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广义Frenet标架系统及其应用

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广义Frenet标架系统及其应用

广义Frenet标架系统及其应用1王兴波1,2,3,陈希祥1(1.国防科技大学机电工程与自动化学院,湖南长沙4100732.湖南大学现代车身技术教育部重点实验室,湖南长沙4100823.南海东软信息技术职业学院,广东佛山528225摘要研究了参数曲线上的一类仿射标架。该标架以参数曲线的一、二阶导矢及其叉积作为标架向量,在弧长参数形式下演变为经典Frenet标架,是广泛意义上的Frenet标架。该标架系统可建立两条同源曲线几何不变量之间的解析关系,用于变形过程几何结构改变的分析。文章推导了广义Frenet标架下的Frenet公式并借助一个实例,推导出了曲线变形前后曲率关系的一个解析公式,该解析式可在有限元分析等工程计算中实现对曲率的精确计算。关键词参数曲线Frenet公式标架变形分析中图分类号O186.16文献标识码A文章编号16725298200603000104GeneralizedFrenetframeanditsapplicationsWANGXingbo1,2,3,CHENXixiang11.CollegeofMachatronicalEngineeringAutomation,NationalUniv.ofDefenseTech.,Changsha410073,China2.KeyLaboratoryofAdvancedTechnologyforVehicleBodyDesignManufacture,MinistryofEducationofChina,Changsha410082,China3.NanhaiNeusoftInstituteofInformation,Nanhai528225,ChinaAbstractAninvestigationismadeonanaffineframeofparametriccurves.Theframeusesthederivativesandtheircrossproductofthefirstandsecondorderasitsbasisvectors,canbeevolvedtobeclassicalFrenetframeinformofarclengthparameter,isageneralizedFrenetframe.Theframewithitsformulacansetupanalyticrelationshipsamongthegeometricinvariantsoftwohomologouscurves,andcanbeusedtoanalyzethedeformationprocessofgeometricstructures.AgeneralizedFrenetformulaisderivedinaccordancewiththegeneralizedFrenetframeandaformulaisalsodemonstratedviaanapplicationsampletoshowanalyticrelationshipsbetweencurvaturesofadeformingcurvebeforeandafteradeformation.Theformulacanbeusedforprecisecomputationofcurvaturesinengineeringcalculationsuchasfiniteelementmethodandsoon.KeywordsparametriccurvesFrenetformulaframedeformationanalysis0引言标架是微分几何研究曲线曲面性质的重要工具。不同的标架体系可以从不同侧面反映几何对象的性质。例如,经典Frenet标架可以反映空间曲线几何不变量(曲率、挠率)在欧氏变换下的性质,而一些其他标架,则如文献1所指出的,可以反映曲线的其他性质。根据需求建立不同的标架体系来研究具体工程问题是近年来标架理论发展的一个重要特点26。变形是CAD/CAM/CAE/CG中常见的一类问题。真实描述和模拟变形过程是工程应用的基本需求,然而也是几何建模技术的一个瓶颈710。目前主要借助有限元及其他基于物理约束的建模手段实现变形过程的数值模拟1113,尚缺乏解析的描述方法。究其原因,笔者认为,经典理论中缺乏支持变形变换(运算)的工具。如众所知,CAD/CAM/CAE/CG的基础理论是CAGD,CAGD的理论基础是经典微分几何。经典微分几何主要研究弧长参数形式下的曲线曲面结构,与CAD几何建模中的非弧长参数表示方法之间存在差距。除此之外,经典几何理论是以静态几何对象为研究对象,而变形过程是动态的。假如一条曲线的初始构形为Γ0,现时构形为Γ1,如果变形过程中弧长发生改变,那么经典理论只能研究Γ0或者Γ1而不能建立Γ0与Γ1之间的解析关系14。收稿日期20060421基金项目国家自然科学基金项目(50175106),广东省自然科学基金项目04021250,教育部车身工程重点实验室资助项目。作者简介王兴波(1963),男,湖北安陆人,工学博士,副教授。主要研究方向CAD/CAM技术、逆向工程技术、优化设计与评估及模具工程的研究与开发工作。第19卷第3期湖南理工学院学报(自然科学版)Vol.19No.32006年9月JournalofHunanInstituteofScienceandTechnologyNaturalSciencesSep.20062湖南理工学院学报(自然科学版)第19卷鉴于此,笔者在文献15中给出了任意参数形式下的Frenet公式,该公式可建立两个同源曲线上Frenet标架之间的解析关系。但是因Frenet标架由三个相互正交的单位向量构成,在计算中需要单位化、正交化,增加了计算量。因此本文给出了一个更方便的标架系统。该标架系统采用曲线的一、二阶导矢及其叉积为标架基向量,计算过程中不需要单位正交化,在弧长参数形式下与经典Frenet标架等价,可视为广义Frenet标架。文章还通过一个应用实例,解析了曲线变形前后的曲率关系。该解析关系可在有限元分析等工程计算中实现对曲率的精确计算。1广义Frenet标架系统设空间正则曲线的参数表达为rrt(t为任意参数),在t处的一、二阶导矢分别为rt,rt。对于一般的空间正则无逗留点的曲线容易证明rt,rt线性无关,故rt,rt,rtrt是线性无关的,可作为三维欧氏空间的一组仿射基。该基连同点Ortt构成一仿射标架,,,tOrtrtrtrt。由于在弧长参数形式下,标架,,,tOrtrtrtrt即为经典Frenet标架,故本文称之为广义Frenet标架。以下推导与该标架对应的广义Frenet公式。为方便起见,记,,rtrtrtrtαβγ,vtrt′,并约定Tt,Nt,Bt分别为曲线在参数值t的点处的单位切向量、单位主法向量和单位副法向量,k、τ分别为曲线曲率和挠率。依据任意参数形式下的Frenet公式1500000TtktTtNtrtkttNtBttBt′⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟′−⎜⎟⎜⎟⎜⎟′−⎝⎠⎝⎠⎝⎠ττ(1)写成矩阵的形式为ΦΘΦ。这里TtNtBt′⎛⎞⎜⎟′Φ⎜⎟′⎝⎠,00000vktvktvtvt⎛⎞⎜⎟Θ−−⎝⎠ττ由(1)式容易得到rtrtTtvtTt′′α2βrtrtvtTtvtTtvtTtvtTtkvtNt′′′′′′′′3rtrtkvtBt′′′γ写成矩阵形式为VΛΦ这里⎛⎞⎜⎟Λ⎜⎟⎜⎟⎝⎠αβγ,2300000vVvkvkv⎛⎞⎜⎟⎝⎠对VΛΦ式两边关于参数t求导并结合ΦΘΦ以及1V−ΦΛ1VVV−′ΛΦΦΛ(2)此即为广义Frenet公式的矩阵表达形式。由于式(2)的系数矩阵1VVVΘ比较难于记忆,故需要将其表示成易于记忆的形式。为此记223300100000/10000000100vvVvkvvvkvPkvkv⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟Δ⎝⎠⎝⎠⎝⎠(3)则有1111VVVPPP−−−ΘΔΔΔΘΔ。令PPX即1XPP−,则得到1111VVVPXPD−−−ΘΔΔΔΘ(4)第3期王兴波,陈希祥广义Frenet标架系统及其应用3记||||rrξγ易知3kvkvξξ,并记XΞΘ,从而10000002000,003000vvvkvkvvvXPPXkvvkvvvkvvkvξξτξξτξξ−⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟−ΞΘ−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠111111VVVPPVV−−−−−ΘΔΔΔΞΔΔΔΞ(5)经计算知1−ΔΔΔ故(2)最后可写为11VVVV−−ΛΔΞΛΔΛΞΛ(6)6式不仅便于记忆而且具有直观的几何意义。首先矩阵Ξ是经典Frenet矩阵Θ与一个对角矩阵X之和其次Λ也可以看作两个矢量的和第一个矢量是将Λ经Δ变换后的结果ΔΛ(这是β轴上的一个矢量,大小为λα),第二个是将Λ经组合变换1VV−Ξ后的结果1VV−ΞΛ。另外,矩阵Ξ还可以分解成具有其它意义的矩阵乘积,此处不再详述。2新标架关系的应用假设曲线O0AO在外力作用下变形,得到新的曲线O0BO。我们知道曲线的变形能与曲线的曲率直接相关。因此考虑曲线变形前后的曲率可以得到两条曲线的几何物理特征及其相互关系,对于曲线曲面的优化设计都具有很重要的意义。设曲线O0AO的参数曲线为rA,变形后的曲线O0BO为rB,两曲线间对应的位移量为u,则依据条件可假设rB=rA+u记rA,rB在对应点的广义Frenet标架分别为AAAαβγ,BBBαβγ。设u及其一、二阶导矢在标架AAAαβγ下的表示为000111222AAAAAAAAAuabcuabcuabc⎧⎪′⎨⎪′′⎩αβγαβγαβγ即000111222AAAAAAAAAuabcTuabcAAVNuabcB⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟′⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟′′⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠ααββγγ那么11111122222212121212121212111,1,1,1BBAAAAAAAABBAAAAAAAABBBBAAAAAAArruabcabcrruabcabcaccacbbccbbcaccαααβγαβγββγαβγαβββααβ′′′′′′′′′−−−−−−121212,11AAAAaabbaααβγ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪−⎩(7)(7)的系数矩阵为11122212121212121212121212111,1,1,1,11AAAAAAAAcabaccacbbccbbcaccaabba⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−−−−−−⎝⎠αβββαβαα曲线rA,rB在对应点的曲率分别为3333,AAABBBABAABBrrrrkk′′′′′′γγαα,经计算得到BAO0A0B0O图1曲线变形示意图4湖南理工学院学报(自然科学版)第19卷122211112212121212,,01000010,,,,010000001000100110010010011AAAAAAAAAAABaacccabbbcababbaabbak−−−⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−−−−−⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠αβββαβγαααβ123111111,,0,,000110010,,000000000AAAAAAAAAAAAAAAAAaabbcc⎛⎞−⎛⎞⎛⎜⎟⎜⎟⎜⎜⎟−⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎜⎟⎜⎟⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎣⎦⎝⎠αβαααββαββγααβγβγ记2111221,,000,,,,,0,00001011001000,10,000011AAAAAAAAAAAAcGCaaaTbHbbcabaαβββαβγαααβ−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟Λ−−⎝⎠⎝⎠⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠⎝⎠则有1/23/2TAABTAAGHCGHCkTTΛΛΛΛ(8)由(8)式可知,如果知道在外力作用下曲线的变形量,可以得到变形前后两曲线的曲率关系。公式(8)在有限元分析等工程计算中可实现对变形后结点曲率的精确计算。以有限元分析为例,有限元通常从初始形状rA出发,经过单元划分及位移法求解出结点位移01{,,..,}nUuuu由于U是离散的,有限元要想计算变形后结点处的曲率,必须先在离散数据BiAiirtrtu的基础上构造一条插值曲线,然后估算对应点的曲率如变形后局部出现奇异结构,则该估算会出现较大的误差1618。而(8)则可以直接计算变形后的曲率,不仅在精度分析理论,而且在实际工程都有意义。我们还可以进一步研究变形导致的挠率、光顺、奇异结构等关系,限于篇幅这里不赘述。由于采用任意参数形式,这些结果可直接应用于CAD/CAM/CA/CG领域。参考文献1BishopRL.ThereismorethanonewaytoframeaCurveJ.AmericanmathematicsMonthly.1975,1832462512姜忠鼎,马利庄.一种插值与逼近运动物体活动标架的新方法J.软件学报,2000,11(9)3汪国平等.SWEEP曲面中三种定位标价的分析比较J.计算机辅助设计与图形学学报,2001.13(5)455460.4ObdrzalekS,MatasJ.LocalAffineFramesforImageRetrievalC.TheChallengeofImageandVideoRetrievalCIVR2002July1819,2002,London,UKSpringerVerla5MatasJ,ObdrzalekS,ChumO.LocalAffineFramesforWideBaselineStereolC.TheChallengeofImageandVideoRetrievalCIVR2002July1819,2002,London,UKSpringerVerla6LaugesenRS.OnAffineFrameswithTranscendentalDilationsC.ProceedingsoftheAmericanMathematicalSociety,2005http//www.ams.org/cgibin/mstrack/accepted_papers/proc7ZhuangY.RealtimeGlobalDeformationsEB/OL.http//www.cs.berkeley.edu/jfc/papers/00/wafr2000.pdf,20008BechmannD.SpacedeformationmodelssurveyJ.ComputerGraphics,1994.1845719GibsonSFF,MirtichB.ASurveyofDeformableModelinginComputerGraphics,MitsubishiElectricResearchLaboratoryTechnicalReport,November1997.10MatthiasMullerM,DorseyJ,McMillanL,etal.StableRealTimeDeformationsEB/OL.http//graphics.ethz.ch/Downloads/Publications/Papers/2002/p_Mue02.pdf11WitkinA,KassM,BaraffD.AnIntroductiontoPhysicallyBasedModelingM.RoboticsInstitute,CarnegieMellonUniversity.199712MetaxasD.PhysicsbasedDeformableModelsApplicationstoComputerVision,Graphics,andMedicalImagingM.KluwerAcademic,Boston,1997.13LiuX,ZhouX,SuZ,etal.APhysicallybasedSpaceDeformationModelJ.JournalofInformationComputationalScience1,2004,1818614EischenJ,BiglianiR.ContinuumversusparticlerepresentationsC.InD.HouseandD.Breen,editors,ClothModelingandAnimation,pages79122.A.K.Peters,200015王兴波等.任意参数形式下的Frenet公式J.湖南理工学院学报(自然科学版),2005,1821516CoeurjollyD,MiguetS,TougneL.DiscretecurvaturebasedonosculationcircleestimationC.InProc.Int.WorkshopVisualForm,LNCS2059,pages300–312,Springer,Berlin,2001.17HermannS,KletteR.GlobalCurvatureEstimationforCornerDetectionR.CITRTechnicalreport.Sept,2005.18EstroziFL,CamposAG,RiosLG,etal.ComparingCurvatureEstimationTechniquesC.Proc.BrazilianSymposiumonIntelligentAutomation,1999,pp5863.

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