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竞赛讲座 28代数式的变形(整式与分式).doc.ppt

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竞赛讲座 28代数式的变形(整式与分式).doc.ppt

竞赛讲座28-代数式的变形(整式与分式)在化简、求值、证明恒等式(不等式)、解方程(不等式)的过程中,常需将代数式变形,现结合实例对代数式的基本变形,如配方、因式分解、换元、设参、拆项与逐步合并等方法作初步介绍1.配方在实数范围内,配方的目的就是为了发现题中的隐含条件,以便利用实数的性质来解题例1(1986年全国初中竞赛题)设A、B、C、D都是整数,且MA2B2,NC2D2,MN也可以表示成两个整数的平方和,其形式是______解MNA2B2C2D2A2C22ABCDB2D2A2D2B2C22ABCDACBD2ADBC2ACBD2ADBC2,所以,MN的形式为ACBD2ADBC2或(ACBD)2ADBC2例2(1984年重庆初中竞赛题)设X、Y、Z为实数,且YZ2XY2ZX2YZ2X2ZX2Y2XY2Z2求的值解将条件化简成2X22Y22Z22XY2X22YZ0∴XY2XZ2YZ20∴XYZ,∴原式12因式分解前面已介绍过因式分解的各种典型方法,下面再举几个应用方面的例子例31987年北京初二数学竞赛题如果A是X23X10的根,试求的值解∵A为X23X10的根,∴A23A10,,且1原式说明这里只对所求式分子进行因式分解,避免了解方程和复杂的计算3换元换元使复杂的问题变得简洁明了例4设ABC3M,求证MA3MB3MC33MAMBMC0证明令PMA,QMB,RMC则PQR0P3Q3R33PQRPQRP2Q2R2PQQRRP0∴P3Q3R33PQR0即MA3MB3MC33MAMBMC0例5民主德国竞赛试题若,试比较A、B的大小解设则∵2X>Y∴2XY>0,又Y>0,可知∴A>B4设参当已知条件以连比的形式出现时,可引进一个比例系数来表示这个连比例6若求XYZ的值解令则有XKAB,YBCKZCAK,∴XYZABKBCKCAK0例7已知A、B、C为非负实数,且A2B2C21,,求ABC的值解设ABCK则ABKC,BCKA,ACKB由条件知即∴A2KA3B2KB3C2KC33ABC,∴A2B2C2K3ABCA3B3C3∵A2B2C21,∴KA3B3C33ABCAB33A2B3AB2C33ABCABCAB2C2ABC3ABABC,ABCA2B2C2ABBCCA,∴KKA2B2C2ABBCAC,∴KA2B2C2ABBCCA10,∴KABBCAC0若K0,就是ABC0若ABBCAC0,即ABC2A2B2C20,∴ABC21,∴ABC1综上知ABC0或ABC15“拆”、“并”和通分下面重点介绍分式的变形(1)分离分式为了讨论某些用分式表示的数的性质,有时要将一个分式表示为一个整式和一个分式的代数和例8(第1届国际数学竞赛试题)证明对于任意自然数N,分数皆不可约,证明如果一个假分数可以通约,化为带分数后,它的真分数部分也必定可以通约而显然不可通约,故不可通约,从而也不可通约(2)表示成部分分式将一个分式表示为部分分式就是将分式化为若干个真分式的代数和例9设N为正整数,求证①②证明令通分,比较①、②两式,得AB0,且AB1,即AB∴令K1,2,,N得3通分通分是分式中最基本的变形,例9的变形就是以通分为基础的,下面再看一个技巧性较强的例子例101986年冬令营赛前训练题已知求证证明6其他变形例111985年全国初中竞赛题已知XX≠0,1和1两个数,如果只许用加法、减法和1作被除数的除法三种运算(可用括号),经过六步算出X2那么计算的表达式是______解X2XX1X或X2XX1X例12(第3届美国中学生数学竞赛题)设A、B、C、D都是正整数,且A5B4,C3D2,CA19,求DB解由质因数分解的唯一性及A5B4,C3D2,可设AX4,CY2,故19CAY2X4YX2YX2解得X3Y10∴DBY3X5757练习七1选择题(1)(第34届美国数学竞赛题)把相乘,其乘积是一个多项式,该多项式的次数是()(A)2(B)3(C)6(D)7(E)8(3)已知则的值是()A1B0C1D3(3)(第37届美国中学数学竞赛题)假定X和Y是正数并且成反比,若X增加了P,则Y减少了()(A)PBCDE2填空题(1)(X3)5AX5BX4CX3DX2EXF,则ABCDEF________,BCDE_______2若_____3已知Y12X,Y2,则Y1Y1986______3若(XZ)24XYYZ0,试求XZ与Y的关系4(1985年宁夏初中数学竞赛题)把写成两个因式的积,使它们的和为,求这两个式子5若X3Y5Z0,2X4Y7Z0求的值6已知X,Y,Z为互不相等的三个数,求证7已知A2C22B2,求证8设有多项式FX4X44PX34QX22QM1XM12,求证如果FX的系数满足P24Q4M10,那么,FX恰好是一个二次三项式的平方9设ABBCCDDAABCDBCDCDADABABC求证ACBD练习七1CCE2132,2102323略456略,7略8∵P24Q4M10,∴4QP24M10,∴FX4X44PX3P24M1X22PM1XM124X4P2X2M124PX34M1X22PM1X2X2PXM129令ABP,CDQ,由条件化为PQBCDAPQCDPADQ,展开整理得CDP2ACBDPQABQ20,即CPBQDPAQ0于是CPBQ或DPAQ,即CABBCA或DABACD均可得出ACBD

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