欢迎来到人人文库网! | 帮助中心 人人文库renrendoc.com美如初恋!
人人文库网
首页 人人文库网 > 资源分类 > DOC文档下载

谈谈自然对数.doc.doc

  • 资源大小:323.50KB        全文页数:6页
  • 资源格式: DOC        下载权限:游客/注册会员/VIP会员    下载费用:10
游客快捷下载 游客一键下载
会员登录下载
下载资源需要10

邮箱/手机号:
您支付成功后,系统会自动为您创建此邮箱/手机号的账号,密码跟您输入的邮箱/手机号一致,以方便您下次登录下载和查看订单。注:支付完成后需要自己下载文件,并不会自动发送文件哦!

支付方式: 微信支付    支付宝   
验证码:   换一换

友情提示
2、本站资源不支持迅雷下载,请使用浏览器直接下载(不支持QQ浏览器)
3、本站资源下载后的文档和图纸-无水印,预览文档经过压缩,下载后原文更清晰   

谈谈自然对数.doc.doc

1谈谈自然对数李岩赤峰学院数学学院08级数学与应用数学赤峰024000摘要E是数学中的重要常数之一,数E的起源与对数的发明有一定的联系,E也是历史上第一个用极限来定义的数,通过对它的定义进行出发,推导出E的一个重要性质,以及欧拉公式,进而描述了三角函数与双曲函数的关系。关键词自然对数E引言圆周率生活中很容易被找到或被发现,一个圆的周长与其直径的比等于圆周率。可自然对数的底E一直困扰着我们。高中数学中,有以10为底的对数,即常用对数。教材中曾指出,如果底数是以E为底的对数,我们称之为自然对数,并且自然对数的底E718282是一个无理数。一、自然对数的由来E似乎是来自纯数学的一个问题。事实上,对于自然对数的底E是有其生活原型的。在历史上,自然对数的底E与曾一个商人借钱的利息有关。过去,有个商人向财主借钱,财主的条件是每借1元,一年后利息是1元,即连本带利还2元,年利率10。利息好多喔财主好高兴。财主想,半年的利率为50,利息是51元,一年后还252512元。半年结一次帐,利息比原来要多。财主又想,如果一年结3次,4次,,365次,,岂不发财了财主算了算,结算3次,利率为31,1元钱一年到期的本利和是3703723113元,结算4次,1元钱到一年时还4414024114元。财主还想,一年结算1000次,其利息是1000100011这么大的数,年终肯定发财了。可是,财主算了算,一元钱结帐1000次,年终还的金额只有7169221000111000元这令财主大失所望。他以为,结帐次数越多,利息也就增长得越快。财主根本不知道,NN11的值是随N的增大而增大,但增加的数额极其缓慢;并且,不管结算多少次,连本带利的总和不可能突破一个上限。数学家欧拉把NN11极限记作1000E,178282E,即自然对数的底。2二、自然对数的定义、性质、应用在代数里我们知道,除1以外的任何正数都可以当作对数的底。通常为了计算方便起见,我们采用以10为底的对数,就是所谓常用对数。此外,在高等数学、科学技术里,我们还常采用以E为底的对数。E的近似值是7182。以E为底的对数XELOG,叫做自然对数。数E叫做自然对数的底。下面我们来看怎样确定E。21E的一个定义如果级数N11514131211111收敛,我们就把它的和记做E。我们先来证明级数1是收敛的。事实上,级数1的N次部分和是NSN113121111容易看出,SSSSN3212而且;21222113211;21222143211;212213211;212112232NNN个所以32121211122SNN应用等比数列求和的公式,得4221112112112121112NN把3和4结合起来,就得到33NS5从3和5可以看出,数列1S,2S,,NS,的各项逐次增大,但是它始终少于常量3。根据现行代数课本里的定理,可以知道NS存在极限。这就证明了级数1是收敛的。而3LIMNNS因此,3E。我们再来计算E的近似值取级数1的第N次部分和作为近似值,那么误差是NNNNNNNNNNRN3211211111121111而3211321111211NNNNNNN所以6111111112NNNNNNRN特别地,取8N,那末7000028003584018898R我们只要对716151413121118S进行简单的计算,就得到871825422718253728S因此,从8SE得到E71825372从88RSE,并且应用7和8得到E7182822200002800718254224因此,E71822用上面的方法,只要取充分大的N的值,利用电子计算机可以得到E的近似值到上万位小数。22E的一个性质E也是无穷级数列NN,11,,411,311,211,11432的极限,就是ENNN11LIM这个公式的证明就略去。23E在其他方面的应用再来考察比1更一般的级数91321132NXXXXN我们也可以证明这个幂级数,对一切实数X是收敛的,而且它的和就是指数函数XE。换句话说,指数函数XE可以展开成幂级数1012112NXXXENX在10里,如果取1X,就是级数1;如果取1X,那末就得到。如果用复数Z代替10右边的X。所得到的级数也可以证明它是收敛的。我们就把它的和记做ZE,称做E的Z次幂。例如,我们用I表示虚数单位1,Y表示实数,那么111321132NIYIYIYIYENIY我们已经知道IIIIIIIIII,1,,1,,1,,18765432因此,11又可以写做5YYYIYYYYYIYYIYYIYIYEIY53642187622221536423762222我们就得到12SINCOSYIGEIY这是一个有用的公式,叫做欧拉公式。在12里,设ΠY或者ΠY,那末就得到和E之间的一个重要关系1301ΠEI上面两式里出现的四个数E,I,,1都是数学里的重要的数。应用欧拉公式可以把三角函数用指数函数(但指数是复数)表示出来。就是192CSC182SEC17CTG16TG152COS142SINEEIXEEXEEEEIXEEIEEXEEXIEEXIXIXIXIXIXIXIXIXIXIXIXIXIXIXIXIX上面这些公式,我们可以证明如下事实上,在12式里,用Y代替Y,就得到YIYEIYSINCOS20把11式和20式相加再除以2,就得到15式;把15代入12就得到14至于公式16、17、18、19,我们很容易从公式17、15出发,利用三角函数间的关系得到。除三角函数以外,利用指数函数还可以得到另外一些有用的函数双曲函数。双曲函数也有六个,双曲正弦,记做SINH;双曲余弦,记做COSH;双曲正切,记做TGH;双曲余切,记做CTGH;双曲正割,记做HSEC;双曲余割,记做HCSC(后面三个函数不常用)。它6们的定义是2HCSC;2HSEC;CTGH;TGH;2COSH;2SINHEEXEEXEEEEXEEEEXEEXEEXXXXXXXXXXXXXXXXX上面这六个式子与公式1419相比较,我们可以发现双曲函数和三角函数有许多类似之点例如双曲函数之间有如下的关系;SINH1CSCH;COSH1SECH;TGH1CTGH;COSHSINHTGH;1SINHCOSH22XXXXXXXXXXX等等,这里我们不一一列举了。三、总结自然对数的出现,不但使一些数学问题迎刃而解,而且对数使得复杂的乘法运算可以转变为简单的加法,只要查阅对数表就可以了。还推出了一些重要的数学公式。同时,对数尺(这里就不介绍了)也应运而生。当然在计算器普及的今天,已经很少有人用这种东西了。四、参考文献1张景中不可思议的E[M]北京科学出版社,2005,042高泽民自然对数与自然界的复利律[J]厦门教育学院学报,2005,7362633宋秉信自然对数漫谈[J]怀化师专学报,1998,17266694桂德怀数E探源[J]湖州师范学院学报,2003,256116-119

注意事项

本文(谈谈自然对数.doc.doc)为本站会员(BCEAAEE88296385EDA2815A44814E61A)主动上传,人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容本身不做任何修改或编辑。 若此文所含内容侵犯了您的版权或隐私,请立即通知人人文库网(发送邮件至[email protected]或直接QQ联系客服),我们立即给予删除!

温馨提示:如果因为网速或其他原因下载失败请重新下载,重复下载不扣分。

关于我们 - 网站声明 - 网站地图 - 资源地图 - 友情链接 - 网站客服客服 - 联系我们

网站客服QQ:2846424093    人人文库上传用户QQ群:460291265   

[email protected] 2016-2018  renrendoc.com 网站版权所有   南天在线技术支持

经营许可证编号:苏ICP备12009002号-5