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初一数学竞赛讲座(二)特殊的正整数.doc

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初一数学竞赛讲座(二)特殊的正整数.doc

初一数学竞赛讲座二特殊的正整数一、知识要点1、完全平方数及其性质定义1如果一个数是一个整数的平方,则称这个数是完全平方数。如1、4、9、等都是完全平方数,完全平方数有下列性质性质1任何完全平方数的个位数只能是0,1,4,5,6,9中的一个。性质2奇完全平方数的十位数一定是偶数。性质3偶完全平方数是4的倍数。性质4完全平方数有奇数个不同的正约数。性质5完全平方数与完全平方数的积仍是完全平方数,完全平方数与非完全平方数的积是非完全平方数。2、质数与合数定义2一个大于1的整数A,如果只有1和A这两个约数,那么A叫做质数。定义3一个大于1的整数A,如果只有1和A这两个约数外,还有其他正约数,那么A叫做合数。1既不是质数也不是合数。3、质数与合数的有关性质1质数有无数多个22是唯一的既是质数,又是偶数的整数,即是唯一的偶质数。大于2的质数必为奇数。3若质数PAB,则必有PA或PB。4若正整数A、B的积是质数P,则必有AP或BP5唯一分解定理任何整数NN1可以唯一地分解为KAKAAPPPN2121,其中P1P2PK是质数,A1,A2,,AK是正整数。二、例题精讲例1有一个四位数恰好是个完全平方数,它的千位数字比百位数字多1,比十位数字少1,比个位数字少2,这个四位数是解设所求的四位数为M2,它的百位数字为A,则有M21000A1100A10A2A31111A102311101A93因为11是质数,所以11∣101A93,而101A93119A82A5,所以11∣2A5,由题意A3≤9,故A≤6,从而A3于是所求的四位数为4356例2一个四位数有这样的性质用它的后两位数去除这个四位数得到一个完全平方数如果它的十位数是0,就只用个位数去除,且这个平方数正好是前两位数加1的平方。例如4802224014924812,则具有上述性质的最小四位数是(1994年四川省初中数学联合竞赛试题)解设具有上述性质的四位数是100C1C2,其中10≤C1,C2≤99,按题意,得100C1C2=22122122121CCCCCCC,∴100C1C1C2C12,即210012CC,因而C12100,又10≤C1≤99,所以C118,23,48,98相应地C25,4,2,1于是符合题意的四位数是1805,2304,4802,9801,其中最小的是1805评注本题根据题意,列出

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