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2012年全国各地中考数学解析汇编--图形的相似与线段的比.doc

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2012年全国各地中考数学解析汇编--图形的相似与线段的比.doc

2012年全国各地中考数学解析汇编图形的相似与位似28.1图形的相似15.(2012北京,15,5)已知023ab≠,求代数式225224abab的值.【解析】【答案】设a2k,b3k,原式52521064122222682ababkkkababababkkk【点评】本题考查了见比设份的解题方法,以及分式中的因式分解,约分等。28.2线段的比、黄金分割与比例的性质(2011山东省潍坊市,题号8,分值3)8、已知矩形ABCD中,AB1,在BC上取一点E,沿AE将△ABE向上折叠,使B点落在AD上的F点,若四边形EFDC与矩形ABCD相似,则AD()A.215B.215C.3D.2考点多边形的相似、一元二次方程的解法解答根据已知得四边形ABEF为正方形。因为四边形EFDC与矩形ABCD相似所以DFEFABBC即(AD1)11AD整理得012ADAD,解得251AD由于AD为正,得到AD215,本题正确答案是B.点评本题综合考察了一元二次方程和多边形的相似,综合性强。28.3相似三角形的判定(2012山东省聊城,11,3分)如图,△ABC中,点D、E分别是AB、AC的中点,下列结论不正确的是()A.BC2DEB.△ADE∽△ABCC.ACABAEADD.ADEABCSS3解析根据三角形中位线定义与性质可知,BC2DE因DE//BC,所以△ADE∽△ABC,ADABAEAC,即ADAEABAC,ADEABCSS4.所以选项D错误.答案D点评三角形的中位线平行且等于第三边的一半.有三角形中位线,可以得出线段倍分关系、比例关系、三角形相似、三角形面积之间关系等.(2012四川省资阳市,10,3分)如图,在△ABC中,∠C=90°,将△ABC沿直线MN翻折后,顶点C恰好落在AB边上的点D处,已知MN∥AB,MC=6,NC=23,则四边形MABN的面积是A.63B.123C.183D.243【解析】由MC=6,NC=23,∠C=90°得S△CMN63,再由翻折前后△CMN≌△DMN得对应高相等由MN∥AB得△CMN∽△CAB且相似比为12,故两者的面积比为14,从而得S△CMNS四边形MABN13,故选C.【答案】C【点评】本题综合考查了直角三角形的面积算法、翻折的性质、由平行得相似的三角形相似的判定方法、相似图形的面积比等于相似比的平方等一些类知识点.知识点丰富考查了学生综合运用知识来解决问题的能力.难度较大.(2012湖北随州,14,4分)如图,点D,E分别在AB、AC上,且∠ABC∠AED。若DE4,AE5,BC8,则AB的长为______________。10(第10题图)NMDACB解析∵∠ABC∠AED,∠BAC∠EAD∴△AED∽△ABC,∴AEDEABCB,DE10答案10点评本题主要考查了三角形相似的判定和性质。利用两三角形的相似比,通过已知边长度求解某边长度,是常用的一种计算线段长度的方法。28.4相似三角形的性质2012重庆,12,4分已知△ABC∽△DEF,△ABC的周长为3,△DEF的周长为1,则△ABC与△DEF的面积之比为_______解析相似三角形的周长比等于相似比,相似三角形的面积比等于相似比的平方,故可求出答案。答案91点评本题考查相似三角形的基本性质。(2012浙江省衢州,15,4分)如图,□ABCD中,E是CD的延长线上一点,BE与AD交于点F,CD2DE.若△DEF的面积为a,则□ABCD中的面积为.用a的代数式表示【解析】根据四边形ABCD是平行四边形,利用已知得出△DEF∽△CEB,△DEF∽△ABF,进而利用相似三角形的性质分别得出△CEB、△ABF的面积为4a、9a,然后推出四边形BCDF的面积为8a即可.【答案】12a【点评】此题主要考查相似三角形的判定、性质和平行四边形的性质等知识点的理解和掌握,解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理.(2012山东省荷泽市,161,6)1如图,∠DAB∠CAE,请你再补充一个条件____________,使得△ABC∽△ADE,并说明理由.【解析】从已知条件中可得出一组角对应相等,要判定两个三角形相似,可以增加另外一组对应相等或者是这两角的两边对应成比.【答案】DBAEDC或2分理由两角对应相等,两三角形相似6分【点评】判断两个三角形相似的条件中两角对应相等两三角形相似比较常用,在选择方法一定要根据题目中或图形中所给提供的条件进行添加.(湖南株洲市6,20题)((本题满分6分)如图,在矩形ABCD中,AB6,BC8,沿直线MN对折,使A、C重合,直线MN交AC于O.(1)、求证△COM∽△CBA(2)、求线段OM的长度.【解析】要证明△COM∽△CBA就是要找出∠COM∠B即可,求线段的长就是利用第(1)问中的相似建立比例式,构造出OM的方程求解.【解】(1)证明A与C关于直线MN对称ACMN∠COM90°在矩形ABCD中,∠B90°∠COM∠B1分又∠ACB∠ACB2分△COM∽△CBA3分(2)在Rt△CBA中,AB6,BC8AC104分OC5△COM∽△CBA5分OCOMBCABOM1546分【点评】求证两个三角形相似的方法主要是两角对应相等,两三角形相似、两边对应成比例及夹角相等,两三角形相似及三边对应成比例,两三角形相似,求线段的长的方法,主要是利用三角形相似及直角三角形的勾股定理.(2012湖南娄底,25,10分)如图13,在△ABC中,ABAC,∠B30,BC8,D在边BC上,E在线段DC上,DE4,△DEF是等边三角形,边DF交边AB于点M,边EF交边AC于点N.来源学。科。网(1)求证△BMD∽△CNE(2)当BD为何值时,以M为圆心,以MF为半径的圆与BC相切(3)设BDx,五边形ANEDM的面积为y,求y与x之间的函数解析式(要求写出自变量x的取值范围)当x为何值时,y有最大值并求y的最大值.【解析】(1)由ABAC,∠B30°,根据等边对等角,可求得∠C∠B30°,又由△DEF是等边三角形,根据等边三角形的性质,易求得∠MDB∠NEC120°,∠BMD∠B∠C∠CNE30°,即可判定△BMD∽△CNE(2)首先过点M作MH⊥BC,设BDx,由以M为圆心,以MF为半径的圆与BC相切,可得MHMF4x,由(1)可得MDBD,然后在Rt△DMH中,利用正弦函数,即可求得答案(3)首先求得△ABC的面积,继而求得△BDM的面积,然后由相似三角形的性质,可求得△BCN的面积,再利用二次函数的最值问题,即可求得答案.【答案】(1)证明∵ABAC,∴∠B∠C30°.∵△DEF是等边三角形,∴∠FDE∠FED60°,∴∠MDB∠NEC120°,∴∠BMD∠B∠C∠CNE30°,∴△BMD∽△CNE(2)过点M作MH⊥BC,∵以M为圆心,以MF为半径的圆与BC相切,∴MHMF,设BDx,∵△DEF是等边三角形,∴∠FDE60°,∵∠B30°,∴∠BMD∠FDE∠B60°30°30°∠B,∴DMBDx,∴MHMFDFMD4x,在Rt△DMH中,sin∠MDHsin60°MHMD4xx32,解得x1683,∴当BD1683时,以M为圆心,以MF为半径的圆与BC相切(3)过点M作MH⊥BC于H,过点A作AK⊥BC于K,∵ABAC,∴BK12BC1284。∵∠B30°,∴AKBKtan∠B433433,∴S△ABC12BCAK1284331633,由(2)得MDBDx,∴MHMDsin∠MDH32x,∴S△BDM12x32x234x.∵△DEF是等边三角形且DE4,BC8,∴ECBCBDDE8x44x,∵△BMD∽△CNE,∴S△BDMS△CEN2BDCE224xx,∴S△BDECNAFMCEN2344x,∴yS△ABCS△CENS△BDM2163334x2344x23232323xx2383223x(0≤x≤4),当x2时,y有最大值,最大值为833.【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、二次函数的性质以及三角函数等知识.此题综合性较强,注意数形结合思想与方程思想的应用.2012重庆,12,4分已知△ABC∽△DEF,△ABC的周长为3,△DEF的周长为1,则△ABC与△DEF的面积之比为_______解析相似三角形的周长比等于相似比,相似三角形的面积比等于相似比的平方,故可求出答案。答案91点评本题考查相似三角形的基本性质。(2012浙江省衢州,15,4分)如图,□ABCD中,E是CD的延长线上一点,BE与AD交于点F,CD2DE.若△DEF的面积为a,则□ABCD中的面积为.用a的代数式表示【解析】根据四边形ABCD是平行四边形,利用已知得出△DEF∽△CEB,△DEF∽△ABF,进而利用相似三角形的性质分别得出△CEB、△ABF的面积为4a、9a,然后推出四边形BCDF的面积为8a即可.【答案】12a【点评】此题主要考查相似三角形的判定、性质和平行四边形的性质等知识点的理解和掌握,解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理.(2012山东省荷泽市,161,6)1如图,∠DAB∠CAE,请你再补充一个条件____________,使得△ABC∽△ADE,并说明理由.【解析】从已知条件中可得出一组角对应相等,要判定两个三角形相似,可以增加另外一组对应相等或者是这两角的两边对应成比.【答案】DBAEDC或2分理由两角对应相等,两三角形相似6分【点评】判断两个三角形相似的条件中两角对应相等两三角形相似比较常用,在选择方法一定要根据题目中或图形中所给提供的条件进行添加.(2012山东泰安,17,3分)如图,将矩形纸片ABCD沿EF折叠,使点B与CD的中点重合,若AB2,BC3,则△FCB与△BDG的面积之比为()A.94B.32C.43D.169【解析】设CFx,则BF3x,由折叠得BFBF3x,在Rt△FCB中,由由勾股定理得CF2CB2FB2,x2123x2,解得x43,由已知可证Rt△FCB∽Rt△BDG,AR所以S△FCB与S△BDG的面积为(431)2169.【答案】D.【点评】本题综合考查了折叠的性质、勾股定理、相似三角形的性质,相似三角形的面积比等于相似比的平方。(2012年四川省德阳市,第11题、3分.)如图,点D是△ABC的边AB的延长线上一点,点F是边BC上的一个动点(不与点B重合).以BD、BF为邻边作平行四边形BDEF,又AP//BE(点P、E在直线AB的同侧),如果ABBD41,那么△PBC的面积与△ABC面积之比为A.41B.53C.51D.43【解析】连接FP,延长AP交BC的延长线于H,过点A、P分别作,AMBCPNBC,垂足M、N.∵四边形BDEF是平行四边形,EFAD,又AP//BE,∴E、F、P共线,即PFAB,PGFEDCBA四边形APEB是平行四边形,∴EPAB,又ABBD41∴EFDB14AB13PF,∴PF34AB,∵△ABH△PFH,∴34PNPFAMAB,∴34PBCABCSPNSAM△△.【答案】D.【点评】此题应用了平行四边形,相似三角形和三角形面积的相关知识,能够合理作出辅助线是解决本题的关键,(2012山东省荷泽市,18,10)如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC和△DEF的顶点都在格点上,P1,P2,P3,P4,P5是△DEF边上的5个格点,请按要求完成下列各题(1)试证明三角形△ABC为直角三角形(2)判断△ABC和△DEF是否相似,并说明理由(3)画一个三角形,它的三个顶点为中的3个格点并且与△ABC相似(要求用尺规作图,保留痕迹,不写作法与证明)【解析】在网格中借助勾股定理求△ABC三边的长,然后利用勾股定理的逆定理来判断△ABC的形状.【答案】解(1)根据勾股定理,得25AB,5AC,BC5显然有222ABACBC,根据勾股定理的逆定理得△ABC为直角三角形(1)△ABC和△DEF相似.根据勾股定理,得25AB,5AC,BC542DE,22DF,210EF.522ABACBCDEDFEF,ACBFEDP1P2P3P4P5∴△ABC∽△DEF.(3)如图△P2P4P5.【点评】在网格中计算线段的长,勾股定理是首先的计算方法,在网格中证明三角形相似,常用的方法是两边对应成比且夹角相等或者三边对应成比例.(2012安徽,22,12分)如图1,在△ABC中,D、E、F分别为三边的中点,G点在边AB上,△BDG与四边形ACDG的周长相等,设BCa、ACb、ABc.(1)求线段BG的长解(2)求证DG平分∠EDF证(3)连接CG,如图2,若△BDG与△DFG相似,求证BG⊥CG.证解析已知三角形三边中点连线,利用三角形中位线性质计算证明.(1)已知△ABC的边长,由三角形中位线性质知cDEbDF21,21,根据△BDG与四边形ACDG周长相等,可得2cbBG.(2)由(1)的结论,利用等腰三角形性质和平行线性质可证.(3)利用两个三角形相似,对应角相等,从而等角对等边,BDDGCD,即可证明.解(1)∵D、C、F分别是△ABC三边中点∴DE∥21AB,DF∥21AC,又∵△BDG与四边形ACDG周长相等即BDDGBGACCDDGAG∴BGACAG∵BGAB-AG∴BG2ACAB2cb(2)证明BG2cb,FGBG-BF2cb-22bc∴FGDF,∴∠FDG∠FGD又∵DE∥AB∴∠EDG∠FGD∠FDG∠EDG∴DG平分∠EDF(3)在△DFG中,∠FDG∠FGD,△DFG是等腰三角形,∵△BDG与△DFG相似,∴△BDG是等腰三角形,

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