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-数学的完美之旅——数学悖论与三次数学危机.doc.doc

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-数学的完美之旅——数学悖论与三次数学危机.doc.doc

数学的完美之旅——数学悖论与三次数学危机摘要:古今中外有不少著名的悖论,它们震撼了逻辑和数学的基础,激发了人们求知和精确的思考,也正是悖论直接导致了三次数学危机,并不断推动数学走向完整与完美。关键词:数学悖论;三次数学危机;数学的完美1引言“现在我说一句假话。”这句话是真是假?“悖论(Paradox)”,也可叫“逆论”或“反论”。悖论是一种认识矛盾,它既包括逻辑矛盾、语义矛盾,也包括思想方法上的矛盾。“一般而言,悖论的某个答案单独看是很有说服力的,而势均力敌的对手之间的‘拉锯战’则使问题保持了生气。”1悖论有四种主要形式。1.一种论断看起来好像肯定错了,但实际上却是对的(佯谬)。2.一种论断看起来好像肯定是对的,但实际上却错了(似是而非的理论)3.某一理论的公理和推理原则看上去是合理的,但在这个理论中却推出了两个互相矛盾的命题“悖论是有趣的”是每一个接触过悖论的人的感受;“悖论是极其重要的”接受这一观点的人却少之又少。但请不要小看悖论,生活中存在悖论,如“涂写一个告示,上书:不准涂写!”2古今中外也有不少著名的悖论,它们震撼了逻辑和数学的基础,激发了人们求知和精确的思考,也正是悖论直接导致了三次数学危机,并不断推动数学走向完美。2第一次数学危机“在整个数学发展的历史上,贯穿着矛盾的斗争与解决。而在矛盾激化到涉及整个数学的基础时,就产生数学危机。”3这句话很精确地道出了三次数学危机的本质。公元前5世纪,毕达哥拉斯学派的成员希帕索斯考虑了一个问题:边长为1的正方形其对角线长度是多少呢?这一长度既不能用整数,也不能用分数表示,而只能用一个新数来表示。这一个小小的2不仅严重触犯了毕达哥拉斯学派的信条,同时也冲击了当时希腊人的普遍见解,这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上:任何量都“应该”表示成有理数。可是这一为人们的经验所确信的常识性论断居然被小小的2的存在而推翻了!希帕索斯的这一发现,史称“希帕索斯悖论”,它成为一场巨大数学风波的导火索,直接触发了第一次数学危机。但也正是希帕索斯的发现,让人们认识到直觉、经验乃至实验都不是完全可靠的,推理论证才是可靠的。促使人们进一步去认识和理解无理数,引导古希腊数学走向一条迥异于其它古代民族数学的发展道路,从而开始了几何优先发展的时期。虽然这一做法一度阻碍了代数的发展,但之后,数学家逐步解决了这一由主观认识错误而造成的悖论,使数学获得

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