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初一数学竞赛讲座(三) 数字、数位及数谜问题.doc

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初一数学竞赛讲座(三) 数字、数位及数谜问题.doc

初一数学竞赛讲座三数字、数位及数谜问题一、一、知识要点1、整数的十进位数码表示一般地,任何一个N位的自然数都可以表示成122321110101010AAAAANNNN其中,AII1,2,,N表示数码,且0≤AI≤9,AN≠0对于确定的自然数N,它的表示是唯一的,常将这个数记为N121AAAANN2、正整数指数幂的末两位数字11设M、N都是正整数,A是M的末位数字,则MN的末位数字就是AN的末位数字。22设P、Q都是正整数,M是任意正整数,则M4PQ的末位数字与MQ的末位数字相同。3、在与整数有关的数学问题中,有不少问题涉及到求符合一定条件的整数是多少的问题,这类问题称为数迷问题。这类问题不需要过多的计算,只需要认真细致地分析,有时可以用“凑”、“猜”的方法求解,是一种有趣的数学游戏。二、二、例题精讲例1、有一个四位数,已知其十位数字减去2等于个位数字,其个位数字加上2等于其百位数字,把这个四位数的四个数字反着次序排列所成的数与原数之和等于9988,求这个四位数。分析将这个四位数用十进位数码表示,以便利用它和它的反序数的关系列式来解决问题。解设所求的四位数为A103B102C10D,依题意得A103B102C10DD103C102B10A9988∴AD103BC102BC10AD9988比较等式两边首、末两位数字,得AD8,于是BC18又∵C2D,D2B,∴BC0从而解得A1,B9,C9,D7故所求的四位数为1997评注将整数用十进位数码表示,有助于将已知条件转化为等式,从而解决问题。例2一个正整数N的各位数字不全相等,如果将N的各位数字重新排列,必可得到一个最大数和一个最小数,若最大数与最小数的差正好等于原来的数N,则称N为“新生数”,试求所有的三位“新生数”。分析将所有的三位“新生数”写出来,然后设出最大、最小数,求差后分析求出所有三位“新生数”的可能值,再进行筛选确定。解设N是所求的三位“新生数”,它的各位数字分别为A、B、CA、B、C不全相等,将其各位数字重新排列后,连同原数共得6个三位数CBACABBCABACACBABC,,,,,,不妨设其中的最大数为ABC,则最小数为CBA。由“新生数”的定义,得NCAABCCBACBAABC991010010100由上式知N为99的整数倍,这样的三位数可能为198,297,396,495,594,693,792,891,990。这9个数中,只有954459495符合条件。故495是唯一的三位“新生数”评注本题主要应用“新生数”的定义和整数性质,先将三位“新生数”进行预选,然后再从中筛选出符合题意的数。这也是解答数学竞赛题的一种常用方法。例3从1到1999,其中有多少个整数,它的数字和被4整除将每个数都看成四位数不是四位的,在左面补0,0000至1999共2000个数。千位数字是0或1,百位数字从0到9中选择,十位数字从0到9中选择,各有10种。在千、百、十位数字选定后,个位数字在2到9中选择,要使数字和被4整除,这时有两种可能设千、百、十位数字和为A,在2,3,4,5中恰好有一个数B,使AB被4整除A2、A3、A4、A5除以4,余数互不相同,其中恰好有一个余数是0,即相应的数被4整除;在6,7,8,9中也恰好有一个数CB4,使AC被4整除。因而数字和被4整除的有210102400个再看个位数字是0或1的数。千位数字是0或1,百位数字从0到9中选择,在千、百、个位数字选定后,十位数字在2到9中选择。与上面相同,有两种可能使数字和被4整除。因此数字和被4整除的又有2210280个。在个位数字、十位数字、千位数字均为0或1的数中,百位数字在2到9中选择。有两种可能使数字和被4整除。因此数字和被4整除的又有222216个。最后,千、百、十、个位数字为0或1的数中有两个数,数字和被4整除,即1111和0000,而0000不算。于是1到1999中共有40080161497个数,数字和被4整除。例4圆上有9个数码,已知从某一位起把这些数码按顺时针方向记下,得到的是一个9位数并且能被27整除。证明如果从任何一位起把这些数码按顺时针方向记下的话,那么所得的一个9位数也能被27整除。分析把从某一位起按顺时针方向记下的9位数记为9321AAAA,其能被27整除。只需证明从其相邻一位读起的数1932AAAA也能被27整除即可。证明设从某一位起按顺时针方向记下的9位数为9321AAAA依题意得9321AAAA987281101010AAAA能被27整除。为了证明题目结论,只要证明从其相邻一位读起的数1932AAAA也能被27整除即可。1932AAAA197382101010AAAA∴109321AAAA1932AAAA10987281101010AAAA197382101010AAAA101010109738291AAAA197382101010AAAA13191911100011010AAAA∵1100010009991100010001100011000223而999能被27整除,∴100031也能被27整除。因此,1932AAAA能被27整除。从而问题得证。评注本题中,1091难以分解因数,故将它化为100031,使问题得到顺利解决。这种想办法降低次数的思想,应注意领会掌握。例5证明111111112112113113能被10整除分析要证明111111112112113113能被10整除,只需证明111111112112113113的末位数字为0,即证111111,112112,113113三个数的末位数字和为10。证明111111的末位数字显然为1;112112112428,而1124的末位数字是6,所以112112的末位数字也是6;113113113428113,1134的末位数字是1,所以113113的末位数字是3;∴111111,112112,113113三个数的末位数字和为16310∴111111112112113113能被10整除评注本题是将证明被10整除转化为求三数的末位数字和为10。解决数学问题时,常将未知的问题转化为熟知的问题、复杂的问题转化为简单的问题,这是化归思想。例6设PM表示自然数M的末位数,NPNPAN2求199521AAA的值。解199521AAA112PP222PP199519952PP199521199521222PPPPPP199521199521222PP∵1995101995,又因为连续10个自然数的平方和的末位数都是5∴51995432119952122222222PPP5510又219961995199521PP0∴199521AAA10评注本题用到了连续10个自然数的平方和的末位数都是5这个结论。例71111111请找出6个不同的自然数,分别填入6个问号中,使这个等式成立。第三届华杯赛口试题分析分子为1分母为自然数的分数称作单位分数或埃及分数,它在很多问题中经常出现。解决这类问题的一个基本等式是11111NNNN,它表明每一个埃及分数都可以写成两个埃及分数之和。解首先,12121从这个式子出发,利用上面给出的基本等式,取N2可得613121∴1613121又利用上面给出的基本等式,取N3可得1214131∴1611214121再利用上面给出的基本等式,取N4可得2015141∴1611212015121最后再次利用上面给出的基本等式,取N6可得4217161∴1421711212015121即可找出2,5,20,12,7,42六个自然数分别填入6个问号中,使等式成立。评注1、因为问题要求填入的六个自然数要互不相同,所以每步取N时要适当考虑,如最后一步就不能取N5,因为N5将产生30161,而61已出现了。2、本题的答案是不唯一的,如最后一步取N12,就可得16115611312015121例8如图,在一个正方体的八个顶点处填上1到9这些数码中的8个,每个顶点处只填一个数码,使得每个面上的四个顶点处所填的数码之和都相等,并且这个和数不能被那个未被填上的数码整除。求所填入的8个数码的平方和。第12届“希望杯”数学竞赛培训题解设A是未填上的数码,S是每个面上的四个顶点处所填的数码之和,由于每个顶点都属于3个面,所以6S31234567893A即6S3453A,于是2S45A,可以断定A是奇数而A不整除S,所以A只能是7,则填入的8个数码是1,2,3,4,5,6,8,9,它们的平方和是1222324252628292236例9在右边的加法算式中,每个表示一个数字,任意两个数字都不同。试求A和B乘积的最大值。AB分析先通过运算的进位,将能确定的确定下来,再来分析求出A和B乘积的最大值。解设算式为ABCDEFGHAB显然,G1,D9,H0ACF10B,BC9A,∴A≤62AB19234567835,∴AB8要想AB最大,∵A≤6,∴取A5,B3。此时B6,E8,A2,C4,F7,故AB的最大值为15评注本题是通过正整数的十进制的基本知识先确定G,D,H,然后再通过分析、观察得出A、B的关系,最后求出AB的最大值。例10在一种游戏中,魔术师请一个人随意想一个三位数ABC。并请这个人算出5个数ACB、BAC、BCA、CAB、CBA的和N,把N告诉魔术师,于是魔术师就能说出这个人所想的数ABC。现在设N3194,请你做魔术师,求出数ABC来。第四届美国数学奥林匹克试题解将ABC也加到和N上,这样A、B、C就在每一位上都恰好出现两次,所以有ABCN222ABC①从而3194222ABC31941000,而A、B、C是整数所以15≤ABC≤18因为222153194136,222163194358,222173194580,222183194802其中只有35816能满足①式,所以ABC358评注本题将ABC也加到和N上,目的是使得由A、B、C组成的6个三位数相加,这样A、B、C在每个数位上出现的次数相同。这一技巧在解决数字问题中经常使用。三、三、巩固练习选择题1、两个十位数1111111111和9999999999和乘积的数字中有奇数A、7个B、8个C、9个D、10个2、若自然数N使得作竖式加法NN1N2时均不产生进位现象,便称N为“连绵数”。如因为121314不产生进位现象,所以12是“连绵数”;但131415产生进位现象,所以13不是“连绵数”,则不超过100的“连绵数”共有个A、9B、11C、12D、153、有一列数2,22,222,2222,,把它们的前27个数相加,则它们的和的十位数字是A、9B、7C、5D、34、1993200219952002的末位数字是A、6B、4C、5D、35、设有密码3BIDFOR4FORBID,其中每个字母表示一个十进制数字,则将这个密码破译成数字的形式是6、八位数141283是99的倍数,则,填空题7、若BBBABBA,其中A、B都是1到9的数字,则A,B8、在三位数中,百位比十位小,并且十位比个位小的数共有个。9、在六位数25XY52中YX,皆是大于7的数码,这个六位数被11整除,那么,四位数____51XY。10、4343的末位数字是11、2M20002MM是自然数的末位数字是12、要使等式1181成立,处填入的适当的自然数是解答题13、有一个5位正奇数X,将X中的所有2都换成5,所有的5都换成2,其他数字不变,得到一个新的五位数,记作Y。若X和Y满足等式Y2X1,求X14、有一个若干位的正整数,它的前两位数字相同,且它与它的反序数之和为10879,求原数。15、求出所有满足如下要求的两位数分别乘以2,3,4,5,6,7,8,9时,它的数字和不变。16、求122232421234567892的末位数17、求符合下面算式的四位数ABCDABCD9DCBA18、设123AAA是一个三位数,A3A1,由123AAA减去321AAA得一个三位数123BBB,证明123BBB321BBB108919、对于自然数N,如果能找到自然数A和B,使得NABAB,那么N就称为“好数”。如31111,所以3是“好数”。在1到100这100个自然数中,有多少个“好数”20、AOMEN和MACAO分别是澳门的汉语拼音和英文名字。如果它们分别代表两个5位数,其中不同的字母代表从1到9中不同的数字,相同字母代表相同的数字,而且它们的和仍是一个5位数,求这个和可能的最大值是多少

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