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初一数学竞赛系列训练2答案.doc

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初一数学竞赛系列训练2答案.doc

1初一数学竞赛系列训练2答案1、X4,Y5,Z4,U4,故XYZU17选A2、当N2时,3N23N3是3的平方,当N3时,5N25N5是5的平方,当N4时,11N211N11是11的平方,所以选C3、最小的奇质数3,小于50的的最大质数是47,大于60的最小质数是61,34761111故选C4、49是奇数,故两个质数中必有一个是偶数2,从而另一个是47,所以944947121故选B5、∵56A392B237A7B∴A7B含因子2和7∵要求AB取最小值,∴取A7,于是1B=2,B1,∴AB的最小值为86、除2以外的质数都是奇数,从而R是奇质数,于是P和Q必是一奇一偶,又PQ故P2,选A7、848、设这个正整数为A,由题意得A54M2①,A35N2②,②①得N2M289∴NMNM89∴189MNMN解得N45,M44从而A5444219909、设A为质数,B为正奇数,则A2B125,所以A2必为偶数,从而A为偶数所以A2,从而B121,所以AB24210、P3,所以1997P4207811、N除以3所得的余数只可能是0、1、2若余数为0,即N3K,则N33K33K1,N3不是质数若余数为2,即N3K2,则N73K93K3,N7不是质数所以N除以3所得的余数只可能是112、7921212221NNNNNN∵N1与N2是整数,∴N1N2、N1N2都是整数,而79是一个质数,由质数的性质,同时注意到N1N2N1N2所以有N1N279、N1N21,解得N140,N23913、设NCABBCAABC100A10BC100B10CA100C10AB111ABC337ABC要使N是一个完全平方数,只有ABC至少含有3和37这两个因数,由于A、B、C只能取0,1,2,,9A≠0,所以ABC≤2737,所以37∣ABC是不可能的2则对任意的三位数ABC,CABBCAABC都不可能成为完全平方数14、∵XXYY11100XY是一个完全平方数,则11∣100XY又∵100XY99XXY,∴11∣XY而1XY≤18,∴XY11经验证X7,Y4故所求四位数是7744。15、∵A、B、C、D都是质数,且10CD20,于是C可取11、13、17,而D可取13、17、19,又∵CA是大于2的质数,所以A2,注意到CD,则C131若D17,则1721328B2B,即B22B150∴B3若B5不合,舍去。2若D19,则1921328B2B,即B22B240∴B4若B6都不合,舍去。∴A2,B3,C13,D1716、由4M4ABCD2A2B2C2D22AB2CDA2B2C2D22AB2CDA2B2C2D2AB2CD2CD2AB2ABCDABCDABCDABCD①注意到①式最后四个因式都是偶数,所以4M是16的倍数,所以M必是4的倍数,所以M是合数。17、设三位数为A100A10BC,其中A,B,C为0,1,2,,9的整数,且A≠0由题意100A10BCN2,ABCN1,显然C≠0,否则N1,A1不是三位数若C为偶数,则ABCN1也为偶数,则N为奇数,从而N2为奇数,但个位数为偶数,所以这不可能。若C为奇数,由于A是完全平方数,则C只能是1,9,5又由100≤N21000,得10≤N≤31,∴9≤N1≤30,则9≤ABC≤30,当C9时,1≤AB≤3,则A只能是119,219,129,139,319,这五个数都不是完全平方数。当C5时,2≤AB≤6,则A只能是125,215,135,315,225,145,415,155,515,165,615,235,325。其中只有225是完全平方数,但是225152,而225≠151所以不合题意。当C1时,1≤AB≤30,此时三位平方数只有121,361,441一一验证121112,121≠111,441212,441≠211,361192,361191所以所求的三位数为361。18、因为N1是大于3的质数,所以N1不是3的倍数且N1是奇数,故可设N13K1或N13K2K为正整数。当N13K1时,121N3K1219K26K33K22K,所以3121N当N13K2时,121N3K2219K26K333K22K1,所以3121N3又因为N1是奇数,所以又可设N12K1,从而121N2K1214K24K4KK1因为K与K1是连续的整数,所以84KK1,即8121N由于3与8互质,所以24121N,同理24122N综上所述,M与N的最大公约数至少为24。19、当N41KK1,2,时,41N2N41,所以N2N41是合数20、先研究使得P和8P21都是质数的P。若P3,则可设P3K1,则8P2183K121324K216K3,由K为正整数可知24K216K31于是8P21是合数,所以P只能是2或3若P2,8P2133是合数,于是P2,若P3,8P2173是质数,所以P3当P3时,8P2P271,因为71是质数,于是本题得证。

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