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初一数学竞赛系列训练1答案.doc

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初一数学竞赛系列训练1答案.doc

1初一数学竞赛系列训练1答案1、设这两个数为a,b,由a,b8得a8m,b8n,且m,n1由a,b96得m,n12,又m,n1,所以m3,n4或m4,n3所以ab8mn56,故选A2、由题意知,b既能被4整除,又能被3整除,所以b能被12整除又60能被b整除,所以b=12或60(1)若b=12,则60b=5,因为5与4互质,5与3也互质,所以a、c中至少有一个含有因数5。若a含有因数5,则a20,又c3,所以abc2012335若c含有因数5,则c15,又a4,所以abc4121531取a4,b12,c15,能构成三角形(2)若b=60,则abc>60>31故abc的最小值为31。3、在自然数1,2,3,,100中,能被2整除的数有50个既能被2整除又能被3整除,即能被6整除的数有6,12,18,,96共16个,所以能被2整除但不能被3整除的数有501634个,选B4、∵七位数各位数字之和为32,不能被3整除,∴任意改变七位数末四位数字的顺序得到的所有七位数均不能被3整除,故选D5、1995除以6的余数是3,且a≡1995mod6,所以a除以6的余数也是3,故选C6、由19n14≡10n3mod83知19n14–10n3≡0mod83∴9n11≡0mod83∴9221991183kkkn当k1时,n取最小值8。故选B7、由题意得n1是3、4、5的公倍数,最小的n3451598、∵y整除6又整除15,∴y整除3,所以y1,3.代入可得6,1,15,2,3,5,2,3,15,6,3,5,6,3,15五组解。9、被4整除的最大三位数是996,所求四位数可表示成x996,∵9∣996x,∴x3,于是所求的末位数是3。10、2∣10,3∣102,4∣1020,5∣10200,6∣102000,7∣1020005,8∣10200056,9∣102000564,10∣1020005640,11∣10200056405,于是最小11位数是1020005640511、∵32n89n8∴32n8≡1n0mod8≡1mod8∴32n8被8除的余数是112、设自然数N的末位数是a,则N≡amod10,从而N4≡a4mod10,∴14≡1mod10,24≡6mod10,34≡1mod10,44≡6mod10,54≡5mod10,64≡6mod10,74≡1mod10,84≡6mod10,94≡1mod10,104≡0mod10∴142434441994419954≡199142434441041424344454≡199161656161016165≡1993319≡79≡6mod102故142434441994419954的末位数是613、设两个自然数是a,ba≤b,且a,bd,并设a1da,b1db,则a1,b11,且abda1b16672329.因为23,29都是质数,所以d1或d23或d291若d1,则a,bab120又因为ab667,所以a2667a1200.但此方程中a不能是自然数,所以d≠1.2若d23,则有a1b129a,b23a1,b123a1b1,所以a1b1dba,120∴012029121aa,则1202911aa,把120分解质因数,可得a15,从而b124。所以a235115,b23245523若d29,则有a1b123a,b29a1,b129a1b1,所以a1b1dba,120∴012023121aa,则1202311aa,把120分解质因数,可得a18,从而b115。所以a298232,b2915435综上所得,本题有两组解115,552或232,43514、设这两个数为x,y,则xy40,且x,yx,y56,由于x,yx,yxy,所以yxxyyx,,设x,yd,则xda,ydb,且a,b1,于是可得方程组dabdba56140由于40,568,所以d1,2,4,8当d1,2,4时方程组无整数解,所以d8d8时,方程组变为65abba,可得a2,b3或a3,b2,所以x16或24,y24或16,从而所求的两个数为16和2415、由于五位数H97H4能被12整除,而1234,且3,4互质,所以3∣H97H4且4∣H97H4。∴3∣4H97H,即3∣2H20,经试算H可取2、5或8,又因为6∣7H,所以2∣7H,故H为偶数,所以H取2或8,又因为4∣H97H4,所以4∣7H,所以3H取2,所以这个五位数为42972。16、∵a,b,c,d是互不相等的整数,则xa,xb,xc,xd也是互不相等的整数。∵xaxbxcxd9,所以xa,xb,xc,xd均为9的约数,而91133,则xaxbxcxd11330即abcd4x,所以4∣abcd17、∵99=3211,98=722,97=97,96=253∴96是2533527的最大的两位约数。18、2532≡1mod11,210≡12≡1mod11,240021040≡1401mod11即2400被11除,余数是119、31980419813299041981999041981≡199011981110mod5所以3198041981被5整除

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