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05第五章 相似矩阵及二次型.doc

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05第五章 相似矩阵及二次型.doc

第五章相似矩阵及二次型1试用施密特法把下列向量组正交化1931421111,,321AAA解根据施密特正交化方法11111AB101,,1112122BBBABAB12131,,,,222321113133BBBABBBBABAB2011101110111,,321AAA解根据施密特正交化方法110111AB123131,,1112122BBBABAB433151,,,,222321113133BBBABBBBABAB2下列矩阵是不是正交阵1121312112131211;解此矩阵的第一个行向量非单位向量,故不是正交阵2979494949198949891解该方阵每一个行向量均是单位向量且两两正交故为正交阵3设X为N维列向量XTX1令HE2XXT证明H是对称的正交阵证明因为HTE2XXTTE2XXTTE2XXTTE2XTTXTE2XXT所以H是对称矩阵因为HTHHHE2XXTE2XXTE2XXT2XXT2XXT2XXTE4XXT4XXTXXTE4XXT4XXTE所以H是正交矩阵4设A与B都是N阶正交阵证明AB也是正交阵证明因为AB是N阶正交阵故A1ATB1BTABTABBTATABB1A1ABE故AB也是正交阵5求下列矩阵的特征值和特征向量1201335212;解31201335212||EA故A的特征值为1三重对于特征值1由000110101101325213EA得方程AEX0的基础解系P1111T向量P1就是对应于特征值1的特征值向量2633312321;解91633312321||EA故A的特征值为102139对于特征值10由000110321633312321A得方程AX0的基础解系P1111T向量P1是对应于特征值10的特征值向量对于特征值21,由000100322733322322EA得方程AEX0的基础解系P2110T向量P2就是对应于特征值21的特征值向量对于特征值39由00021101113333823289EA得方程A9EX0的基础解系P31/21/21T向量P3就是对应于特征值39的特征值向量30001001001001000解2211001010010100||EA故A的特征值为121341对于特征值121由00000000011010011001011001101001EA得方程AEX0的基础解系P11001TP20110T向量P1和P2是对应于特征值121的线性无关特征值向量对于特征值341由00000000011010011001011001101001EA得方程AEX0的基础解系P31001TP40110T向量P3和P4是对应于特征值341的线性无关特征值向量6设A为N阶矩阵证明AT与A的特征值相同证明因为|ATE||AET||AE|T|AE|所以AT与A的特征多项式相同从而AT与A的特征值相同7设N阶矩阵A、B满足RARBN证明A与B有公共的特征值有公共的特征向量证明设RARRBT则RTN若A1A2ANR是齐次方程组AX0的基础解系显然它们是A的对应于特征值0的线性无关的特征向量类似地设B1B2BNT是齐次方程组BX0的基础解系则它们是B的对应于特征值0的线性无关的特征向量由于NRNTNNRTN故A1A2ANRB1B2BNT必线性相关于是有不全为0的数K1K2KNRL1L2LNT使K1A1K2A2KNRANRL1B1L2B2LNRBNR0记K1A1K2A2KNRANRL1B1L2B2LNRBNR则K1K2KNR不全为0否则L1L2LNT不全为0而L1B1L2B2LNRBNR0与B1B2BNT线性无关相矛盾因此0是A的也是B的关于0的特征向量所以A与B有公共的特征值有公共的特征向量8设A23A2EO证明A的特征值只能取1或2证明设是A的任意一个特征值X是A的对应于的特征向量则A23A2EX2X3X2X232X0因为X0所以2320即是方程2320的根也就是说1或29设A为正交阵且|A|1证明1是A的特征值证明因为A为正交矩阵所以A的特征值为1或1因为|A|等于所有特征值之积又|A|1所以必有奇数个特征值为1即1是A的特征值10设0是M阶矩阵AMNBNM的特征值证明也是N阶矩阵BA的特征值证明设X是AB的对应于0的特征向量则有ABXX于是BABXBX或BABXBX从而是BA的特征值且BX是BA的对应于的特征向量11已知3阶矩阵A的特征值为123求|A35A27A|解令3527则132233是A的特征值故|A35A27A||A|1233231812已知3阶矩阵A的特征值为123求|A3A2E|解因为|A|12360所以A可逆故A|A|A16A1A3A2E6A13A2E令61322则112535是A的特征值故|A3A2E||6A13A2E||A|1231552513设A、B都是N阶矩阵且A可逆证明AB与BA相似证明取PA则P1ABPA1ABABA即AB与BA相似14设矩阵50413102XA可相似对角化求X解由6150413102||2XEA得A的特征值为16231因为A可相似对角化所以对于231齐次线性方程组AEX0有两个线性无关的解因此RAE1由00030010140403101XXEAR知当X3时RAE1即X3为所求15已知P111T是矩阵2135212BAA的一个特征向量1求参数AB及特征向量P所对应的特征值解设是特征向量P所对应的特征值则AEP0即0001112135212BA解之得1A3B02问A能不能相似对角化并说明理由解由31201335212||EA得A的特征值为1231由00011010111325211RBEA知RAE2所以齐次线性方程组AEX0的基础解系只有一个解向量因此A不能相似对角化16试求一个正交的相似变换矩阵,将下列对称阵化为对角阵1020212022;解将所给矩阵记为A由

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