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初一数学竞赛讲座(三)数字数位及数谜问题初一数学奥赛系列教程.doc

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初一数学竞赛讲座(三)数字数位及数谜问题初一数学奥赛系列教程.doc

初一数学竞赛讲座(三)数字、数位及数谜问题一、知识要点1、整数的十进位数码表示一般地,任何一个n位的自然数都可以表示成:122321110101010aaaaannnn其中,ai(i=1,2,…,n)表示数码,且0≤ai≤9,an≠0.对于确定的自然数N,它的表示是唯一的,常将这个数记为N=121aaaann2、正整数指数幂的末两位数字(1)设m、n都是正整数,a是m的末位数字,则mn的末位数字就是an的末位数字。(2)设p、q都是正整数,m是任意正整数,则m4p+q的末位数字与mq的末位数字相同。3、在与整数有关的数学问题中,有不少问题涉及到求符合一定条件的整数是多少的问题,这类问题称为数迷问题。这类问题不需要过多的计算,只需要认真细致地分析,有时可以用“凑”、“猜”的方法求解,是一种有趣的数学游戏。二、例题精讲例1、有一个四位数,已知其十位数字减去2等于个位数字,其个位数字加上2等于其百位数字,把这个四位数的四个数字反着次序排列所成的数与原数之和等于9988,求这个四位数。分析:将这个四位数用十进位数码表示,以便利用它和它的反序数的关系列式来解决问题。解:设所求的四位数为a103+b102+c10+d,依题意得:(a103+b102+c10+d)+(d103+c102+b10+a)=9988∴(a+d)103+(b+c)102+(b+c)10+(a+d)=9988比较等式两边首、末两位数字,得a+d=8,于是b+c18又∵c-2=d,d+2=b,∴b-c=0从而解得:a=1,b=9,c=9,d=7故所求的四位数为1997评注:将整数用十进位数码表示,有助于将已知条件转化为等式,从而解决问题。例2一个正整数N的各位数字不全相等,如果将N的各位数字重新排列,必可得到一个最大数和一个最小数,若最大数与最小数的差正好等于原来的数N,则称N为“新生数”,试求所有的三位“新生数”。分析:将所有的三位“新生数”写出来,然后设出最大、最小数,求差后分析求出所有三位“新生数”的可能值,再进行筛选确定。解:设N是所求的三位“新生数”,它的各位数字分别为a、b、c(a、b、c不全相等),将其各位数字重新排列后,连同原数共得6个三位数:cbacabbcabacacbabc,,,,,,不妨设其中的最大数为abc,则最小数为cba。由“

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