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第18章 勾股定理 学案.doc

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第18章 勾股定理 学案.doc

八年级下册章庄中学审定祝彪第1页共7页18.1勾股定理(1)班级姓名座号一、学习目标了解勾股定理的推导过程,牢记勾股定理并能利用它进行简单的计算.二、学习重难点重点勾股定理及及其应用。难点理解勾股定理的推导。三、学习过程(一)阅读课本第64页,并完成思考题1、毕达哥拉斯在地板上的发现(1)图中线条加黑的三个小正方形围成了一个(2)若设两个较小正方形边长均为a,则它们的面积都为,设较大的正方形边长为c,则它的面积为。(3)再次观察,可以发现两个小正方形的面积和较大的正方形面积,即有+。(4)因为三个正方形边长恰好是围成的等腰直角三角形的三条边,由+可知,等腰直角三角形的两条边的平方等于边的平方。2、由第1题知等腰三角形具有上述性质,是否一般的直角三角形也具有这样的性质呢观察下图,尝试探究.(如图,每个小方格的面积均为1)观察图(1)正方形A中含有____个小方格,即A的面积是_____个单位面积正方形B中含有_____个小方格,即B的面积是_____个单位面积正方形C中含有______个小方格,即C的面积是________个单位面积.图(2)正方形A中含有____个小方格,即A的面积是_____个单位面积正方形B中含有_____个小方格,即B的面积是_____个单位面积正方形C中含有______个小方格,即C的面积是________个单位面积.3、根据上述观察分析,你能得出什么结论.(提示以斜边为边长的正方形的面积,等于某个正方形的面积减去四个直角三角形的面积.)(二)归纳直角三角形三边关系勾股定理用公式表示为。变式①②。直角三角形性质归纳如图,直角△ABC的主要性质是∠C90°,(用几何语言表示)(1)两锐角之间的关系(2)若∠B30°,则∠B的对边和斜边(3)直角三角形斜边上的等于斜边的。(4)三边之间的关系。(5)已知在Rt△ABC中,∠B90°,a、b、c是△ABC的三边,则c。(已知a、b,求c)a。(已知b、c,求a)b。(已知a、c,求b).(三)例题精讲例1、如图,一根旗杆在离地面9m处断裂,旗杆顶部落在离旗杆底部12m处,旗杆折断之前有多高例2在Rt△ABC,∠C90°⑴已知ab5,求c。⑵已知a1,c2,求b。⑶已知c17,b8,求a。⑷已知a∶b1∶2,c5,求a。⑸已知b15,∠A30°,求a,c。(四)课堂基础训练1、求出下列直角三角形中未知的边2、(1)在Rt△ABC,∠C90°,a8,b15,则c。(2)在Rt△ABC,∠C90°,a6,b8,则c。(3)已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm,,则第三边长为。3、如图所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形边长为7cm,则正方形A,B,C,D的面积之和为cm2。ABCABC图(1)图(2)ACBabc1030°351045°81144xABCD7cmFE第3题八年级下册章庄中学审定祝彪第2页共7页18.1勾股定理(2)班级姓名座号一、学习目标能运用勾股定理解决简单的实际问题.二、学习重难点重难点运用勾股定理及方程的思想解决简单的实际问题。三、知识回顾1、直角三角形性质有如图,直角△ABC的主要性质是∠C90°,(用几何语言表示)(1)两锐角之间的关系(2)若∠B30°,则∠B的对边和斜边(3)直角三角形斜边上的等于斜边的。(4)三边之间的关系。(5)已知在Rt△ABC中,∠B90°,a、b、c是△ABC的三边,则c。(已知a、b,求c)a。(已知b、c,求a)b。(已知a、c,求b).2、(1)在Rt△ABC,∠C90°,a3,b4,则c。(2)在Rt△ABC,∠C90°,a6,c8,则b。(3)在Rt△ABC,∠C90°,b12,c13,则a。四、学习过程(一)例题尝试例1一个门框的尺寸如图所示.①若有一块长3米,宽0.8米的薄木板,问怎样从门框通过②若薄木板长3米,宽1.5米呢③若薄木板长3米,宽2.2米呢(注意解题格式)当堂练习如下图,池塘边有两点A,B,点C是与BA方向成直角的AC方向上一点.测得CB=60m,AC=20m,你能求出A、B两点间的距离吗例2长3米的梯子AB,斜着靠在竖直的墙AO上,这时AO的距离为2.5米.①求梯子的底端B距墙角O多少米②如果梯的顶端A沿墙下滑0.5米至C,请同学们猜一猜,底端也将滑动0.5米吗③算一算,底端滑动距离的近似值④你还能对例题提供的问题情景进行变式训练吗(结果均保留两位小数).例3某楼房三楼失火,消防队员赶来救火,了解到每层楼高3m,消防队员取来6.5m长的云梯,如果梯子的底部离墙基的水平距离是2.5m,请问消防队员能否进入三楼灭火(三)巩固练习1、一个高1.5米、宽0.8米的长方形门框,需要在其相对的顶点间用一条木条加固,则需木条长为。2、从电杆离地面5m处向地面拉一条长为7m的钢缆,则地面钢缆A到电线杆底部B的距离为。3、有一个边长为50dm的正方形洞口,想用一个圆盖盖住这个洞口,圆的直径至少为(结果保留根号)4、一旗杆离地面6m处折断,其顶部落在离旗杆底部8m处,则旗杆折断前高。5、如图,滑杆在机械槽内运动,∠ACB为直角,已知滑杆AB长100cm,顶端A在AC上运动,量得滑杆下端B距C点的距离为60cm,当端点B向右移动20cm时,滑杆顶端A下滑多长ACBabcBC1m2mA实际问题数学模型OBDCCABAC第2题AEBDC八年级下册章庄中学审定祝彪第3页共7页18.1勾股定理(3)班级姓名座号一、学习目标能运用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点,进一步领会数形结合的思想.二、学习重难点重点运用勾股定理解决数学和实际问题。难点勾股定理的应用。三、知识回顾1、(1)在Rt△ABC,∠C90°,a3,b4,则c。(2)在Rt△ABC,∠C90°,a5,c13,则b。2、如图,已知正方形ABCD的边长为1,则它的对角线AC。四、学习过程(一)问题引入1、你能画出长为2cm的线段吗小组讨论后说说你的办法。2、你能在数轴上找出表示2的点吗请作图说明。3、在数轴上表示3、4、5、、n的点又如何表示呢4、你能找到5、13、17、20、,在数轴上更简便的画法吗(二)例题尝试例用圆规与尺子在数轴上作出表示13的点,并补充完整作图方法。步骤如下1.在数轴上找到点A,使OA=2.作直线l垂直于OA,在l上取一点B,使AB=3.以原点O为圆心,以OB为半径作弧,弧与数轴交于点C,则点C即为表示13的点.当堂练习课本第69页练习第1题例2已知直角三角形的两边长分别为5和12,求第三边。例3已知如图,等边△ABC的边长是6cm。(1)求等边△ABC的高。(2)求S△ABC。(三)小结※在数轴上寻找无理数①___________________②____________________③。(四)达标训练1、已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm,,则第三边长为。2、已知等边三角形的边长为2cm,则它的高为,面积为。3、已知等腰三角形腰长是10,底边长是16,求这个等腰三角形的面积。4、在数轴上作出表示29的点。5、如图,每个小正方形的边长是1,在图中画出一个三角形,使三角形的三边长分别是10,5,13。6、(B组)已知在Rt△ABC中,∠C90°,CD⊥AB于D,∠A60°,CD3,求线段AB的长。ABCDDCBACABD八年级下册章庄中学审定祝彪第4页共7页18.2勾股定理逆定理(1)班级姓名座号一、学习目标了解勾股定理的逆定理的证明方法和过程理解互逆命题、互逆定理、勾股数的概念及互逆命题之间的关系能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形.二、学习重难点重点勾股定理的逆定理及其应用.难点勾股定理的逆定理的证明.三、知识回顾1、勾股定理直角三角形的两条_________的平方____等于______的_______,即___________.2、已知在Rt△ABC中,∠C90°,a、b、c是△ABC的三边,则(1)c。(已知a、b,求c)(2)a。(已知b、c,求a)(3)b。(已知a、c,求b)3、填空题(1)在Rt△ABC,∠C90°,a8,b15,则c。(2)在Rt△ABC,∠B90°,a3,b4,则c。(如图)4、直角三角形的性质(1)有一个角是(2)两个锐角,(3)两直角边的平方和等于斜边的平方(4)在含30°角的直角三角形中,30°的角所对的边是边的一半.四、学习过程(一)阅读课本第73页,并完成思考题1、对于一个直角三角形,如果知道任意的两条边,我们可以根据勾股定理的公式及其变形求出第三边,例如Rt△ABC中,∠C90°,BC4,AC3,试求AB的长2、如果已知一个三角形的三边分别为5,12,13,你能判断这个三角形的形状吗3、若一个三角形的三边a、b、c满足222cba,试证明△ABC是直角三角形,请简要地写出证明过程.尝试证明你的结论(二)归纳定理及知识点1、勾股定理的逆定理如果三角形的三边a、b、c满足,那么这个三角形是直角三角形。2、命题对一件事情做出的语句。命题由和组成,命题可以改写成如果,那么的形式。3、逆命题把一个命题的和调换位置后,称这个命题是原命题的逆命题。4、原命题与逆命题的关系在一定条件下可以互相转化。原命题成立,逆命题成立(填一定或不一定)。5、互逆定理原命题与它的逆命题经过都是正确的,这样的两个定理称为互逆定理。例如勾股定理和它的逆定理就是互逆定理。(三)例题精讲例1判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形(1)17,8,15cba(2)15,14,13cba.方法小结给出三边判断组成的三角形是否为直角三角形,应验证较两边平方和较大边的平方,如相等,则是且较长边为斜边,如不相等,则不能组成直角三角形。当堂练习课本P76习题第1题例2说出下列命题的逆命题.这些命题的逆命题成立吗(1)两条直线平行,内错角相等.(2)如果两个实数相等,那么它们的绝对值相等.(3)全等三角形的对应角相等.(4)在角的平分线上的点到角的两边的距离相等.当堂练习课本P76习题第2题(4分钟)(三)达标练习1、以下列各组线段为边长,能构成三角形的是____________,能构成直角三角形的是____________.(填序号)①3,4,5②1,3,4③4,4,6④6,8,10⑤5,7,2⑥13,5,12⑦7,25,242、在下列长度的各组线段中,能组成直角三角形的是()A.5,6,7B.1,4,9C.5,12,13D.5,11,123、在下列以线段a、b、c的长为三边的三角形中,不能构成直角三角形的是()A、a9,b41,c40B、ab5,c25C、a∶b∶c3∶4∶5Da11,b12,c154、若一个三角形三边长的平方分别为32,42,x2,则此三角形是直角三角形的x2的值是()A.42B.52C.7D.52或75、命题全等三角形的对应角相等(1)它的逆命题是。(2)这个逆命题正确吗(3)如果这个逆命题正确,请说明理由,如果它不正确,请举出反例。ABCabcABCBCA勾股数能够成为直角三角形三条边长的三个正整数。八年级下册章庄中学审定祝彪第5页共7页18.2勾股定理逆定理(2)班级姓名座号一、学习目标能利用勾股定理的逆定理判定三角形的形状并解决相关实际问题.二、学习重难点重难点利用勾股定理的逆定理解决相关实际问题。三、学习过程(一)复习练习1、判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形(1)5,2,1cba(2)5.2,2,5.1cba(3)6,5,5cba2、写出下列真命题的逆命题,并判断这些逆命题是否为真命题。(1)同旁内角互补,两直线平行解逆命题是它是命题。(2)如果两个角是直角,那么它们相等解逆命题是它是命题。(3)全等三角形的对应边相等解逆命题是它是命题。(4)如果两个实数相等,那么它们的平方相等解逆命题是它是命题。(二)例题精讲例1远航号、海天号轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,远航号每小时航行16海里,海天号每小时航行12海里,它们离开港口一个半小时后相距30海里.如果知道远航号沿东北方向航行,能知道海天号沿哪个方向航行吗反思(1)解应用问题的三个基本过程建立数学模型→求解数学模型→回到实际问题中去(2)本题的关键在于判断PQR的形状。当堂检验完成课本P76练习第3题,习题第3题(独立按照格式完成)例2如图,有一块四边形地ABCD,90B,4ABm,3BCm,12CDm,13ADm,求该四边形地ABCD的面积反思构造直角三角形是解题的关键。(三)达标练习(5分钟)1.下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是.A.1,2,3B.7,24,25C.5.8,10D.7,12,152.内错角相等.两直线平行.的逆命题是.3.一个三角形的两边长分别为4和5,要使三角形为直角三角形.,则第三边为.4.在RtABC中,90C,若5AC,3BC,则AB.5.在Rt△ABC中,90C,oA45,10b,则c.6.在RtABC中,90B,oA30,则cba.7.已知ABC的三边为a、b、c,且211cba,求三角形三个内角度数的比.8.写出下列命题的逆命题,并判断它是否正确.1等腰三角形的两底角相等2三角形的三内角之比为l12,则三角形为等腰直角三角形3正方形的四个内角都是直角.9.ABC的三边a、b、c满足04032|50|2cbaba.试判断ABC的形状.(四)课后补充作业课本P76习题第5题ABCD八年级下册章庄中学审定祝彪第6页共7页第18章勾股定理全章复习班级姓名座号一、学习目标复习勾股定理及其逆定理,能利用它们求三角形的边长或证明三角形是直角三角形.二、学习重难点重点勾股定理及其逆定理的应用难点利用定理解决实际问题.三、学习过程(一)知识要点1直角三角形中,已知两边求第三边1.勾股定理若直角三角形的三边分别为a,b,c,90C,则。公式变形①若知道a,b,则c公式变形②若知道a,c,则b公式变形③若知道b,c,则a例1求图中的直角三角形中未知边的长度b,c.1在RtABC中,若90C,4a,b3,则c.2在RtABC中,若oB90,9a,41b,则c.3在RtABC中,若90A,7a,5b,则c.(二)知识要点2利用勾股定理在数轴找无理数。例2在数轴上画出表示5的点.在数轴上作出表示10的点.(三)知识要点3判别一个三角形是否是直角三角形。例3分别以下列四组数为一个三角形的边长(1)3、4、5(2)5、12、13(3)8、15、17(4)4、5、6,试找出哪些能够成直角三角形。1、在下列长度的各组线段中,能组成直角三角形的是()A.12,15,17B.9,16,25C.5a,12a,13a(a0)D.2,3,42、判断由下列各组线段a,b,c的长,能组成的三角形是不是直角三角形,说明理由.(1)5.6a,5.7b,4c(2)11a,60b,61c(3)38a,2b,310a(4)433a,2b,414c(四)知识要点4利用列方程求线段的长例4如图,铁路上A,B两点相距25km,C,D为两村庄,DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,已知DA15km,CB10km,现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E,使得C,D两村到E站的距离相等,则E站应建在离A站多少km处如图,某学校(A点)与公路(直线L)的距离为300米,又与公路车站(D点)的距离为500米,现要在公路上建一个小商店(C点),使之与该校A及车站D的距离相等,求商店与车站之间的距离.(五)知识要点5构造直角三角形解决实际问题例5如图,小明想知道学校旗杆AB的高,他发现固定在旗杆顶端的绳子垂下到地面时还多l米,当他把绳子的下端拉开5米后,发现下端刚好接触地面,你能求出旗杆的高度吗一透明的玻璃杯,从内部测得底部半径为6cm,杯深16cm.今有一根长为22cm的吸管如图2放入杯中,露在杯口外的长度为2cm,则这玻璃杯的形状是体.练一练915b1024c练一练练一练练一练ADEBCABC练一练八年级下册章庄中学审定祝彪第7页共7页四、课后巩固练习(一)填空选择1、写出一组全是偶数的勾股数是.2、直角三角形一直角边为12cm,斜边长为13cm,则它的面积为.3、斜边长为l7cm,一条直角边长为l5cm的直角三角形的面积是()A.60cm2B.30cm2C.90cm2D.120cm24、已知直角三角形的三边长分别为6、8、x,则以x为边的正方形的面积为.5、若一三角形三边长分别为5、12、13,则这个三角形长是13的边上的高是.6、若一三角形铁皮余料的三边长为12cm,16cm,20cm,则这块三角形铁皮余料的面积为cm2.7、如图一个圆柱,底圆周长6cm,高4cm,一只蚂蚁沿外壁爬行,要从A点爬到B点,则最少要爬行cm.(二)解答题1、在数轴上作出表示13的点.2、已知,如图在ΔABC中,ABBCCA2cm,AD是边BC上的高.求①AD的长②ΔABC的面积.3、如图,已知在△ABC中,CD⊥AB于D,AC=20,BC=15,DB=9.(1)求DC的长(2)求AB的长(3)求证△ABC是直角三角形.4、如图,钢索斜拉大桥为等腰三角形,支柱高24米,顶角∠BAC120°,E、F分别为BD、CD中点,试求B、C两点之间的距离,钢索AB和AE的长度。(结果保留根号)5、(09年甘肃定西)如图,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,D为AB边上一点,求证(1)ACEBCD△≌△(2)222ADDBDE.6、(09牡丹江)有一块直角三角形的绿地,量得两直角边长分别为6mm,8.现在要将绿地扩充成等腰三角形,且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形,求扩充后等腰三角形绿地的周长.7、(09湖北十堰)如图,在一次数学课外活动中,小明同学在点P处测得教学楼A位于北偏东60°方向,办公楼B位于南偏东45°方向.小明沿正东方向前进60米到达C处,此时测得教学楼A恰好位于正北方向,办公楼B正好位于正南方向.求教学楼A与办公楼B之间的距离(结果精确到0.1米).(供选用的数据2≈1.414,3≈1.732)ACBDEFCABD图4AB

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