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数学论文:用不动点法求数列的通项.doc.doc

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数学论文:用不动点法求数列的通项.doc.doc

高考资源网(KS5UCOM)您身边的高考专家WWWKS5UCOM版权所有高考资源网1用不动点法求数列的通项(已发表在中学数学研究2007年第七期)江西省泰和中学胡良星330027定义方程XXF的根称为函数XF的不动点利用递推数列XF的不动点,可将某些递推关系1NNAFA所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列,这种方法称为不动点法定理1若,1,0AABAXXFP是XF的不动点,NA满足递推关系1,1NAFANN,则1PAAPANN,即}{PAN是公比为A的等比数列证明因为P是XF的不动点PBAPAPPB由BAAANN1得11PAAPBAAPANNN所以}{PAN是公比为A的等比数列定理2设0,0BCADCDCXBAXXF,}{NA满足递推关系1,1NAFANN,初值条件11AFA(1)若XF有两个相异的不动点QP,,则QAPAKQAPANNNN11(这里QCAPCAK)(2)若XF只有唯一不动点P,则KPAPANN111(这里DACK2)证明由XXF得XDCXBAXXF,所以02BXADCX(1)因为QP,是不动点,所以0022BQADCQBPADCPQCABQDQPCABPDP,所以QAPAQCAPCAQCABQDAPCABPDAQCAPCAQDBAQCAPDBAPCAQDCABAAPDCABAAQAPANNNNNNNNNNNN1111111111高考资源网(KS5UCOM)您身边的高考专家WWWKS5UCOM版权所有高考资源网2令QCAPCAK,则QAPAKQAPANNNN11(2)因为P是方程02BXADCX的唯一解,所以02BPADCP所以APCPPDB2,CDAP2所以DCAPACPADCAAPCPACPADCAPDBACPAPDCABAAPANNNNNNNNN111211111所以DACPAPACPACPDCPACPACPDPACCPAPADCACPAPANNNNNNN211111111111令DACK2,则KPAPANN111例1设}{NA满足11,2,1NNAAAANNN,求数列}{NA的通项公式解作函数XXXF2,解方程XXF求出不动点1,2QP,于是12212221211NNNNNNNNAAAAAAAA,逐次迭代得NNNNAAAA21122112111由此解得NNNNNA12121例2数列}{NA满足下列关系0,2,2211AAAAAAANN,求数列}{NA的通项公式解作函数XAAXF22,解方程XXF求出不动点AP,于是AAAAAAAAAAAAAAAANNNNNN111211221所以}1{AAN是以AAA111为首项,公差为A1的等差数列所以ANANAANAAAAN11111111,所以NAAAN高考资源网(KS5UCOM)您身边的高考专家WWWKS5UCOM版权所有高考资源网3定理3设函数0,02EAFEXCBXAXXF有两个不同的不动点21,XX,且由1NNUFU确定着数列}{NU,那么当且仅当AEB2,0时,2212111XUXUXUXUNNNN证明KX是XF的两个不动点FEXCBXAXXKKKK2即KKKBXXAEFXC22,1K222221211222211222122111BXXAEUEXBAUBXXAEUEXBAUFXCUEXBAUFXCUEXBAUFEUXCBUAUFEUXCBUAUXUXUNNNNNNNNNNNNNNNN于是,2212111XUXUXUXUNNNN22222112222221211222XUXUXUXUBXXAEUEXBAUBXXAEUEXBAUNNNNNNNN22222112222221211222XUXUXUXUABXXAEUAEXBUABXXAEUAEXBUNNNNNNNN221122XAEXBXAEXB020221XEABXEAB1121XX0方程组有唯一解AEB2,0例3已知数列}{NA中,211,22,2NNAAAANNN,求数列}{NA的通项解作函数为XXXF222,解方程XXF得XF的两个不动点为222222112222222222222222NNNNNNNNNNNNAAAAAAAAAAAA高考资源网(KS5UCOM)您身边的高考专家WWWKS5UCOM版权所有高考资源网4再经过反复迭代,得1122211222211222222222222NNAAAAAAAANNNNNN由此解得11112222222222222NNNNNA其实不动点法除了解决上面所考虑的求数列通项的几种情形,还可以解决如下问题例4已知1,011AA且14162241NNNNNAAAAA,求数列}{NA的通项解作函数为1416224XXXXXF,解方程XXF得XF的不动点为IXIXXX33,33,1,14321取1,1QP,作如下代换4234234224224111114641464114161141611NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA逐次迭代后,得1111414141411111NNNNAAAAAN参考文献1、陈传理张同君竞赛数学教程M高等教育出版社WWWKS5UCOM

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