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中学数学竞赛系列讲座讲稿及练习(第3讲)求代数式的值.doc.doc

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中学数学竞赛系列讲座讲稿及练习(第3讲)求代数式的值.doc.doc

地址远大路世纪城远大园五区9号楼电话88594404第三讲求代数式的值用具体的数代替代数式里的字母进行计算,求出代数式的值,是一个由一般到特殊的过程.具体求解代数式值的问题时,对于较简单的问题,代入直接计算并不困难,但对于较复杂的代数式,往往是先化简,然后再求值.下面结合例题初步看一看代数式求值的常用技巧.例1求下列代数式的值分析上面两题均可直接代入求值,但会很麻烦,容易出错.我们可以利用已经学过的有关概念、法则,如合并同类项,添、去括号等,先将代数式化简,然后再求值,这样会大大提高运算的速度和结果的准确性.04a3b2a2b5413221225162519.2原式3x2yxyz2xyzx2z4x23x2yxyz5x2z3x2yxyz2xyzx2z4x2z3x2yxyz5x2z3x2y3x2yxyz2xyzxyzx2z4x2z5x2z地址远大路世纪城远大园五区9号楼电话885944042xyz2x2z2123212312618.说明本例中1的化简是添括号,将同类项合并后,再代入求值2是先去括号,然后再添括号,合并化简后,再代入求值.去、添括号时,一定要注意各项符号的变化.例2已知ab1,求a33abb3的值.分析由已知条件ab1,我们无法求出a,b的确定值,因此本题不能像例1那样,代入a,b的值求代数式的值.下面给出本题的五种解法.解法1由ab1得ab1,代入所求代数式化简a33abb3b133b1bb3b33b23b13b23bb31.说明这是用代入消元法消去a化简求值的.解法2因为ab1,所以原式a3b33ababa2abb23ab1a2abb23aba2abb23aba22abb2ab2121.说明这种解法是利用了乘法公式,将原式化简求值的.解法3因为ab1,所以地址远大路世纪城远大园五区9号楼电话88594404原式a33ab1b3a33ababb3a33a2b3ab2b3ab3131.说明这种解法巧妙地利用了1ab,并将3ab化为3ab13abab,从而凑成了ab3.解法4因为ab1,所以ab3131,即a33ab23a2bb31,a3b33abab1,所以a3b33ab11,即a3b33ab1.说明这种解法是由ab1,演绎推理出所求代数式的值.解法5a33abb3a33ab23a2bb33ab23a2b3abab33abab3ab133ab13ab1.地址远大路世纪城远大园五区9号楼电话88594404说明这种解法是添项,凑出ab3,然后化简求值.通过这个例题可以看出,求代数式的值的方法是很灵活的,需要认真思考,才能找到简便的算法.在本例的各种解法中,用到了几个常用的乘法公式,现总结如下ab2a22abb2ab2a22abb2ab3a33a2b3ab2b3ab3a33a2b3ab2b3a3b3aba2abb2a3b3aba2abb2.解由已知,xy2xy,代入所求代数式中,消去xy,然后化简.所以解因为a3b,所以c5a53b15b.地址远大路世纪城远大园五区9号楼电话88594404将a,c代入所求代数式,化简得解因为x52,|m|都是非负数,所以由1有由2得y13,所以y2.下面先化简所求代数式,然后再代入求值.地址远大路世纪城远大园五区9号楼电话88594404x2y5m2x10xy2522010522250例6如果4a3b7,并且3a2b19,求14a2b的值.分析此题可以用方程组求出a,b的值,再分别代入14a2b求值.下面介绍一种不必求出a,b的值的解法.解14a2b27ab24a3a3b2b24a3b3a2b271952.|x||x1||x2||x3||x4||x5|的值.分析所求代数式中六个绝对值的分界点,分别为0,1,2,据绝对值的意义去掉绝对值的符号,将有3个x和3个x,这样将抵消掉x,使求值变得容易.地址远大路世纪城远大园五区9号楼电话88594404原式xx1x2x3x4x5123459.说明实际上,本题只要x的值在2与3之间,那么这个代数式的值就是9,即它与x具体的取值无关.例8若xyz347,且2xyz18,那么x2yz的值是多少分析xyz347可以写成的形式,对于等比,我们通常可以设它们的比值为常数k,这样可以给问题的解决带来便利.x3k,y4k,z7k.因为2xyz18,所以23k4k7k18,所以k2,所以x6,y8,z14,所以地址远大路世纪城远大园五区9号楼电话88594404x2yz616148.例9已知xy11,求xy12xy2xy2xy的值.分析本题是可直接代入求值的.下面采用换元法,先将式子改写得较简洁,然后再求值.解设xym,xyn.原式n12m2m2nn12m22m2mn4nn22n14n2m2mnm2n122mn1m2n1m2111112221211222100210000.说明换元法是处理较复杂的代数式的常用手法,通过换元,可以使代数式的特征更加突出,从而简化了题目的表述形式.练习三地址远大路世纪城远大园五区9号楼电话885944041.求下列代数式的值1a43ab6a2b23ab24ab6a2b7a2b22a4,其中a2,b1的值.3.已知a3.5,b0.8,求代数式|65b||3a2b||8b1|的值.4.已知a123a24ab4b220,求a,b的值.5.已知

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