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初一数学竞赛讲座(二)特殊的正整数.doc

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初一数学竞赛讲座(二)特殊的正整数.doc

初一数学竞赛讲座(二)特殊的正整数一、知识要点1、完全平方数及其性质定义1如果一个数是一个整数的平方,则称这个数是完全平方数。如:1、4、9、…等都是完全平方数,完全平方数有下列性质:性质1任何完全平方数的个位数只能是0,1,4,5,6,9中的一个。性质2奇完全平方数的十位数一定是偶数。性质3偶完全平方数是4的倍数。性质4完全平方数有奇数个不同的正约数。性质5完全平方数与完全平方数的积仍是完全平方数,完全平方数与非完全平方数的积是非完全平方数。2、质数与合数定义2一个大于1的整数a,如果只有1和a这两个约数,那么a叫做质数。定义3一个大于1的整数a,如果只有1和a这两个约数外,还有其他正约数,那么a叫做合数。1既不是质数也不是合数。3、质数与合数的有关性质(1)质数有无数多个(2)2是唯一的既是质数,又是偶数的整数,即是唯一的偶质数。大于2的质数必为奇数。(3)若质数pa•b,则必有pa或pb。(4)若正整数a、b的积是质数p,则必有a=p或b=p.(5)唯一分解定理:任何整数n(n>1)可以唯一地分解为:kakaapppn2121,其中p1 11),一定可以表示成两个合数之和。评注:本题是通过对整数的合理分类来帮助解题,这是解决整数问题的一种常用方法。但要注意对整数的分类要不重复不遗漏。例9证明:n(n+1)+1(n是自然数)不能是某个整数的平方。分析:注意到n(n+1)+1=n2+n+1,∵n是自然数,∴n2n2,且792221nn,则n1=,n2=解答题13、证明:不存在这样的三位数abc,使cabbcaabc成为完全平方数。14、试求四位数xxyy,使它是一个完全平方数。15、a、b、c、d都是质数,且10

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