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等差数列前n项和公式的两个侧重 新人教A版必修5.doc.doc

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等差数列前n项和公式的两个侧重 新人教A版必修5.doc.doc

等差数列前n项和公式的两个侧重摘要本文从在思想方法的角度给出了等差数列前n项和两个公式的侧重点。关键词等差数列思想前n项和公式我们知道,教材就等差数列前n项和给出了两个公式设等差数列na的前n项和公式和为nS,公差为d,nN,则112nnnSnad(公式一)12nnaaSn(公式二)这两个公式在解决问题时如何使用,下面举例说明。以下,,,mnpqN,不再说明。一侧重于函数方程思想的公式一1方程思想所谓方程思想就是将题目条件运用前n项和公式,表示成关于首项a1和公差d的两个方程,通过解决方程来解决问题。例1已知{an}为等差数列,前10项的和S10100,前100项的和S10010,求前110项的和S110.剖析方程的思想,将题目条件运用前n项和公式,表示成关于首项a1和公差d的两个方程.解析设{an}的首项为a1,公差为d,则,109910021100,100910211011dada解得.1001099,50111da来源学科网ZXXK∴S110110a121110109d-110.来源学科网拓展观察结构特点,将公式一做如下变形111122nnSnndSnadann,在处理问题是会更方便。来源Z.xx.k.Com例2如果等差数列na的前4项和是2,前9项和是6,求其前n项和公式。解由变形公式得dnSnSdSSn421449214944921将9,294SS代入2,1得nnSn304330722函数思想将2111222nnnddSnadnan,当0d,数列{}na为常数列当0d,则nS是关于n的二次函数,若令1,,22ddABa则2nSAnBn。此时可利用二次函数的知识解决。例题3设等差数列na满足81335aa,且10a,则na的前多少项的和最大解析思路一由3a85a13得d392a1,若前n项和最大,则0392013921111naaana,又a10得241239n,∴n20,即na的前20项和最大。这一做法为通法。思路二2111111114023939nnnSnadnannaann,当且仅当20n时nSn最大。点评这一做法突显了数列的函数特征。思路三由81335aa得11512581315251525152522aaaaaaSS,又∵10a,∴nS的图象是开口向下的抛物线上的点列,对称轴恰为20n,故20n时Sn最大。点评这一做法中几乎没有运算,抓住了题目条件,结合数列的函数特性做处理,显得十分巧妙。二侧重于等差数列性质的公式二1侧重于性质若,mnpq则mnpqaaaa。有些涉及等差数列前n项和的题目,常与等差数列的上述性质融合在一起,将1naa与其他条件进行转换。例题4一个只有有限项的等差数列,它的前5项的和为34,最后5项的和为146,所有项的和为234,则它的第七项等于()A.22B.21C.19D.18解设该数列有n项且首项为a1,末项为an,公差为d,则依题意有1234512341341146223432nnnnnnaaaaaaaaaaaan12结合上述性质可得来源学科网aan136代入3有n13从而有aa11336又所求项a7恰为该数列的中间项,aaa7113236218故选D点评依题意能列出3个方程,若将aan1作为一个整体,问题即可迎刃而解。在求a7时,巧用等差中项的性质也值得关注。知识的灵活应用,来源于对知识系统的深刻理解。2侧重于等差中项利用等差中项,可以实施等差数列前n项和nS与其通项na的转换12121212nnnnaaaSna例题5在等差数列na和nb中,它们的前n项和分别为,nnST,且2132nnSnTn,则77ab的值是多少分析利用等差中项建立起等差数列前n项和与其通项的联系是解决本题的关键。解析11311377113113132711322372231322aaaaaSbbbbbT来源Zxxk.Com

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