欢迎来到人人文库网! | 帮助中心 人人文库renrendoc.com美如初恋!
人人文库网
首页 人人文库网 > 资源分类 > DOC文档下载

初一数学竞赛讲座(二)特殊的正整数.doc

  • 资源大小:70.50KB        全文页数:5页
  • 资源格式: DOC        下载权限:游客/注册会员/VIP会员    下载费用:5
游客快捷下载 游客一键下载
会员登录下载
下载资源需要5

邮箱/手机号:
您支付成功后,系统会自动为您创建此邮箱/手机号的账号,密码跟您输入的邮箱/手机号一致,以方便您下次登录下载和查看订单。注:支付完成后需要自己下载文件,并不会自动发送文件哦!

支付方式: 微信支付    支付宝   
验证码:   换一换

友情提示
2、本站资源不支持迅雷下载,请使用浏览器直接下载(不支持QQ浏览器)
3、本站资源下载后的文档和图纸-无水印,预览文档经过压缩,下载后原文更清晰   

初一数学竞赛讲座(二)特殊的正整数.doc

初一数学竞赛讲座二特殊的正整数一、知识要点1、完全平方数及其性质定义1如果一个数是一个整数的平方,则称这个数是完全平方数。如1、4、9、等都是完全平方数,完全平方数有下列性质性质1任何完全平方数的个位数只能是0,1,4,5,6,9中的一个。性质2奇完全平方数的十位数一定是偶数。性质3偶完全平方数是4的倍数。性质4完全平方数有奇数个不同的正约数。性质5完全平方数与完全平方数的积仍是完全平方数,完全平方数与非完全平方数的积是非完全平方数。2、质数与合数定义2一个大于1的整数A,如果只有1和A这两个约数,那么A叫做质数。定义3一个大于1的整数A,如果只有1和A这两个约数外,还有其他正约数,那么A叫做合数。1既不是质数也不是合数。3、质数与合数的有关性质1质数有无数多个22是唯一的既是质数,又是偶数的整数,即是唯一的偶质数。大于2的质数必为奇数。3若质数PAB,则必有PA或PB。4若正整数A、B的积是质数P,则必有AP或BP5唯一分解定理任何整数NN1可以唯一地分解为KAKAAPPPN2121,其中P1P2PK是质数,A1,A2,,AK是正整数。二、例题精讲例1有一个四位数恰好是个完全平方数,它的千位数字比百位数字多1,比十位数字少1,比个位数字少2,这个四位数是解设所求的四位数为M2,它的百位数字为A,则有M21000A1100A10A2A31111A102311101A93因为11是质数,所以11∣101A93,而101A93119A82A5,所以11∣2A5,由题意A3≤9,故A≤6,从而A3于是所求的四位数为4356例2一个四位数有这样的性质用它的后两位数去除这个四位数得到一个完全平方数如果它的十位数是0,就只用个位数去除,且这个平方数正好是前两位数加1的平方。例如4802224014924812,则具有上述性质的最小四位数是(1994年四川省初中数学联合竞赛试题)解设具有上述性质的四位数是100C1C2,其中10≤C1,C2≤99,按题意,得100C1C2=22122122121CCCCCCC,∴100C1C1C2C12,即210012CC,因而C12100,又10≤C1≤99,所以C118,23,48,98相应地C25,4,2,1于是符合题意的四位数是1805,2304,4802,9801,其中最小的是1805评注本题根据题意,列出不定方程,然后利用整数的整除性来求解。例3三个质数A、B、C的乘积等于这三个质数和的5倍,则A2B2C21996年“希望杯”初二试题分析由题意得出ABC5ABC,由此显然得质数A、B、C中必有一个是5,不妨设A5,代入前式中再设法求B、C解因为ABC5ABC,所以在质数A、B、C中必有一个是5,不妨设A5,于是5BC5B5C25,即B1C16,而62316,则3121CB①或6111CB②由①得B3,C4,不合题意,由②得B2,C7,符合题意。所以所求的三个质数是5,2,7。于是A2B2C278评注质数问题常常通过分解质因数来解决。例4试证一个整数的平方的个位数字为6时,十位数字必为奇数。分析一个整数的平方的个位数字为6,则这个整数的个位数字必为4或6,从而可设此数为A10G4或A10G6G为整数。证明设一个整数为A,则由一个整数的平方的个位数字为6知,此数可设为A10G4或A10G6G为整数∴当A10G4时,A210G42100G280G161010G28G16当A10G6时,A210G62100G2120G361010G212G36∴十位数字必为10G28G1和10G212G3的个位数字,显然是奇数。评注类似地,可以证明一个整数的个位数字和十位数字都是奇数,则这个整数不是完全平方数。例4三人分糖,每人都得整数块,乙比丙多得13块,甲所得是乙的2倍,已知糖的总块数是一个小于50的质数,且它的各位数字之和为11,试求每人得糖的块数。(安徽省初中数学联赛试题)分析设出未知数,根据题意,列出方程和不等式组,再通过质数的性质来求解。解设甲、乙、丙分别得糖X、Y、Z块,依题意得为质数,且ZYXZYXZYYX50132∵11=29=38=47=56,故小于50且数字和为11的质数只可能是29和47若XYZ=29,则可得4Y42,Y不是整数,舍去。若XYZ=47,则可得4Y60,Y=15,从而X30,Z2∴甲、乙、丙分别得糖30、15、2块评注本题的关键是分析出小于50且数字和为11的质数只可能是29和47。这类问题是常利用质数的性质来分析求得所有的可能值,再设法检验求得所要的解。例5如果P与P2都是大于3的质数,那么6是P1的因数。第五届加拿大数学奥林匹克试题分析任何一个大于3整数都可以表示成6N2,6N1,6N,6N1,6N2,6N3N是大于0的整数中的一种,显然6N2,6N,6N2,6N3都是合数,所以大于3的质数均可以写成6N1或6N1的形式,问题即证明P不能写成6N1的形式。解因为P是大于3的质数,所以可设P6N1N是大于0的整数,那么P26N126N332N1与P2是大于3的质数矛盾。于是P≠6N1,所以P6N1N是大于0的整数,从而P16N,即6是P1的因数。评注对大于3整数合理分类是解决这个问题的关键。对无限多个整数进行讨论时,将其转化为有限的几类是一种常用的处理方法。例6证明有无穷多个N,使多项式N23N7表示合数。分析要使多项式N23N7表示合数,只要能将多项式N23N7表示成两个因式的积的形式。证明当N为7的倍数时,即N7KK是大于等于1的整数时N23N77K237K777K23K1为7的倍数,所以它显然是一个合数。评注本题也可将7换成其他数,比如3、5、11等等。例7求证220013是合数分析220013不能分解,22001次数又太高,无法计算。我们可以探索2N的末位数字的规律,从而得出220013的末位数字,由此来证明220013是合数。证明∵21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,29=256,∴24K1的末位数字是2,24K2的末位数字是4,24K3的末位数字是8,24K4的末位数字是6(K为非负整数)而2001=42501∴22001的末位数字是2,∴220013的末位数字是5∴5220013,显然220013≠5所以220013是合数评注本题另辟蹊径,通过探索2N的末位数字的规律来得出220013的末位数字,从而证明220013是合数。解数学竞赛题,思路要开阔。例8求证大于11的整数一定可以表示成两个合数之和。证明设大于11的整数为N若N3KK≥4,且K为整数,则N63K2,显然6和3K2都是合数若N3K1K≥4,且K为整数,则N43K1,显然4和3K1都是合数若N3K2K≥4,且K为整数,则N83K2,显然8和3K2都是合数于是对任意正整数NN11,一定可以表示成两个合数之和。评注本题是通过对整数的合理分类来帮助解题,这是解决整数问题的一种常用方法。但要注意对整数的分类要不重复不遗漏。例9证明NN11N是自然数不能是某个整数的平方。分析注意到NN11N2N1,∵N是自然数,∴N2N2N1N12,这为我们证题提供了出发点。证明NN11N2N1,∵N是自然数,∴N2N2N1N12,而N、N1是两个相邻的自然数,∴NN11N是自然数不能是某个整数的平方。评注本题应用了在两个相邻正整数的平方数之间不可能还存在一个完全平方数这个结论。例10如果一个自然数是质数,且它的数字位置经过任意交换后仍然是质数,则称这个数为绝对质数。证明绝对质数不能有多于三个不同的数字。分析绝对质数中出现的数字不会有偶数,也不会有5,因为有偶数和5它就一定不是绝对质数,则绝对质数中出现的数字只可能是1,3,7,9。接下来用反证法来证明这个问题。证明因为绝对质数的数字位置经过任意交换后仍然是质数,所以绝对质数中出现的数字不会有偶数,也不会有5,即绝对质数中出现的数字只可能是1,3,7,9。假设有一个绝对质数M中出现的数字超过了3个,也即这个绝对质数中出现的数字包含了1,3,7,9,则13791379M211MAAAN,M2M9137,M3M7913,M4M3791,M5M1397,M6M3197,M7M7139都是质数。可验证,这七个数中每两个数的差都不能被7整除,说明M1、M2、M3、M4、M5、M6、M7被7除所得余数互不相同。因而必有一个是0,即能被7整除,这与此数是质数矛盾。所以假设不成立,所以绝对质数不能有多于三个不同的数字。评注本题是用反证法来证明,对于题目中出现“不”的字眼,常常用反证法来证明。三、巩固练习选择题1、在整数0、1、2、3、4、5、6、7、8、9中,设质数的个数为X,偶数的个数为Y,完全平方数的个数为Z,合数的个数为U,则XYZU的值是A、17B、15C、13D、112、设N为大于1的自然数,则下列四个式子的代数值一定不是完全平方数的是()A、3N23N3B、5N25N5C、9N29N9D、11N211N113、有3个数,一个是最小的奇质数,一个是小于50的的最大质数,一个是大于60的最小质数,则这3个数的和是A、101B、110C、111D、1134、两个质数的和是49,则这两个质数的倒数和是A、4994B、9449C、4586D、86455、A、B为正整数,且56A392B为完全平方数,则AB的最小值等于A、6B、7C、8D、96、3个质数P、Q、R满足等式PQR,且PQR,则P的值是A、2B、3C、5D、7填空题7、使得M2M7是完全平方数的所有整数M的积是8、如果一个正整数减去54,是一个完全平方数,这个正整数加上35后,是另外一个完全平方数,那么这个正整数是9、一个质数的平方与一个正奇数的和等于125,则这两个数和积是10、P是质数,P22也是质数,则1997P411、若N为自然数,N3,N7都是质数,则N除以3所得的余数是12、设自然数N1N2,且792221NN,则N1,N2解答题13、证明不存在这样的三位数ABC,使CABBCAABC成为完全平方数。14、试求四位数XXYY,使它是一个完全平方数。15、A、B、C、D都是质数,且10CD20,CA是大于2的质数,D2C2A3BAB,求A、B、C、D的值16、设A、B、C、D是四个整数,且2222241DCBACDABM是非零整数,求证M是合数。17、求一个三位数,使它等于N2,并且各位数字之积为N118、设N1、N2是任意两个大于3的质数,M121N,N122N,M与N的最大公约数至少为多少19、证明有无穷多个N,使多项式N2N41表示合数。20、已知P和8P21都是质数,求证8P2P2也是质数。

注意事项

本文(初一数学竞赛讲座(二)特殊的正整数.doc)为本站会员(BCEAAEE88296385EDA2815A44814E61A)主动上传,人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容本身不做任何修改或编辑。 若此文所含内容侵犯了您的版权或隐私,请立即通知人人文库网(发送邮件至[email protected]或直接QQ联系客服),我们立即给予删除!

温馨提示:如果因为网速或其他原因下载失败请重新下载,重复下载不扣分。

关于我们 - 网站声明 - 网站地图 - 资源地图 - 友情链接 - 网站客服客服 - 联系我们

网站客服QQ:2846424093    人人文库上传用户QQ群:460291265   

[email protected] 2016-2018  renrendoc.com 网站版权所有   南天在线技术支持

经营许可证编号:苏ICP备12009002号-5