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初一数学竞赛讲座(二)特殊的正整数.doc

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初一数学竞赛讲座(二)特殊的正整数.doc

初一数学竞赛讲座二特殊的正整数一、知识要点1、完全平方数及其性质定义1如果一个数是一个整数的平方,则称这个数是完全平方数。如1、4、9、等都是完全平方数,完全平方数有下列性质性质1任何完全平方数的个位数只能是0,1,4,5,6,9中的一个。性质2奇完全平方数的十位数一定是偶数。性质3偶完全平方数是4的倍数。性质4完全平方数有奇数个不同的正约数。性质5完全平方数与完全平方数的积仍是完全平方数,完全平方数与非完全平方数的积是非完全平方数。2、质数与合数定义2一个大于1的整数a,如果只有1和a这两个约数,那么a叫做质数。定义3一个大于1的整数a,如果只有1和a这两个约数外,还有其他正约数,那么a叫做合数。1既不是质数也不是合数。3、质数与合数的有关性质1质数有无数多个22是唯一的既是质数,又是偶数的整数,即是唯一的偶质数。大于2的质数必为奇数。3若质数pab,则必有pa或pb。4若正整数a、b的积是质数p,则必有ap或bp.5唯一分解定理任何整数nn1可以唯一地分解为kakaapppn2121,其中p111,一定可以表示成两个合数之和。评注本题是通过对整数的合理分类来帮助解题,这是解决整数问题的一种常用方法。但要注意对整数的分类要不重复不遗漏。例9证明nn11n是自然数不能是某个整数的平方。分析注意到nn11n2n1,∵n是自然数,∴n2n2,且792221nn,则n1,n2解答题13、证明不存在这样的三位数abc,使cabbcaabc成为完全平方数。14、试求四位数xxyy,使它是一个完全平方数。15、a、b、c、d都是质数,且10cd20,ca是大于2的质数,d2c2a3bab,求a、b、c、d的值16、设a、b、c、d是四个整数,且2222241dcbacdabm是非零整数,求证m是合数。17、求一个三位数,使它等于n2,并且各位数字之积为n1.18、设n1、n2是任意两个大于3的质数,M121n,N122n,M与N的最大公约数至少为多少19、证明有无穷多个n,使多项式n2n41表示合数。20、已知p和8p21都是质数,求证8p2p2也是质数。

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