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2013年全国高考试题分类汇编: 圆锥曲线的综合问题

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2013年全国高考试题分类汇编: 圆锥曲线的综合问题

10.5 圆锥曲线的综合问题 考点一 定点与定值问题 1.(2013 北京 ,19,14 分 )直线 y=kx+m(m≠0) 与椭圆 W:+y2=1 相交于 A,C 两点 ,O 是坐标原点 . (1)当点 B 的坐标为 (0,1),且四边形 OABC 为菱形时 ,求 AC 的长 ; (2)当点 B在 W 上且不是 W 的顶点时 ,证明 :四边形 OABC 不可能为菱形 . 解析 (1)因为四边形 OABC 为菱形 ,所以 AC 与 OB 相互垂直平分 . 所以可设 A,代入椭圆方程得 +=1,即 t=. 所以 |AC|=2. (2)假设四边形 OABC 为菱形 . 因为点 B 不是 W 的顶点 ,且 AC⊥O B,所以 k≠0. 由消 y 并整理得 (1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0. 设 A(x1,y1),C(x2,y2),则 =-,=k+m=. 所以 AC 的中点为 M. 因为 M 为 AC 和 OB 的交点 ,且 m≠0,k≠ 0,所以直线 OB 的斜率为 -. 因为 k≠ -1,所以 AC 与 OB 不垂直 . 所以 OABC 不是菱形 ,与假设矛盾 . 所以当点 B 不是 W 的顶点时 ,四边形 OABC 不可能是菱形 . 2.(2013 安徽 ,21,13 分 )已知椭圆 C:+=1(a0)的焦距为 4,且过点 P(,). (1)求椭圆 C 的方程 ; (2)设 Q(x0,y0)(x0y0≠0) 为椭圆 C上一点 .过点 Q作 x轴的垂线 ,垂足为 E.取点 A(0,2),连结 AE.过点 A作 AE 的垂线交 x 轴于点 D.点 G 是点 D 关于 y 轴的对称点 ,作直线 QG.问这样作出的直线 QG 是否与椭圆 C 一定有 唯一的公共点 ?并说明理由 . 解析 (1)因为焦距为 4,所以 a2-b2=4.又因为椭圆 C 过点 P(,),所以 +=1,故 a2=8,b2=4,从而椭圆 C 的方程 为 +=1. (2)由题意 ,E 点坐标为 (x0,0),设 D(xD,0),则 =(x0,-2),=(xD,-2), 再由 AD⊥AE 知 ,=0, 即 x0xD+8=0. 由于 x0y0≠ 0,故 xD=-. 因为点 G 是点 D 关于 y 轴 的对称点 ,所以点 G. 故直线 QG的斜率 kQG==. 又因 Q(x0,y0)在椭圆 C 上 ,

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