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毕业论文 辅助函数在数学中的应用 .doc.doc

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毕业论文 辅助函数在数学中的应用 .doc.doc

09级毕业论文答辩稿辅助函数在数学中的应用学号902091126组别第(9)组内容提要高等数学中运用辅助函数就像是在几何中添加辅助线,在数学中的应用是非常重要的当我们遇到特殊的题目时,用常规方法可能比较复杂这时我们就需要构造辅助函数,就如同架起一座桥梁,不需要大量的算法就可以得到结果因此,学习构造辅助函数对于我们证明、解题是非常有帮助的本论文是从证明定理与解题两方面分别来阐述辅助函数的作用,通过本文我们会更好的了解辅助函数在数学中的应用关键词辅助函数定理证明ABSTRACTSUMMARYTHEAUXILIARYFUNCTIONISAPPLIEDTOHIGHERMATHEMATICSASADDINGAUXILIARYLINEINGEOMETRYIT’SAPPLICATIONSOFMATHEMATICSISVERYIMPORTANTUSETHECONVENTIONALMETHODMAYBECOMPLICATEDWHENWEENCOUNTERSPECIALPROBLEMSTHENWECANCONSTRUCTTHEAUXILIARYFUNCTIONLIKEABRIDGEDONOTNEEDALOTOFALGORITHMTOGETTHERESULTTHEREFORE,ITISVERYHELPFULFORUSTOSTUDYTHESTRUCTUREOFAUXILIARYFUNCTIONTOPROVEANDSOLVEPROBLEMTHISPAPEREXPOUNDSTHEAPPLICATIONOFAUXILIARYFUNCTIONRESPECTIVELYFROMTWOASPECTSOFTHEOREMPROVINGANDPROBLEMSOLVINGTHROUGHTHISPAPERWEWILLKNOWBETTERINMATHEMATICSKEYWORDSAUXILIARYFUNCTIONTHEOREMTESTIFY目录一、绪论1二、辅助函数在定理证明中的应用1一构造辅助证明牛顿莱布尼兹公式1二构造辅助函数证明泰勒公式2三构造辅助函数证明拉格朗日中值定理4三、辅助函数在解题中的应用5一构造辅助函数证明恒等式5二构造辅助函数证明不等式7三构造辅助函数讨论方程的根9四构造辅助函数证明中值问题10五构造辅助函数求极限11四、总结12参考文献13后记131辅助函数在数学中的应用一、绪论辅助函数是一种让我们更好的,更简单的学习数学知识的方法,我在本文讨论了一下辅助函数的应用,发现它在数学中的应用是非常广泛的我们学习数学不只是探索与发现,还有找到最简单的方法解决问题,本文主要内容是关于一些定理的证明,如牛顿莱布尼兹公式的证明,泰勒公式的证明和拉格朗日中值定理的证明这三个定理是我们在学习数学过程中经常用到的,掌握它们的证明非常关键当然它们的证明有很多方法,这里我们只研究用构造辅助函数的方法来证明另外还有关于解题时运用构造辅助函数的方法,有关于不等式的证明,恒等式的证明等我们可以知道在解题方面,辅助函数也是比较适用的,本文就辅助函数的构造举例来说明二、辅助函数在定理证明中的应用一构造辅助证明牛顿莱布尼兹公式牛顿莱布尼兹公式是微积分基本定理,他把定积分和不定积分两者联系起来,使得定积分的计算更加简洁和完善,关于它的证明是我们必需要掌握的,学好牛顿莱布尼兹公式也使我们能够更好地了解微积分下面我们来看这个公式的证明定理1若FX在,AB上是连续的,且FX是FX在,AB上的一个原函数,那么BAFTDTFBFA分析首先我们来构造辅助函数XAXFTDT,现在,我们来研究这个X函数的性质我们定义函数XAXFTDT,那么X连续,若FX连续,则有XFX证明让函数X获得一个增加的量X,则对应的函数增量XXXAAXXXXFTDTFTDT那么可以根据区间的可加性,XXXXXAAXFTDTFTDTFTDT假设M、M分别是FX在,AB上的最小值和最大值,我们可以根据积分第一中值定理,则存在实数,MM,使得XXXFTDTX2当FX连续时,存在,XXX,使得F于是当X趋近于0时,趋近于0,即X是连续的若FX连续,当0X,X,FFX,则0LIMXFXX从而我们得出XFX现在,我们来证明牛顿莱布尼兹公式证明我们在上面已经证得XFX,所以,XCFX显然,0A(因为积分区间为,AA,故面积为0),所以FAC于是有XFXFA,当XB时BFBFA此时,我们就得到了牛顿莱布尼兹公式证毕二构造辅助函数证明泰勒公式泰勒公式是一个用函数在已知某一点的信息描述这一点附近所取值的公式,在函数某一点的各阶导数值已知的情况下,泰勒公式可以将这些导数值的相应倍数作系数构建多项式来近似函数在这一点的值这样,有时不必计算大量的式子,用泰勒公式来直接近似函数值,会更简单,更快捷的得出结果我们接下来证明泰勒公式(拉格朗日余项型)定理2若函数FX在开区间,AB有直到1N阶导数,则当函数在此区间内时,可以展开为一个关于0XX的多项式和一个余项的和,即2000000012NNNFXFXFXFXFXXXXXXXRN分析我们知道000FXFXFXXX,那么由拉格朗日中值定理导出的有限增量定理,得到0000LIMXFXXFXFXX3当LIM0X,则0LIMXX时,误差0因此,在近似计算时时不够精确,那么我们就需要构造一个足够精确的能把误差估计出来的多项式,这个多项式是2010200NNPXAAXXAXXAXX来近似表示函数FX,并且,还要写出误差FXPX的具体表达式这时,我们开始证明证明设函数PX满足00PXFX,00PXFX,00PXFX,,00NNPXFX,依次求出012,,,,NAAAA显然,00PXA,则00AFX;01PXA,10AFX;022PXA,022FXA,,0NPXNAN,0NFXANN;至此,这个多项式的各项系数都已经求出,得200000002NNFXFXPXFXFXXXXXXXN接下来,我们需要求出误差的具体表达式设NRXFXPX,则0000NRXFXPX故得出00000NNNNNRXRXRXRX由柯西中值定理可以得到0111001001NNNNNNNRXRXRXRXXXXNX,10,XX继续使用柯西中值定理得1021102101NNNNNRRXRNXNNX,这里2在1与0X之间;连续使用1N此后,得出12101NNNNRXRXXN,4但是111NNNNRXFXPX,因为NPNAN,NAN是一个常数,所以10NPX,于是得11NNNRXFX综上所述,余项1101NNNFRXXXN,这样,泰勒公式得证三构造辅助函数证明拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广,也是柯西中值定理的特殊情况它的应用非常广泛,像洛必达法则,泰勒展开式都是它的应用对于它的证明,我们知道有很多的方法来证明它,现在我们做辅助函数来证明定理3设函数FX在,AB上连续,在,AB内可导,则在,AB至少存在一点,使得FBFAFBA分析从结论中可以看出,若将换成变量X,则可得到一阶微分方程FBFAFXBA其通解为FBFAFXXCBA若将函数C变为X函数CX,那么得到一个辅助函数,FBFACXFXXBA现在我们来开始证明证明做辅助函数FBFACXFXXBA,有BFAAFBCACBBA则CX满足罗尔定理的三个条件,故在,AB至少存在一点使50FBFACFBA’所以0FBFAFBA’拉格朗日中值定理证毕三、辅助函数在解题中的应用一构造辅助函数证明恒等式恒等式是很常见的一种题型,对于这种题型的证明,找到简单快速的证明方法可以节省很多时间如对于下面的题,形式比较复杂,还存在一阶导数,我们可以构造辅助函数,然后变幻形式,创建出中值定理的成立条件,利用中值定理来证明,就会很简单了例1设函数FX在,AB上连续,在,AB内可导,证明在,AB内至少存在一点,使得BFBAFAFFBA分析令BFBAFAKBA,则BFAKBAFAKA为关于A与B的对称式,故取FXXFXKX证明令BFBAFAFXXFXXBA则FX在,AB上连续,在,AB内可导,又因为0FAFB,所以FX在,AB上满足罗尔定理,那么存在一个,AB,使得0F即0BFBAFAFFBA,6即BFBAFAFFBA上题构造辅助函数后应用了罗尔定理,使得上式证明变得简单明了下面这个题属于条件恒等式,我们要看好条件,可以适当的进行变形,做辅助函数例2设FX在0,上连续,在0,内可导,且201XFXX,则至少存在一点0,,使得22211F分析我们先把看成变量X,由于结论可化为222101XFXX即201XFXX显然其通解为2,1XFXCX把常数C变成一个关于X的函数,CX我们就得到一个辅助函数,21XCXFXX证明做辅助函数21XCXFXX那么2221,1XCXFXX又由于已知条件20,1XFXX我们可以得到00,LIM0,XFFX并且201XCXFXX若0,0,CXX时,则0,CX那么就有

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