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高考数学不等式专题训练.doc.doc

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高考数学不等式专题训练.doc.doc

上海高考网www.ujiao.net更多资源关注上海高考网www.ujiao.net(一)不等式1.排序不等式)设,...21naaanbbb...21njjj,...,,21是n,...,2,1的一个排列,则..........221121112121nnjnjjnnnbababababababababan2.均值不等式设naaa,......,,21是n个正数,则naaan...21....21nnaaa3.(柯西不等式)设,...2,1,niRbaii则.211212iniiniiniibaba等号成立当且仅当存在R,使得,...,2,1niabii.从历史角度看,柯西不等式又可称柯西布理可夫斯基席瓦兹不等式变形(1)设RbRaii,则.11212niiniiniiibaba(2)设iiba,同号,且,0,iiba则.1121niiiniiniiibaaba4.(Jensen不等式)若xf是,ba上的凸函数,则对任意,,...,,21baxxxn....1...2121nnxfxfxfnnxxxf5.(幂均值不等式)设0Rai则.......121121MnaaanaaaMnn证作变换令iixa,则1iixa则.......12121nxxxxxxnMMnn因0所以,1则函数xxf是,0上的凸函数,应用Jensen不等式即得。6.(切比雪夫不等式)设两个实数组naaa...21,nbbb...21则上海高考网www.ujiao.net更多资源关注上海高考网www.ujiao.net....1...12211111121nnniiniinnnbababannbnabababan(该不等式的证明只用排序不等式及niiniiba11的表达式就可得证)7.(一个基础不等式)yxyx11其中1,0,0,yx证若yx,中有一个为零,则结论成立。设yx,均不为零,则原不等式等价于不等式.1yxyx令,tyx则上式.1tt记,1tttf则1ttf当0,1tft0,10tft且,01f所以函数tf在1t取得最小值0,从而可得证结论。8.(Holder不等式)设.,...2,10,nkbakk1,qp且111qp,则qnkqkpnkpkknkkbaba11111(等号成立当且仅当qkpktba)证在不等式7中令qkpkByAxp,,1则有.11qkpkkkBqApBA所以nkqknkpkknkkBqApBA11111令nkqqkkknkppkkkbbBaaA1111,则得证Holder不等式。9.与对数函数有关的一个不等式xxxx1ln1,.0x(该不等式的证明利用导数的符号得出函数的单调性)10.三角函数有关的不等式xxxtansin2,0x11。舒尔(Schur)不等式设Rzyx,,,则0yzxzzzyxyyzxyxx证明首先考虑设Rzyx,,则0yzxzzzyxyyzxyxxrrr由于对称性可设0zyx上海高考网www.ujiao.net更多资源关注上海高考网www.ujiao.net(1)当0r时左边021222222xzzyyxzxyzxyzyxyzxzzyxyzxyx所以结论成立(2)当0r时0zy,0zx,0rryx左边02yxyzyyxyzxyxyzyyxyzxyxxzxzyzzyyxyzxyxxrrrrrrrr结论得证(3)当0r时0yx,0zx,0rryz左边02zyyzyzxyzyyxyzxzyzzyyxyzxzyzzyyxyzxyxxrrrrrrrr结论得证。当1r时有0yzxzzzyxyyzxyxx12。闵可夫斯基(Minkowski)不等式如果nxxx,......,,21与nyyy,......,,21都是非负实数1p,那么pnipipnipippiniiyxyx111111证明11piiipiiipiiyxyyxxyx应用Holder不等式得ppiippipiiiyxxyxx1111,ppiippipiiiyxyyxy1111。从而得证。例1.设Rcba,,且,1abc求证.333222cbacba证(1)由柯西不等式,2222333cbacbacba而3222222222231113abccbacbacbacba由条件即得cbacba222所以结论成立。(2)由幂均值不等式(32,1).33333332222132222222122222223222333cbacbacbacbacbacbacba(3)由切比雪夫不等式,不妨设cba,则.3222222333cbacbacbacba上海高考网www.ujiao.net更多资源关注上海高考网www.ujiao.net例2.设,1.,...,2,1,01niiixnix求证.1111nxxxniiniii证左边niiniixx11111(由柯西不等式的变形.111121niiniixnx)又212112111niiininixx即111nnxnii所以.111111211nnnnnnnxxniinii又niiniixxn12122211...11结合上述两式得证结论。例3已知cba,,为满足1cba的正数,求证.427111abccabbca证明由柯西不等式的变形知.191111112abcabcabcabccbaabccabbca而31312cbaabcabc所以原不等式成立。4.cba,,是正实数,求证.8222222222222222bacbacacbacbcbacbaI证明显然22222222224224422cbacbcbacbacbcbaacbacba同理2222224222acbacacbacbacb,2222224222bacbabacbacbac所以可得2222222424246bacbabacacbacacbcbacbcbaI若bacacbcba4,4,4(),则323222223222222cbacbcbacbcba即222322cbacba同理222322cbaac,上海高考网www.ujiao.net更多资源关注上海高考网www.ujiao.net222322cbabac所以83121522121529625336222266636243243243624242462222222222222222222222cbacbacbacbacbacbacbaacbcabcbababaccbaacacbcbacbcbabacbabacacbacacbcbacbcbaI(因为.31112222222222cbacbacba)若上述假设()不成立,不妨设cba4,则22422222222cbacbcbacbacba由柯西不等式1112222222acbbacbb故322222acbacb,同理.322222bacbac所以.8I综上可知8I,当且仅当cba时等号成立。5.若zyx,,均大于1,求证.2111111222222yxzxzyzyxJ证明事实上2222222222222222111111111111111zyxyxzxzyzyxyxzxzyzyx故.232111232666222911111132222222222222222222222222222222222222222224442222222222zyxxzzyyxzyxxzzyyxzyxxzzyyxzyxxzzyyxzyxxzzyyxzyxxzzyyxzyxyxzxzyzyxzyxJ(当且仅当1zyx时等号成立)6.已知cba,,为正实数,证明若4222abccba,则.3cba证显然cba,,在区间0,2上,设cos2a,cos2b2,0,上海高考网www.ujiao.net更多资源关注上海高考网www.ujiao.net当c为正数时abccba222为增函数因此,对任意的正数ba,至多有一正数c满足4222abccba。下面证明cos2cos2c满足4222abccba事实上.1coscossinsincoscossinsincoscos2coscos2sinsincoscos2sinsincoscoscoscoscoscoscos2coscoscos22222222222222222若2,则0cos2是c满足条件的唯一值。下面证明,若2则不存在满足条件的c。事实上,满足条件的c一定满足下面方程01coscos4coscos4222cc此时上面方程若有解21,cc,则01coscos40coscos4222121cccc从而21,cc均小于零,所以不存在满足条件的c。因此cos2,cos2,cos2cba(,,是一个锐角三角形的三个内角)则33cos32coscoscos2cba(上式利用xcos是2,0上的凹函数)所以结论得证。7.已知正数naaa,......,,21,nbbb,......,,21满足条件1............2121nnbbbaaa。求nnnbaabaabaa222221121......的最小值。解先证明一个不等式tyzxtzyx222对所有的正数成立(事实上,上式等价于,222ytzxtyyztx即02yzxt显然成立)于是,利用1n次如上不等式,得21..................2121221222221121nnnnnnbbbaaaaaabaabaabaa当nbbbaaann1............2121时等号成立。故所求最小值为.21例8设zyx,,为正数,且1543zyx,求xzzyyx111的最小值。解由1543zyx,即132xzzyyx。则由柯西不等式的变形知上海高考网www.ujiao.net更多资源关注上海高考网www.ujiao.net.321323213322111122222xzzyyxxzzyyxxzzyyx且当33221xzzyyx及1543zyx时等号成立故xzzyyx111的最小值为.3212例3.设1,,,,abcdRdcba求证211111111addccbba证设xwdwzczybyxa,,,Rwzyx,,,则原不等式等价于.211111111yxxwxwwzwzzyzyyx即.2111111111111yxwxwzwzyzyx由柯西不等式.11111111111111111111111111112yxwxwzwzyzyxwzyxyxwxwzwzyzyx将上式分子与分母展开,应用柯西不等式可证原不等式成立。9.设正数zyxcba,,,,,满足caybxbcxazabzcy,,求函数zzyyxxzyxf111,,222最小值解由已知条件可解abcbazacbcaybcacbx222222222222令222222222,,cbabcaacb则,,,,,Rzyx从而,,2222zyxf上海高考网www.ujiao.net更多资源关注上海高考网www.ujiao.net下面估计.21,,zyxf只需要证明.342212222利用均值不等式222从而结论成立即.21,,zyxf且等号当21zyx即cba时成立。所以,,zyxf的最小值为.2110.证明对任意自然数n,成立不等式.3....432n证设.....1nkkak因为12kkkaa如果1kak,则.21221kkkkaakk所以,如果32a,则由数学归纳法可知.1nan也就是nnn1成立,但事实上显然不成立,所以32a不成立。也就是原不等式得证。11.非负数naaa,...,,21中最大的一个为a,证明不等式4......222122221anaaanaaann(并给出等号成立的条件)证设....21Mnaaan则.424...2222222221aMaaMaMMnaaan(因为naaaanaaaniaaannii......,,..,2,121222212)等号成立,第一iiaaa2对每个i成立即0ia或者aai第二.2aM这两种情况都成立只有如下两种情况(1)所有ia均为0(2)n为偶数,2n个,0ia其余的2n个.0aaai12.已知2,...,2,1,nniRxi满足0,1||11niniiixx,求证.2121||1nixnii证(1)设nxxx,...,,21中大于0的实数有lkkkxxx,...,,21,不大于0的有nllkkkxxx,...,,21,则由已知条件得.212111nliklikiixx所以上海高考网www.ujiao.net更多资源关注上海高考网www.ujiao.net212111111nxnxkxkxixnlikliknliikliikniiiiii另一方面.2121212111111nnxxnkxkxixnlikliknliikliikniiiiii所以.2121||1nixnii(2)记kkxxxS...21由0,1||11niniiixx得1,..,2,121||,0niSSin不妨设,00S则,11NiniSSxiii,于是.1111111111111iiSiSiSSSiixniiniiniiiininii从而.212111121111||||11111niiiiSixniniinii13.非负实数da,和正数cb,满足dacb,求证.212bacdcb证明因为dacb,则知21dcbacb,不妨设dcb,则.21221211121badcdcbabadcdcdcdcbadccbacdccbbacdcb事实上如果dcba,则.21221211121dcbabadcdcbababadcbadcbbabbacbbacdcb且212是可达的(如0,2,12,12dcba即可)。14.若zyx,,为非负实数,满足1zyx,证明.27720xyzzxyzxy证明由于题中条件与结论是关于zyx,,对等,所以可设zyx,由1zyx,则有31z,则xyxyz322于是.02xyzzxyzxy

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