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2013年全国高考试题分类汇编:导数的概念及运算

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2013年全国高考试题分类汇编:导数的概念及运算

第三章导数及其应用 3.1 导数的概念及运算 考点一 导数的概念及几何意义 1.(2013 广东 ,12,5 分 )若曲线 y=ax2-ln x 在点 (1,a)处的切线平行于 x 轴 ,则 a= . 答案 2.(2013 江西 ,11,5 分 )若曲线 y=xα +1(α∈R) 在点 (1,2)处的切线经过坐标原点 ,则 α= . 答案 2 3.(2013 北京 ,18,13 分 )已知函数 f(x)=x2+xsin x+cos x. (1)若曲线 y=f(x)在点 (a, f(a) )处与直线 y=b 相切 ,求 a与 b的值 ; (2)若曲线 y=f(x)与直线 y=b 有两个不 同交点 ,求 b 的取值范围 . 解析 由 f(x)=x2+xsin x+cos x,得 f (x)=x(2+cos x). (1)因为曲线 y=f(x)在点 (a,f(a))处与直线 y=b 相切 ,所以 f (a)=a(2+cos a)=0,b=f(a). 解得 a=0,b=f(0)=1. (2)令 f (x)=0,得 x=0. f(x)与 f (x)的情况如下 : x (-∞,0) 0 (0,+∞) f (x) - 0 + f(x) ↘ 1 ↗ 所以函数 f(x)在区间 (-∞,0) 上单调递减 ,在区间 (0,+∞) 上单调递增 ,f(0)=1 是 f(x)的最小值 . 当 b≤1 时 ,曲线 y=f(x)与直线 y=b 最多只有一个交点 ; 当 b>1 时 ,f(-2b)=f(2b)≥4b 2-2b-1>4b-2b-1>b, f(0)=11时曲线 y=f(x)与直线 y=b有且仅有两个不 同 交点 . 综上可知 ,如果曲线 y=f(x)与直线 y=b 有两个不同交点 ,那么 b 的取值范围是 (1,+∞). 考点二 导 数的运算

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