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教版八年级数学第11章全等三角形教案(....doc

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教版八年级数学第11章全等三角形教案(....doc

★人教版八年级数学★第11章全等三角形第1页A第1课时全等三角形教学目标1、理解全等三角形及相关概念,能够从图形中寻找全等三角形,探索并掌握全等三角形的性质,能够利用性质解决简单的问题.2、在探索全等三角形性质的过程中,体会研究问题的方法,感受图形变化途径.3、培养学生的识图能力、归纳总结能力和应用意识.教学重点1、全等三角形以及相关概念.2、探索全等三角形的性质.教学难点不同情况下的三角形全等的图形归纳.教学互动设计设计意图一、创设情境导入新课【问题】观察思考每组的两个图形有什么特点1、每组的两个图形形状大小都一样。2、每组的两个图形都可以重合。请列举出现实生活中能够完全重合的图形的例子(如同底相片等)全等形能够完全重合的两个图形叫做全等形.全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.把每组的两个图形沿同一水平方向平移使每组中的两个图片叠放在一起。得到两个图形的特点。二、合作交流解读探究如图,将△ABC沿直线BC平移得△DEF将△ABC沿BC翻折180°得到△DBC将△ABC旋转180°得△AED.一个图形经过平移、翻折、旋转后,位置变化了,但形状、大小都没有改变,所以平移、翻折、旋转前后的图形全等.在图⑴中,点A与点D重合.点B与点E重合.我们把这样互相重合的一对顶点叫做对应顶点AB边与DE边重合,这样互相重合的边就叫做对应边∠A与∠D重合,它们就是对应角.△ABC与△DEF全等,我们把它记作△ABC≌△DEF.读作△ABC全等于△DEF.注意记两个三角形全等时,通常把对应顶点的字母写在对应的位置上.【问题】你能找出图⑴中其他的对应顶点、对应边和对应角吗怎样表示图⑵⑶中的两个全等三角形,并找出对应顶点、对应边和对应角.点C与点F是对应点,BC边与EF边是对应边,CA边与FD边也是对应边.∠B与∠E是对应角,∠C与∠F也是对应角.【问题】图中的三角形为全等三解形。全等三角形的对应边有什么关系呢对应角呢全等三角形的性质全等三角形的对应边相等.全等三角形的对应角相等.利用几何语言来描述其性质(板书)∵△ABC≌△DEF(已知)加深学生对全等三角形概念的理解,以及动手操作能力的培养.组织学生观察、归纳,引导学生归纳全等三角形的性质.∴ABDE,BCEF,ACDF全等三角形的对应边相等∴∠A∠D,∠B∠E,∠C∠F全等三角形的对应角相等三、应用迁移巩固提高【例1】如图,△ABC≌△AEC,∠B30°,∠ACB85°.求出△AEC各内角的度数.解∵∠ACB85°,∠B30°(已知)∴∠BAC180°∠ACB∠B65°(三角形的内角和等于180°)∵△ABC≌△AEC(已知)∴∠EAC∠BAC65°,∠E∠B30°,∠ACE∠ACB85°(全等三角形对应角相等)答△AEC的内角的度数分别为65°、30°、85°.【例2】如图,已知△ABC≌△ADE,∠C∠E,BCDE,想一想∠BAD∠CAE吗为什么答相等.理由如下∵△ABC≌△ADE已知∴∠BAC∠DAE全等三角形对应角相等∴∠BAC∠DAC∠DAE∠DAC等式性质∴∠BAD∠CAE【例3】如图是一个等边三角形,你能利用折纸的方法把它分成两个全等的三角形吗你能把它分成三个,四个全等的三角形吗【练习】课本Р4练习四、总结反思拓展升华通过本节课学习,我们了解了全等的概念,发现了全等三角形的性质,并且利用性质可以找到两个全等三角形的对应元素.这也是这节课大家要重点掌握的.找对应元素的常用方法有两种(一)从运动角度看1.翻转法找到中心线,沿中心线翻折后能相互重合,从而发现对应元素.2.旋转法三角形绕某一点旋转一定角度能与另一三角形重合,从而发现对应元素.3.平移法沿某一方向推移使两三角形重合来找对应元素.(二)根据位置元素来推理1.全等三角形对应角所对的边是对应边两个对应角所夹的边是对应边.2.全等三角形对应边所对的角是对应角两条对应边所夹的角是对应角.五、课堂作业P4123教学理念/反思AABBBCCCDDDEEF⑴⑵⑶ECBAABCDE★人教版八年级数学★第11章全等三角形第2页第2课时三角形全等的判定(1)教学目标1.三角形全等的边边边的条件.2.了解三角形的稳定性.3.经历探索三角形全等条件的过程,体会利用操作、归纳获得数学结论的过程.教学重点通过观察和实验获得SSS,会运用SSS条件证明两个三角形全等.教学难点寻求三角形全等的条件.教学互动设计设计意图一、创设情境导入新课【问题1】已知△ABC≌△DEF,找出其中相等的边与角.图中相等的边是.相等的角是.【问题2】你能画一个三角形与它全等吗怎样画(可以先量出三角形纸片的各边长和各个角的度数,再作出一个三角形使它的边、角分别和已知的三角形纸片的对应边、对应角相等.这样作出的三角形一定与已知的三角形纸片全等).这是利用了全等三角形的定义来作图.那么是否一定需要六个条件呢条件能否尽可能少呢现在我们就来探究这个问题.使学生明确两个三角形满足六个条件就能保证三角形全等.二、合作交流解读探究【探究1】满足什么条件的两个三角形全等1.只给一个条件(一组对应边相等或一组对应角相等),画出的两个三角形一定全等吗2.给出两个条件画三角形时,有几种可能的情况,每种情况下作出的三角形一定全等吗分别按下列条件做一做.①三角形一内角为30°,一条边为3cm.②三角形两内角分别为30°和50°.③三角形两条边分别为4cm、6cm.教师引导学生探究通过画图发现,满足六个条件中的一个或两个,两个三角形不一定全等.【探究2】下面我们来观察一个三角形的平移过程,在观察中请你体会如果两个三角形的三边对应相等,这两个三角形是否全等.我们看到平移前后三角形的三条线段的长度没有改变,反过来,如果两个三边对应相等,我们将其叠合,会发现两个三角形完全重合.【思考】你如何验证你的结论呢(请每两个同学一组合作,先任意画一个三角提出问题,明确探究方向,激发探究欲望.学会观察,培养学生分析、探究问题的能力.使学生明确判定两个三形,然后再画一个三角形使其与前三角形的三边对应相等,并将所画的三角形裁剪下来与前三角形重叠,看看有什么结果.)提醒学生注意已知三边画三角形是一种重要的作图,在几何中用途很多,所以这种画图方法一定要掌握.通过观察和实验,我们得到一个规律三边对应相等的两个三角形全等(可以简写成边边边或SSS).我们在前面学习三角形的时候知道用三根木条钉成三角形框架,它的大小和形状是固定不变的,而用四根木条钉成的框架,它的形状是可以改变的.三角形的这个性质叫做三角形的稳定性.所以日常生活中常利用三角形做支架.就是利用三角形的稳定性.例如屋顶的人字梁、大桥钢架、索道支架等.用上面的规律可以判断两个三角形全等.判断两个三角形全等的推理过程,叫做证明三角形全等.所以SSS是证明三角形全等的一个依据.角形全等至少需要三个条件.三、应用迁移巩固提高【例1】如图,△ABC是一个钢架,ABAC,AD是连结点A与BC中点D的支架.求证△ABD≌△ACD.分析要证△ABD≌△ACD,可以看这两个三角形的三条边是否对应相等.证明【例2】如图,已知ACFE、BCDE,点A、D、B、F在一条直线上,ADFB.要用边边边证明△ABC≌△FDE,除了已知中的ACFE,BCDE以外,还应该有什么条件怎样才能得到这个条件四、总结反思拓展升华本节课我们探索得到了三角形全等的条件,发现了证明三角形全等的一个规律SSS.并利用它可以证明简单的三角形全等问题.五、课堂作业P1512教学理念/反思ACBDFEDCBAFDCBEA★人教版八年级数学★第11章全等三角形第3页第3课时三角形全等的判定(2)教学目标1、会用尺规作一个角等于已知角,并了解它在尺规作图中的简单应用。2、掌握作已知角的平分线的方法及步骤。教学重点用尺规作一个角等于已知角,作已知角的平分线。教学难点规范使用尺规,规范使用作图语言,规范的按照步骤作出图形。教学互动设计设计意图一、创设情境导入新课前面我们用量角器画一个角等于已知角和画一个已知角∠AOB的平分线OC,怎样用尺规来作一个角等于已知角和作已知角的平分线呢由具体的问题引入,激发学生的学生兴趣二、合作交流解读探究【问题1】作一个角等于已知角。已知如图,∠AOB求作∠AOB,使∠AOB=∠AOB教师在黑板上作图,同时写出作法①作射线OA。②以O点为圆心,以任意长为半径画弧,交OA于点C,交OB于点D。③以O为圆心,以OC长为半径画弧,交OA于点C。④以C为圆心,以CD长为半径画弧,交前面的弧于点D。⑤过点D作射线OB,∠AOB就是所求作的角。只用无刻度的直尽和圆规作图的方法称为尺规作图。问你能验证你所作的角与已知角相等吗【问题2】作一个已知角∠AOB的平分线OC。分析假如∠AOB的平分线OC已经画出,在前面角的平分线的研究中,我们用折线的实验发现如果有OEOD,那么CECD.这个实验也启发我们如果有OEOD,CECD,那么OC平分∠AOB吗用SSS公理易证△OEC≌△ODC,∠EOC∠DOC,即OC平分∠AOB.于是容易看出,要作∠AOB的平分线OC,在于怎样才能找到起关键作用的点C怎样确定点C呢不难看出,为了确定C点,必须先找点E、D.以O为圆心,任意长为半径作弧,分别交OA、OB于D、E,那么ODOE吗再分别以D、E为圆心,适当的长度为半径作弧,设两弧交于点C,那么CDCE吗而D、E为圆心,适当的长度为半径作弧,两弧有一交点时,怎样的长度才适当呢已知∠AOB,如图学生探索作图方法通过示范,使学生明白如何利用尺规作一个角等于已知角。求作射线OE,使∠AOE∠BOE.作法1在OA和OB上,分别截取OC、OD,使OCOD.(2)分别以C、D为圆心,大于1/2CD的长为半径作弧,在∠AOB内,两弧交于点E.(3)作射线OE.OE就是所求的射线.三、应用迁移巩固提高【例1】已知∠AOB,利用尺规作∠AOB,使∠AOB2∠AOB【例2】如图,已知ADAE,PDPE,能否判定∠DAP∠PAE请写出证明过程。【练习】课本Р8练习学生动手操作,教师加以指导,在具体的操作中巩固作法。利用全等证明角相等的应用。四、总结反思拓展升华本节课我们主要学习了用尺规作一个角等于已知角和平分已知角,要会用自己的语言来书写作法,并要了解作一角等于已知角和平分已知角在尺规作图中的简单应用。五、课堂作业教学理念/反思ABCDEP★人教版八年级数学★第11章全等三角形第4页第4课时三角形全等的判定(3)教学目标1.三角形全等的边角边的条件.2.经历探索三角形全等条件的过程,体会利用操作、归纳获得数学结论的过程.3.能运用SAS证明简单的三角形全等问题.教学重点会用边角边证明两个三角形全等。教学难点会正确运用SAS判定定理,在实践观察中正确选择判定三角形的方法。教学互动设计设计意图一、创设情境导入新课我们已经知道三条边对应相等的两个三角形全等,那么除此之外还有没有其它方法可以判定两个三角形全等我们来看下面的问题如图,AC、BD相交于O,AO、BO、CO、DO的长度如图所标,△ABO和△CDO是否能完全重合呢不难看出,这两个三角形有三对元素是相等的AO=CO,∠AOB=∠COD,BO=DO.如果把△OAB绕着O点顺时针方向旋转,因为OA=OC,所以可以使OA与OC重合又因为∠AOB=∠COD,OB=OD,所以点B与点D重合.这样△ABO与△CDO就完全重合.从上面的例子可以引起我们猜想如果两个三角形有两边和它们的夹角对应相等,那么这两个三角形全等.二、合作交流解读探究上述猜想是否正确呢不妨按上述条件画图并作如下的实验活动1画△ABC,∠B60°,BC7cm,AB5cm,用剪刀剪下来,看一下同桌的两个同学的图形能否完全重合。引导学生去观察所画的边与角有什么特殊关系由活动1让学生去猜想并归纳出SAS定理。边角边判定定理两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简写成边角边或SAS)活动2在△ABC与△A'B'C'中,若ABA'B'ACA'C'∠B∠B',观察△ABC与△A'B'C'是否全等。(强化类比SAS)由学生观察总结出边角边不一定能判定两三角形全等。所以SAS定理一定是两边及两边的夹角对应相等才能判定两三个角全等。三、应用迁移巩固提高【例1】填空1如图3,已知AD∥BC,AD=CB,要用边角边公理证明△ABC≌△CDA,需要三个条件,这三个条件中,已具有两个条件,一是AD=CB已知,二是___________还需要一个条件_____________这个条件可以证得吗.2如图4,已知AB=AC,AD=AE,∠1=∠2,要用边角边公理证明△ABD≌ACE,需要满足的三个条件中,已具有两个条件_________________________这个条件可以证得吗.【例2】已知如图5,AD∥BC,AD=CB.求证△ADC≌△CBA.问题如果把图5中的△ADC沿着CA方向平移到△ADF的位置如图5,那么要证明△ADF≌△CEB,除了AD∥BC、AD=CB的条件外,还需要一个什么条件AF=CE或AE=CF怎样证明呢【例3】已知AB=AC、AD=AE、∠1=∠2图4.求证△ABD≌△ACE.【探究】学生讨论,教师归纳可通过画图来回答这个问题,如图,图中ΔABD与ΔABC满足两边及其中一边的对角对应相等,但显然这两个三角形不全等。这说明有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等。【练习】课本Р10练习四、总结反思拓展升华1.根据边角边公理判定两个三角形全等,要找出两边及夹角对应相等的三个条件.2.找使结论成立所需条件,要充分利用已知条件包括给出图形中的隐含条件,如公共边、公共角等,并要善于运用学过的定义、公理、定理.五、课堂作业P1534教学理念/反思★人教版八年级数学★第11章全等三角形第5页第5课时三角形全等的判定(4)教学目标1.三角形全等的条件角边角、角角边.2.三角形全等条件小结.3.掌握三角形全等的角边角角角边条件.4.能运用全等三角形的条件,解决简单的推理证明问题.教学重点已知两角一边的三角形全等探究.教学难点灵活运用三角形全等条件证明.教学互动设计设计意图一、创设情境导入新课1.复习(1)三角形中已知三个元素,包括哪几种情况三个角、三个边、两边一角、两角一边.(2)到目前为止,可以作为判别两三角形全等的方法有几种各是什么三种①定义②SSS③SAS.2.在三角形中,已知三个元素的四种情况中,我们研究了三种,今天我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢二、合作交流解读探究【问题1】三角形中已知两角一边有几种可能1.两角和它们的夹边.2.两角和其中一角的对边.【问题2】三角形的两个内角分别是60°和80°,它们的夹边为4cm,你能画一个三角形同时满足这些条件吗将你画的三角形剪下,与同伴比较,观察它们是不是全等,你能得出什么规律将所得三角形重叠在一起,发现完全重合,这说明这些三角形全等.提炼规律两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成角边角或ASA).【问题3】我们刚才做的三角形是一个特殊三角形,随意画一个三角形ABC,能不能作一个△A′B′C′,使∠A∠A′、∠B∠B′、ABA′B′呢①先用量角器量出∠A与∠B的度数,再用直尺量出AB的边长.②画线段A′B′,使A′B′AB.③分别以A′、B′为顶点,A′B′为一边作∠DA′B′、∠EB′A,使∠D′AB∠CAB,∠EB′A′∠CBA.④射线A′D与B′E交于一点,记为C′即可得到△A′B′C′.将△A′B′C′与△ABC重叠,发现两三角形全等.两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等(可以简写成角边角或ASA).思考在一个三角形中两角确定,第三个角一定确定.我们是不是可以不作图,用ASA推出两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等呢【问题4】如图,在△ABC和△DEF中,∠A∠D,∠B∠E,BCEF,△ABC与△DEF全等吗能利用角边角条件证明你的结论吗证明∵∠A∠B∠C∠D∠E∠F180°∠A∠D,∠B∠E∴∠A∠B∠D∠E∴∠C∠F在△ABC和△DEF中BEBCEFCF∴△ABC≌△DEF(ASA).两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成角角边或AAS).三、应用迁移巩固提高【例1】如下图,D在AB上,E在AC上,ABAC,∠B∠C.求证ADAE.分析AD和AE分别在△ADC和△AEB中,所以要证ADAE,只需证明△ADC≌△AEB即可.证明在△ADC和△AEB中AAACABCB所以△ADC≌△AEB(ASA)所以ADAE.【例2】如图,海岸上有A、B两个观测点,点B在点A的正东方,海岛C在观测点A的正北方,海岛D在观测点B的正北方,从观测点A看C,D的视角∠CAD与从观测点B看海岛C,D的视角∠CBD相等,那么点A到海岛C的距离与点B到海岛D的距离相等,为什么证明∵∠CAD∠CBD,∠1∠2∴∠C∠D。在△ABC与△BAD∠CAB∠ABD(已知)∠C∠D(已证)ABBA(公共边)∴△ABC≌△BAD(AAS)∴ACBD即点A到海岛C的距离与点B到海岛D的距离相等【练习】课本Р13练习培养学生的逻辑推理能力、独立思考能力,会用ASA或AAS判断三角形全等,规范地书写证明过程.培养学生合情合理的逻辑推理能力,语言表达能力,规范地书写证明过程.培养学生的符号感,体会数学知识的严谨性.四、总结反思拓展升华五种判定三角形全等的方法1.全等三角形的定义2.判定定理边边边(SSS)边角边(SAS)角边角(ASA)角角边(AAS)推证两三角形全等时,要善于观察,寻求对应相等的条件,从而获得解题途径.五、课堂作业P1556教学理念/反思CABDCABEDCABFEDCABE★人教版八年级数学★第11章全等三角形第6页第6课时三角形全等的判定(5)综合探究教学目标1、理解三角形全等的判定,并会运用它们解决实际问题.2、经历探索三角形全等的四种判定方法的过程,能进行合情推理.教学重点运用四个判定三角形全等的方法.教学难点正确选择判定三角形全等的方法,充分应用综合法进行表达.教学互动设计设计意图一、分层练习回顾反思1.已知△ABC≌△A′B′C′,且∠A48°,∠B33°,A′B′5cm,求∠C′的度数与AB的长.【评析】表示两个全等三角形时,要把对应顶点的字母写在对应位置上,这时解题就很方便.2.已知如图1,在AB、AC上各取一点E、D,使AEAD,连接BD、CE相交于点O,连接AO,∠1∠2.求证∠B∠C.【思路点拨】要证两个角相等,我们通常用的办法有(1)两直线平行,同位角或内错角相等(2)全等三角形对应角相等(3)等腰三角形两底角相等(待学).根据本题的图形,应考虑去证明三角形全等,由已知条件,可知ADAE,∠1∠2,AO是公共边,叫△ADO≌△AEO,则可得到ODOE,∠AEO∠ADO,∠EOA∠DOA,而要证∠B∠C可以进一步考查△OBE≌△OCD,而由上可知OEOD,∠BOE∠COD(对顶角),∠BEO∠CDO(等角的补角相等),则可证得△OBF≌△OCD,事实上,得到∠AEO∠AOD之后,又有∠BOE∠COD,由外角的关系,可得出∠B∠C,这样更进一步简化了思路.【教师点评】在分析一道题目的条件时,尽量把条件分析透,如上题当证明△ADO≌△AEO之后,可以得到ODOE,∠AEO∠ADO,∠EOA∠DOA,这些结论虽然在进一步证明中并不一定都用到,但在分析时对图形中的等量及大小关系有了正确认识,有利于进一步思考.组织学生练习,请一位学生上台演示.先独立完成演练1,然后再与同伴交流,踊跃上台演示.巡视、启发引导,关注学困生,请学生上台演示,然后评点.小组合作交流,共同探讨,然后解答.分组合作,互相交流.二、应用迁移能力提升【例1】如图2,已知∠BAC∠DAE,∠ABD∠ACE,BDCE.求证ADAE.【思路点拨】欲证相等的两条线段AD、AE分别在△ABD和△ACE中,由于BDCE,∠ABD∠ACE,因此要证明△ABD≌△ACE,则需证明∠BAD∠CAE,这由已知条件∠BAC∠DAE容易得到.证明∵∠BAC∠DAE∴∠BAC∠DAC∠DAE∠DAC即∠BAD∠CAE在△ABD和△ACE中,∵BDCE,∠ABD∠ACE,∠BAD∠CAE,∴△ABD≌△ACE(AAS),∴ADAE.【例2】如图4,仪器ABCD可以用来平分一个角,其中ABAD,BCDC,将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合,调整AB和AD,使它们落在角的两边上,沿AC画一条射线AE,AE就是∠PRQ的平分线,你能说明其中道理吗小明的思考过程如下ABADBCDCACAC→△ABC≌△ADC→∠QRE∠PRE你能说出每一步的理由吗引导学生思考问题.分析、寻找证题思路,独立完成例题四、总结反思拓展升华五种判定三角形全等的方法1.全等三角形的定义2.判定定理边边边(SSS)边角边(SAS)角边角(ASA)角角边(AAS)推证两三角形全等时,要善于观察,寻求对应相等的条件,从而获得解题途径.五、课堂作业P16910教学理念/反思★人教版八年级数学★第11章全等三角形第7页第7课时三角形全等的判定(6)教学目标1、经历探索直角三角形全等条件的过程,体会利用操作、归纳获得数学结论的过程2、掌握直角三角形全等的条件,并能运用其解决一些实际问题3、在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中,能够进行有条理的思考并进行简单的推理。教学重点运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。教学难点熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。教学互动设计设计意图一、课前热身复习旧知1、判定两个三角形全等的方法、、、2、如图,Rt△ABC中,直角边是、,斜边是。3、如图,AB⊥BE于C,DE⊥BE于E,(1)若∠A∠D,ABDE,则△ABC与△DEF(填全等或不全等)根据(用简写法)(2)若∠A∠D,BCEF,则△ABC与△DEF(填全等或不全等)根据(用简写法)(3)若ABDE,BCEF,则△ABC与△DEF(填全等或不全等)根据(用简写法)(4)若ABDE,BCEF,ACDF则△ABC与△DEF(填全等或不全等)根据(用简写法)二、合作交流解读探究【做一做】任意画出一个Rt△ABC,使∠C90°,再画一个Rt△A′B′C,′,使B′C′BC,A′B′AB,把画好的Rt△A′B′C′剪下,放到Rt△ABC上,它们全等吗画一个Rt△A′B′C′,使B′C′BC,ABAB1、画∠MC′N90°。2、在射线C′M上取B′C′BC。3、以B′为圆心,AB为半径画弧,交射线C′N于点A′。连接A′B′。【学生活动】画图分析,寻找规律.如下规律斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简写成斜边、直角边或HL).【想一想】你能够用几种方法说明两个直角三角形全等【互动交流】直角三角形是特殊的三角形,所以不仅有一般三角形判定全等的方法SSS、SAS、ASA、AAS,还有直角三角形特殊的判定方法HL。三、应用迁移巩固提高【例1】如课本图11.2─12,AC⊥BC,BD⊥AD,ACBD,求证BCAD.【思路点拨】欲证BCAD,首先应寻找和这两条线段有关的三角形,这里有△ABD和△BAC,△ADO和△BCO,O为DB、AC的交点,经过条件的分析,△ABD和△BAC具备全等的条件.证明∵AC⊥BC,BD⊥BD,∴∠C与∠D都是直角.在Rt△ABC和Rt△BAD中,,,ABBAACBD∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).∴BCAD.【评析】在证明两个直角三角形全等时,要防止学生使用SSA来证明.【例2】如图,有两个长度相同的滑梯,左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方面的长度DF相等,两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DEF的大小有什么关系下面是三个同学的思考过程,你能明白他们的意思吗,90BCEFACDFCABFDE→△ABC≌△DEF→∠ABC→∠DEF→∠ABC∠DEF90°.有一条直角边和斜边对应相等,所以△ABC与△DEF全等.这样∠ABC∠DEF,也就是∠ABC∠DEF90°.在Rt△ABC和Rt△DEF中,BCEF,ACDF,因此这两个三角形是全等的,这样∠ABC∠DEF,所以∠ABC与∠DEF是互余的.【练习】课本Р14练习引导学生共同参与分析例题参与教师分析,提出自己的见解.这个问题涉及的推理比较复杂,可以通过全班讨论,共同解决这个问题,但不需要每个学生自己独立说明理由,只要求学生能看懂三位同学的思考过程就可以了.四、总结反思拓展升华我们有六种判定三角形全等的方法1.全等三角形的定义2.边边边(SSS)3.边角边(SAS)4.角边角(ASA)5.角角边(AAS)6.HL(仅用在直角三角形中)五、课堂作业P167813教学理念/反思本节课通过动手操作,在合作交流、比较中共同发现问题,培养直观发现问题的能力,在反思中发现新知,体会解决问题的方法.通过今天的学习和对前面三角形全等条件的探求,可知判定直角三角形全等有五种方法.★人教版八年级数学★第11章全等三角形第8页第8课时角的平分线的性质(1)教学目标1.通过作图直观地理解角平分线的性质定理.2.经历探究角的平分线的性质的过程,领会其应用方法.教学重点领会角的平分线的性质定理.教学难点角的平分线的性质定理的实际应用.教学互动设计设计意图一、创设情境导入新课在∠AOB的两边OA和OB上分别取OMON,MC⊥OA,NC⊥OB.MC与NC交于C点.求证∠MOC∠NOC.通过证明Rt△MOC≌Rt△NOC,即可证明∠MOC∠NOC,所以射线OC就是∠AOB的平分线.受这个题的启示,我们能不能这样做在已知∠AOB的两边上分别截取OMON,再分别过M、N作MC⊥OA,NC⊥OB,MC与NC交于C点,连接OC,那么OC就是∠AOB的平分线了.思考这个方案可行吗(学生思考、讨论后,统一思想,认为可行)议一议下图是一个平分角的仪器,其中ABAD,BCDC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道理吗要说明AC是∠DAC的平分线,其实就是证明∠CAD∠CAB.∠CAD和∠CAB分别在△CAD和△CAB中,那么证明这两个三角形全等就可以了.看看条件够不够.ABADBCDCACAC所以△ABC≌△ADC(SSS).所以∠CAD∠CAB.即射线AC就是∠DAB的平分线.首先将问题提出,然后运用教具(如课本图11.3─1)直观地进行讲述,提出探究的问题.小组讨论后得出根据三角形全等条件边边边判定法,可以说明这个仪器的制作原理.二、合作交流解读探究【探究1】作已知角的平分线的方法已知∠AOB.求作∠AOB的平分线.作法(1)以O为圆心,适当长为半径作弧,分别交OA、OB于M、N.(2)分别以M、N为圆心,大于12MN的长为半径作弧.两弧在∠AOB内部交于点C.(3)作射线OC,射线OC即为所求.【议一议】1.在上面作法的第二步中,去掉大于12MN的长这个条件行吗2.第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗【总结】动手制图(尺规),边画图边领会,认识角平分线的定义同时在实践操作中感知.1.去掉大于12MN的长这个条件,所作的两弧可能没有交点,所以就找不到角的平分线.2.若分别以M、N为圆心,大于12MN的长为半径画两弧,两弧的交点可能在∠AOB的内部,也可能在∠AOB的外部,而我们要找的是∠AOB内部的交点,否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了.3.角的平分线是一条射线.它不是线段,也不是直线,所以第二步中的两个限制缺一不可.4.这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明.【探究2】如图,将∠AOB的两边对折,再折个直角三角形(以第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得到什么结论你能利用所学过的知识,说明你的结论的正确性吗实践感知,互动交流,得出结论,从实践中可以看出,第一条折痕是∠AOB的平分线OC,第二次折叠形成的两条折痕PD、PE是角的平分线上一点到∠AOB两边的距离,这两个距离相等.【总结】角平分线的性质角平分线上的点到角的两边的距离相等.已知OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E求证PDPE.证明∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴∠PDO∠PEO90°在△PDO和△PEO中,,,,PDOPEOAOCBOCOPOP∴△PDO≌△PEO(AAS)∴PDPE三、应用迁移巩固提高【例】在一节数学课上,老师要求同学们练习一道题,题目的图形如图所示,图中的BD是∠ABC的平分线,在同学们忙于画图和分析题目时,小明同学忽然兴奋地大声说我有个发现原来他自己创造了一个在直角三角形中画锐角的平分线的方法.他的方法是这样的,在AB上取点E,使BEBC,然后画DE⊥AB交AC于D,那么BD就是∠ABC的平分线.有的同学对小明的画法表示怀疑,你认为他的画法对不对呢请你来说明理由.【练习】课本Р19练习四、总结反思拓展升华本节课中我们利用已学过的三角形全等的知识,探究得到了角平分线仪器的操作原理,由此归纳出角的平分线的尺规画法,并进一步探究到角平分线的性质.五、课堂作业P2212★人教版八年级数学★第11章全等三角形第9页第9课时角的平分线的性质(2)教学目标1.角的平分线的性质2.会叙述角的平分线的性质及到角两边距离相等的点在角的平分线上.3.能应用这两个性质解决一些简单的实际问题.教学重点角平分线的性质及其应用.教学难点灵活应用两个性质解决问题.教学互动设计设计意图一、创设情境导入新课【问题1】画出三角形三个内角的平分线你发现了什么特点【问题2】如课本图11.3─5,要在S区建一个集贸市场,使它到公路、铁路的距离相等,离公路与铁路交叉处500米,这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置,比例尺为120000)二、合作交流解读探究【探究】小组合作学习,动手操作探究,获得问题结论.从实践中可知角平分线上的点到角的两边距离相等,将条件和结论互换到角的两边的距离相等的点也在角的平分线上.证明如下已知PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,PDPE.求证点P在∠AOB的平分线上.证明经过点P作射线OC.∵PD⊥OA,PE⊥OB∴∠PDO∠PEO90°在Rt△PDO和Rt△PEO中,,,OPOPPDPE∴Rt△PDO≌Rt△PEO(HL)∴∠AOC∠BOC,∴OC是∠AOB的平分线.【归纳】到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.启发、引导学生组织小组之间的交流、讨论帮助学困生.自主、合作、交流,在教师的引导下,比较上述两个结论,弄清其条件和结论,加深认识.三、应用迁移巩固提高【例1】如图,△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证点P到三边AB,BC,CA的距离相等.【思路点拨】因为已知、求证中都没有具体说明哪些线段是距离,而证明它们相等必须标出它们.所以这一段话要在证明中写出,同辅助线一样处理.如果已知中写明点P到三边的距离是哪些线段,那么图中画实线,在证明中就可以不写.证明过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA,垂足为D、E、F.∴BM是△ABC的角平分线,点P在BM上.∴PDPE同理PEPF∴PDPEPF即点P到边AB、BC、CA的距离相等.【评析】在几何里,如果证明的过程完全一样,只是字母不同,可以用同理二字概括,省略详细证明过程.三角形的三条角平分线相交于一点.【例2】如图,已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F,求证点F在∠DAE的平分线上.学生根据上一问题的解决过程独立解决本问题,在必要时教师适当引导.【练习】课本Р22练习学生参与教师分析,主动探究学习.四、总结反思拓展升华我们学习了关于角平分线的两个性质①角平分线上的点到角的两边的距离相等②到角的两边距离相等的点在角的平分线上.它们具有互逆性,随着学习的深入,解决问题越来越简便了.像与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题,我们可以直接利用角平分线的性质,而不必再去证明三角形全等而得出线段相等.五、课堂作业P223456教学理念/反思

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