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高等数学论文:一种快捷的分部积分方法和其若干推广.doc.doc

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高等数学论文:一种快捷的分部积分方法和其若干推广.doc.doc

一种快捷的分部积分方法和其若干推广张质彬2011030030018【摘要】分部积分是微积分中十分重要的一种积分方法。上个学期,在学习一元函数积分学时,从一本国外教材托马斯微积分(THOMASCALCULUS)了解到一种分部积分的快捷方法,这个学期,借数分论文这一契机,重新反思,证明了这一积分方法,并将以加以一定的推广。【关键词】分部积分,快捷方法书中例子是这样叙述的“求积分3SINXXDX解令3FXX和SINGXX,我们列表(注意FX要求可以重复求导直至出现0)323660XXXSINCOSSINCOSSINXXXXX用箭头上面的运算符号组合箭头连接两个函数的乘积便得到332SINCOS3SIN6COS6SINXXDXXXXXXXXC”从此例中可以看出此种分部积分方法的具体形式,下我给出尝试性证明分部积分公式为UVDXUDVUVUVDX如果定义这样一种运算符号UUVV箭头的两端表示乘积,箭头上的符号表示正负,斜向下的箭头表示项UV,横箭头表示项UVDX。根据分部积分公式,则此图既可以表示UVDXUDVUVUVDX这一等式,既给分部积分的求法。进一步,若进行多次分部积分,即计算UVDX的值,则删去水平线,重复前过程。UUUVVVDX由于计算的是UVDX的值,所以此处的正负号需取反。按照此方式推广下去,可得NUUUUVVDVDV综上所述,按此种方法定义的积分方法,可以推广到不仅限于重复求导直至出现0的FX,下面,将举例说明此种方法的各种应用和推广1.最简单的情况FX可以重复求导直至出现0例求积分2XXEDX2220XXXXXXEEEE2222XXXXXEDXXEXEEC2FX经N次求导,GX经N次积分,乘积恰好能构成原来被积函数的形式,此时,通过解方程的形式,既能求出原被积函数的不定积分。例求积分COSAXEBXDX2AXAXAXEAEAE2COSSIN1COSBXBXBXB由此可得等式2221COSSINCOSCOSAXAXAXAAEBXDXEBXXEBXDXBBB移项解方程得22COSSINCOSAXAXBAEBXDXEBXBXCABB11N1N例求积分SINXXEXDXSINCOSSINXXX12XXXXEXEXE

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