315553122AA3A,ABAC1111622PA,PA,PB1551035CACC1127PAPAPAPB55525PA1解法设为甲的次数不多于乙的次数则表示甲的次数小于乙的次数则只有两种情况,甲进行的一次即验出了和甲进行了两次,乙进行了次。则设分别表示甲在第一次、二次验出,并设乙在三次验出为则=(-∴∴-718252532P2P355⑵由⑴问得所在ξ23P35253212E23555∴11.(全国Ⅱ卷理18)购买某种保险,每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元,若投保人在购买保险的一年度内出险,则可以获得10000元的赔偿金.假定在一年度内有10000人购买了这种保险,且各投保人是否出险相互独立.已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10000元的概率为41010.999.(Ⅰ)求一投保人在一年度内出险的概率p(Ⅱ)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50000元,为保证盈利的期望不小于0,求每位投保人应交纳的最低保费(单位元).【试题解析】各投保人是否出险互相独立,且出险的概率都是p,记投保的10000人中出险的人数为,则410Bp,.(Ⅰ)记A表示事件保险公司为该险种至少支付10000元赔偿金,则A发生当且仅当0,2分1PAPA10P41011p,又41010.999PA,故0.001p.5分(Ⅱ)该险种总收入为10000a元,支出是赔偿金总额与成本的和.支出1000050000,

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