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高等数学论文:一种快捷的分部积分方法和其若干推广.doc.doc

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高等数学论文:一种快捷的分部积分方法和其若干推广.doc.doc

一种快捷的分部积分方法和其若干推广张质彬2011030030018【摘要】:分部积分是微积分中十分重要的一种积分方法。上个学期,在学习一元函数积分学时,从一本国外教材《托马斯微积分(ThomasCALCULUS)》了解到一种分部积分的快捷方法,这个学期,借数分论文这一契机,重新反思,证明了这一积分方法,并将以加以一定的推广。【关键词】:分部积分,快捷方法书中例子是这样叙述的:“求积分3sinxxdx解:令3()fxx和()singxx,我们列表(注意()fx要求可以重复求导直至出现0)323660xxxsincossincossinxxxxx用箭头上面的运算符号组合箭头连接两个函数的乘积便得到:332sincos3sin6cos6sinxxdxxxxxxxxC”从此例中可以看出此种分部积分方法的具体形式,下我给出尝试性证明:分部积分公式为: uvdxudvuvuvdx如果定义这样一种运算符号: uu vv箭头的两端表示乘积,箭头上的符号表示正负,斜向下的箭头表示项uv,横箭头表示项 uvdx。根据分部积分公式,则此图既可以表示 uvdxudvuvuvdx这一等式,既给分部积分的求法。进一步,若进行多次分部积分,即计算 uvdx的值,则删去水平线,重复前过程。 uuu vvvdx由于计算的是 uvdx的值,所以此处的正负号需取反。按照此方式推广下去,可得() nuuuu vvdvdv综上所述,按此种方法定义的积分方法,可以推广到不仅限于重复求导直至出现0的()fx,下面,将举例说明此种方法的各种应用和推广:1.最简单的情况:()fx可以重复求导直至出现0例:求积分2xxedx2220xxxxxxeeee2222xxxxxedxxexeeC2.()fx经n次求导,()gx经n次积分,乘积恰好能构成原来被积函数的形式,此时,通过解方程的形式,既能求出原被积函数的不定积分。例:求积分cosaxebxdx2axaxaxeaeae2cossin1cosbxbxbxb由此可得等式2221cossincoscosaxaxaxaaebxdxebxxebxdxbbb移项解方程得:22cos(sincos)axaxbaebxdxebxbxCabb(1)(1)n

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