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高考数学不等式专题训练.doc.doc

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高考数学不等式专题训练.doc.doc

上海高考网WWWUJIAONET更多资源关注上海高考网WWWUJIAONET(一)不等式1.排序不等式)设,21NAAANBBB21NJJJ,,,21是N,,2,1的一个排列,则221121112121NNJNJJNNNBABABABABABABABABAN2.均值不等式设NAAA,,,21是N个正数,则NAAAN2121NNAAA3.(柯西不等式)设,2,1,NIRBAII则211212INIINIINIIBABA等号成立当且仅当存在R,使得,,2,1NIABII从历史角度看,柯西不等式又可称柯西布理可夫斯基席瓦兹不等式变形(1)设RBRAII,则11212NIINIINIIIBABA(2)设IIBA,同号,且,0,IIBA则1121NIIINIINIIIBAABA4.(JENSEN不等式)若XF是,BA上的凸函数,则对任意,,,,21BAXXXN12121NNXFXFXFNNXXXF5.(幂均值不等式)设0RAI则121121MNAAANAAAMNN证作变换令IIXA,则1IIXA则12121NXXXXXXNMMNN因0所以,1则函数XXF是,0上的凸函数,应用JENSEN不等式即得。6.(切比雪夫不等式)设两个实数组NAAA21,NBBB21则上海高考网WWWUJIAONET更多资源关注上海高考网WWWUJIAONET112211111121NNNIINIINNNBABABANNBNABABABAN(该不等式的证明只用排序不等式及NIINIIBA11的表达式就可得证)7.(一个基础不等式)YXYX11其中1,0,0,YX证若YX,中有一个为零,则结论成立。设YX,均不为零,则原不等式等价于不等式1YXYX令,TYX则上式1TT记,1TTTF则1TTF当;0,1TFT0,10TFT且,01F所以函数TF在1T取得最小值0,从而可得证结论。8.(HOLDER不等式)设,2,10,NKBAKK1,QP且111QP,则QNKQKPNKPKKNKKBABA11111(等号成立当且仅当QKPKTBA)证在不等式7中令QKPKBYAXP,,1则有11QKPKKKBQAPBA所以NKQKNKPKKNKKBQAPBA11111令NKQQKKKNKPPKKKBBBAAA1111,则得证HOLDER不等式。9与对数函数有关的一个不等式XXXX1LN1,0X(该不等式的证明利用导数的符号得出函数的单调性)10.三角函数有关的不等式XXXTANSIN2,0X11。舒尔(SCHUR)不等式设RZYX,,,则0YZXZZZYXYYZXYXX证明首先考虑设RZYX,,则0YZXZZZYXYYZXYXXRRR由于对称性可设0ZYX上海高考网WWWUJIAONET更多资源关注上海高考网WWWUJIAONET(1)当0R时左边021222222XZZYYXZXYZXYZYXYZXZZYXYZXYX所以结论成立;(2)当0R时0ZY,0ZX,0RRYX左边02YXYZYYXYZXYXYZYYXYZXYXXZXZYZZYYXYZXYXXRRRRRRRR结论得证;(3)当0R时0YX,0ZX,0RRYZ左边02ZYYZYZXYZYYXYZXZYZZYYXYZXZYZZYYXYZXYXXRRRRRRRR结论得证。当1R时有0YZXZZZYXYYZXYXX12。闵可夫斯基(MINKOWSKI)不等式如果NXXX,,,21与NYYY,,,21都是非负实数1P,那么PNIPIPNIPIPPINIIYXYX111111证明11PIIIPIIIPIIYXYYXXYX应用HOLDER不等式得PPIIPPIPIIIYXXYXX1111,PPIIPPIPIIIYXYYXY1111。从而得证。例1.设RCBA,,且,1ABC求证333222CBACBA证(1)由柯西不等式,2222333CBACBACBA而3222222222231113ABCCBACBACBACBA由条件即得CBACBA222所以结论成立。(2)由幂均值不等式(32,1)33333332222132222222122222223222333CBACBACBACBACBACBACBA(3)由切比雪夫不等式,不妨设CBA,则3222222333CBACBACBACBA上海高考网WWWUJIAONET更多资源关注上海高考网WWWUJIAONET例2.设,1,,2,1,01NIIIXNIX求证1111NXXXNIINIII证左边NIINIIXX11111(由柯西不等式的变形111121NIINIIXNX)又212112111NIIININIXX即111NNXNII所以111111211NNNNNNNXXNIINII又NIINIIXXN1212221111结合上述两式得证结论。例3已知CBA,,为满足1CBA的正数,求证427111ABCCABBCA证明由柯西不等式的变形知191111112ABCABCABCABCCBAABCCABBCA而31312CBAABCABC所以原不等式成立。4.CBA,,是正实数,求证8222222222222222BACBACACBACBCBACBAI证明显然22222222224224422CBACBCBACBACBCBAACBACBA同理2222224222ACBACACBACBACB,2222224222BACBABACBACBAC所以可得2222222424246BACBABACACBACACBCBACBCBAI若BACACBCBA4,4,4(),则323222223222222CBACBCBACBCBA即222322CBACBA同理222322CBAAC,上海高考网WWWUJIAONET更多资源关注上海高考网WWWUJIAONET222322CBABAC所以83121522121529625336222266636243243243624242462222222222222222222222CBACBACBACBACBACBACBAACBCABCBABABACCBAACACBCBACBCBABACBABACACBACACBCBACBCBAI(因为31112222222222CBACBACBA)若上述假设()不成立,不妨设CBA4,则22422222222CBACBCBACBACBA由柯西不等式1112222222ACBBACBB故322222ACBACB,同理322222BACBAC所以8I综上可知8I,当且仅当CBA时等号成立。5.若ZYX,,均大于1,求证2111111222222YXZXZYZYXJ证明事实上2222222222222222111111111111111ZYXYXZXZYZYXYXZXZYZYX故232111232666222911111132222222222222222222222222222222222222222224442222222222ZYXXZZYYXZYXXZZYYXZYXXZZYYXZYXXZZYYXZYXXZZYYXZYXXZZYYXZYXYXZXZYZYXZYXJ(当且仅当1ZYX时等号成立)6已知CBA,,为正实数,证明若4222ABCCBA,则3CBA证显然CBA,,在区间0,2上,设COS2A,COS2B2,0,上海高考网WWWUJIAONET更多资源关注上海高考网WWWUJIAONET当C为正数时ABCCBA222为增函数因此,对任意的正数BA,至多有一正数C满足4222ABCCBA。下面证明COS2COS2C满足4222ABCCBA事实上1COSCOSSINSINCOSCOSSINSINCOSCOS2COSCOS2SINSINCOSCOS2SINSINCOSCOSCOSCOSCOSCOSCOS2COSCOSCOS22222222222222222若2,则0COS2是C满足条件的唯一值。下面证明,若2则不存在满足条件的C。事实上,满足条件的C一定满足下面方程01COSCOS4COSCOS4222CC此时上面方程若有解21,CC,则01COSCOS40COSCOS4222121CCCC从而21,CC均小于零,所以不存在满足条件的C。因此COS2,COS2,COS2CBA(,,是一个锐角三角形的三个内角)则33COS32COSCOSCOS2CBA(上式利用XCOS是2,0上的凹函数)所以结论得证。7已知正数NAAA,,,21,NBBB,,,21满足条件12121NNBBBAAA。求NNNBAABAABAA222221121的最小值。解先证明一个不等式TYZXTZYX222对所有的正数成立(事实上,上式等价于,222YTZXTYYZTX即02YZXT显然成立)于是,利用1N次如上不等式,得212121221222221121NNNNNNBBBAAAAAABAABAABAA当NBBBAAANN12121时等号成立。故所求最小值为21例8设ZYX,,为正数,且1543ZYX,求XZZYYX111的最小值。解由1543ZYX,即132XZZYYX。则由柯西不等式的变形知上海高考网WWWUJIAONET更多资源关注上海高考网WWWUJIAONET321323213322111122222XZZYYXXZZYYXXZZYYX且当33221XZZYYX及1543ZYX时等号成立故XZZYYX111的最小值为3212例3.设1,,,,ABCDRDCBA求证211111111ADDCCBBA证设XWDWZCZYBYXA,,,RWZYX,,,则原不等式等价于211111111YXXWXWWZWZZYZYYX即2111111111111YXWXWZWZYZYX由柯西不等式11111111111111111111111111112YXWXWZWZYZYXWZYXYXWXWZWZYZYX将上式分子与分母展开,应用柯西不等式可证原不等式成立。9设正数ZYXCBA,,,,,满足CAYBXBCXAZABZCY,,求函数ZZYYXXZYXF111,,222最小值解由已知条件可解ABCBAZACBCAYBCACBX222222222222令222222222,,CBABCAACB则,,,,,RZYX从而,,2222ZYXF上海高考网WWWUJIAONET更多资源关注上海高考网WWWUJIAONET下面估计21,,ZYXF只需要证明342212222利用均值不等式222从而结论成立即21,,ZYXF且等号当21ZYX即CBA时成立。所以,,ZYXF的最小值为2110证明对任意自然数N,成立不等式3432N证设1NKKAK因为12KKKAA如果1KAK,则21221KKKKAAKK所以,如果32A,则由数学归纳法可知1NAN也就是NNN1成立,但事实上显然不成立,所以32A不成立。也就是原不等式得证。11非负数NAAA,,,21中最大的一个为A,证明不等式4222122221ANAAANAAANN(并给出等号成立的条件)证设21MNAAAN则4242222222221AMAAMAMMNAAAN(因为NAAAANAAANIAAANNII,,,2,121222212)等号成立,第一IIAAA2对每个I成立即0IA或者;AAI第二2AM这两种情况都成立只有如下两种情况(1)所有IA均为0;(2)N为偶数,2N个,0IA其余的2N个0AAAI12已知2;,,2,1,NNIRXI满足0,1||11NINIIIXX,求证2121||1NIXNII证(1)设NXXX,,,21中大于0的实数有LKKKXXX,,,21,不大于0的有NLLKKKXXX,,,21,则由已知条件得21;2111NLIKLIKIIXX所以上海高考网WWWUJIAONET更多资源关注上海高考网WWWUJIAONET;212111111NXNXKXKXIXNLIKLIKNLIIKLIIKNIIIIII另一方面2121212111111NNXXNKXKXIXNLIKLIKNLIIKLIIKNIIIIII所以2121||1NIXNII(2)记KKXXXS21由0,1||11NINIIIXX得1,,2,121||,0NISSIN不妨设,00S则,11NINISSXIII,于是1111111111111IISISISSSIIXNIINIINIIIININII从而212111121111||||11111NIIIISIXNINIINII13非负实数DA,和正数CB,满足DACB,求证212BACDCB证明因为DACB,则知21DCBACB,不妨设DCB,则21221211121BADCDCBABADCDCDCDCBADCCBACDCCBBACDCB事实上如果DCBA,则21221211121DCBABADCDCBABABADCBADCBBABBACBBACDCB且212是可达的(如0,2,12,12DCBA即可)。14若ZYX,,为非负实数,满足1ZYX,证明27720XYZZXYZXY证明由于题中条件与结论是关于ZYX,,对等,所以可设ZYX,由1ZYX,则有31Z,则XYXYZ322于是02XYZZXYZXY

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