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数学论文:用不动点法求数列的通项.doc.doc

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数学论文:用不动点法求数列的通项.doc.doc

高考资源网(ks5u.com)您身边的高考专家www.ks5u.com版权所有高考资源网1用不动点法求数列的通项(已发表在中学数学研究2007年第七期)江西省泰和中学胡良星330027定义方程xxf的根称为函数xf的不动点.利用递推数列xf的不动点,可将某些递推关系1nnafa所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列,这种方法称为不动点法.定理1若,1,0aabaxxfp是xf的不动点,na满足递推关系1,1nafann,则1paapann,即}{pan是公比为a的等比数列.证明因为p是xf的不动点pbapappb由baaann1得11paapbaapannn所以}{pan是公比为a的等比数列.定理2设0,0bcadcdcxbaxxf,}{na满足递推关系1,1nafann,初值条件11afa(1)若xf有两个相异的不动点qp,,则qapakqapannnn11(这里qcapcak)(2)若xf只有唯一不动点p,则kpapann111(这里dack2)证明由xxf得xdcxbaxxf,所以02bxadcx(1)因为qp,是不动点,所以0022bqadcqbpadcpqcabqdqpcabpdp,所以qapaqcapcaqcabqdapcabpdaqcapcaqdbaqcapdbapcaqdcabaapdcabaaqapannnnnnnnnnnn1111111111高考资源网(ks5u.com)您身边的高考专家www.ks5u.com版权所有高考资源网2令qcapcak,则qapakqapannnn11(2)因为p是方程02bxadcx的唯一解,所以02bpadcp所以apcppdb2,cdap2所以dcapacpadcaapcpacpadcapdbacpapdcabaapannnnnnnnn111211111所以dacpapacpacpdcpacpacpdpaccpapadcacpapannnnnnn211111111111令dack2,则kpapann111例1设}{na满足11,2,1Nnaaaannn,求数列}{na的通项公式解作函数xxxf2,解方程xxf求出不动点1,2qp,于是12212221211nnnnnnnnaaaaaaaa,逐次迭代得nnnnaaaa21122112111由此解得nnnnna12121例2数列}{na满足下列关系0,2,2211aaaaaaann,求数列}{na的通项公式解作函数xaaxf22,解方程xxf求出不动点ap,于是aaaaaaaaaaaaaaaannnnnn111211221所以}1{aan是以aaa111为首项,公差为a1的等差数列所以ananaanaaaan11111111,所以naaan高考资源网(ks5u.com)您身边的高考专家www.ks5u.com版权所有高考资源网3定理3设函数0,02eafexcbxaxxf有两个不同的不动点21,xx,且由1nnufu确定着数列}{nu,那么当且仅当aeb2,0时,2212111xuxuxuxunnnn证明kx是xf的两个不动点fexcbxaxxkkkk2即kkkbxxaefxc22,1k222221211222211222122111bxxaeuexbaubxxaeuexbaufxcuexbaufxcuexbaufeuxcbuaufeuxcbuauxuxunnnnnnnnnnnnnnnn于是,2212111xuxuxuxunnnn22222112222221211222xuxuxuxubxxaeuexbaubxxaeuexbaunnnnnnnn22222112222221211222xuxuxuxuabxxaeuaexbuabxxaeuaexbunnnnnnnn221122xaexbxaexb020221xeabxeab1121xx0方程组有唯一解aeb2,0例3已知数列}{na中,211,22,2Nnaaaannn,求数列}{na的通项.解作函数为xxxf222,解方程xxf得xf的两个不动点为222222112222222222222222nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaa高考资源网(ks5u.com)您身边的高考专家www.ks5u.com版权所有高考资源网4再经过反复迭代,得1122211222211222222222222nnaaaaaaaannnnnn由此解得11112222222222222nnnnna其实不动点法除了解决上面所考虑的求数列通项的几种情形,还可以解决如下问题例4已知1,011aa且14162241nnnnnaaaaa,求数列}{na的通项.解作函数为1416224xxxxxf,解方程xxf得xf的不动点为ixixxx33,33,1,14321.取1,1qp,作如下代换4234234224224111114641464114161141611nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa逐次迭代后,得1111414141411111nnnnaaaaan参考文献1、陈传理张同君竞赛数学教程M高等教育出版社w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

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